19 连续的 CDF 不一定有密度：康托尔分布 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

用无穷次抛硬币决定「在康托尔集里往左走还是往右走」，得到一个随机点 $X 。$ 它的 CDF（著名的「魔鬼阶梯」）处处连续，却没有密度：全部概率都落在长度为 0 的康托尔集上，导数几乎处处是 0。

位置：第 2 部分的关键反例。第 17 页说「有密度 ⟺ CDF 绝对连续」，第 18 页准备了「不可数、长度为 0」的康托尔集 $C 。$ 这一页把两者结合：造一个分布，没有原子（所以 CDF 连续），又没有密度（所以 CDF 不绝对连续）。
它打破的直觉：「CDF 连续就有密度」「CDF 几乎处处导数为 0 就是常数」——两条都错。
后面怎么用：第 20 页把它作为分布的「第三种成分」（奇异连续部分）的标准例子；第 1 讲第 42 页与第 3 讲第 47 页用它说明 $\int_{0}^{1} F^{'} < F (1) - F (0)$ 可以严格。

先补基础

基础补课独立的公平硬币

$ξ_{1}, ξ_{2}, \dots$ 是独立的公平硬币：每个 $ξ_{k}$ 以概率 $\frac{1}{2}$ 取 0、 $\frac{1}{2}$ 取 1，并且前 $n$ 个取某一串指定值的概率是 $2^{- n}$ （例如 $P (ξ_{1} = 1, ξ_{2} = 0, ξ_{3} = 1) = \frac{1}{8} ）。$ 独立性的正式定义在第 3 讲第 6 页；这里只用「前 $n$ 位取定的概率是 $2^{- n} 」$ 这一点。第 1 讲第 23 页的注释还说明了：这样的硬币序列可以严格地在 $[0, 1)$ 上用勒贝格测度造出来。

基础补课回顾：康托尔集的编码（第 18 页）

$C$ 中的点恰好是三进制展开只用 0 和 2 的数， $Φ (b_{1}, b_{2}, \dots) = \sum_{k} 2 b_{k} 3^{- k}$ 是从 0/1 序列到 $C$ 的双射。第 $k$ 位决定「在当前小区间里走左边三分之一（ $b_{k} = 0 ）$ 还是右边三分之一（ $b_{k} = 1 ）」。$

课件原文逐句精读

课件原文A continuous CDF need not have a density

Counterexample 19 (Cantor distribution)（内容留白）

中文翻译

蓝条标题：连续的 CDF 不一定有密度。

反例 19（康托尔分布）（课件留白，见下一节。）

A continuous CDF need not have a density：need not 是「不一定」——不是说连续的 CDF 都没有密度，而是存在连续却没有密度的 CDF。证明「不一定」只需要一个反例，就是康托尔分布。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

例子反例 19（康托尔分布）

设 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots$ 是独立的公平 0/1 硬币，令

X = k \geq 1 \sum \frac{2 ξ _{k}}{3 ^{k}} .

$X$ 的分布叫康托尔分布，它的 CDF $F$ 叫康托尔函数。则：

$X \in C$ （康托尔集）恒成立，所以 $P (X \in C) = 1 ；$
对每个 $x \in R ，$ $P (X = x) = 0 ，$ 所以 $F$ 处处连续；
$X$ 没有勒贝格密度，所以 $F$ 不是绝对连续的；
$F^{'} (x) = 0$ 对几乎所有 $x$ 成立，但 $F (0) = 0 、$ $F (1) = 1 。$

推导证明思路

第 1 条是编码的直接结果；第 2 条因为「命中一个具体的点」需要无穷多位都对上，概率是 $2^{- n} \to 0 ；$ 第 3 条用反证：若有密度，在零测集 $C$ 上积分只能是 0，与 $P (X \in C) = 1$ 矛盾；第 4 条因为 $F$ 在每个被删掉的区间上是常数。

第 1 步（ $X$ 总在康托尔集里）： $X$ 的三进制数字是 $t_{k} = 2 ξ_{k} \in {0, 2} ，$ 由第 18 页的刻画， $X \in C 。$ 所以 $P (X \in C) = 1 。$

第 2 步（没有原子）：任取 $x 。$ 若 $x \in / C ，$ 则 $P (X = x) = 0 。$ 若 $x \in C ，$ 它对应唯一的序列 $b = Φ^{- 1} (x)$ （双射），于是 $X = x$ 意味着 $ξ_{k} = b_{k}$ 对所有 $k$ 成立，所以

P (X = x) \leq P (ξ_{1} = b_{1}, \dots, ξ_{n} = b_{n}) = 2^{- n} 对每个 n,

只能是 0。由第 8 页， $P (X = x) = F (x) - F (x -) ，$ 所以 $F$ 没有跳跃、处处连续。

第 3 步（没有密度）：反设 $X$ 有密度 $f 。$ 则

1 = P (X \in C) = \int_{C} f (x) d x = 0,

最后一步因为 $Leb (C) = 0 ，$ 非负函数在零测集上积分为 0（第 43 页）。矛盾。由第 17 页的定理 17， $F$ 不绝对连续。

第 4 步（导数几乎处处为 0）：被删掉的每个开区间（如 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) 、$ $(\frac{1}{9}, \frac{2}{9}) \dots\dots）$ 都与 $C$ 不相交， $X$ 落在里面的概率是 0，所以 $F$ 在这些区间上是常数，导数为 0。这些区间的总长度是 $1 - Leb (C) = 1 ，$ 所以 $F^{'} = 0$ 几乎处处。而 $F (0) = P (X \leq 0) = P (X = 0) = 0 ，$ $F (1) = 1 。$ $■$

康托尔函数长什么样：「魔鬼阶梯」

$X \leq \frac{1}{3}$ 当且仅当 $ξ_{1} = 0$ （第一步走左边），所以 $F (\frac{1}{3}) = \frac{1}{2} ；$ 又因为 $X$ 取不到 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ 里的值，事件 ${X \leq \frac{2}{3}}$ 只比 ${X \leq \frac{1}{3}}$ 多出 $X = \frac{2}{3}$ 这一个点，而 $X = \frac{2}{3}$ 要求 $ξ_{1} = 1$ 且以后每一步都是 0，概率为 0，所以 $F (\frac{2}{3}) = P (ξ_{1} = 0) = \frac{1}{2} 。$ 所以在整个 $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$ 上 $F = \frac{1}{2}$ ——一级平台。
第二层： $F (\frac{1}{9}) = F (\frac{2}{9}) = \frac{1}{4} ，$ $F (\frac{7}{9}) = F (\frac{8}{9}) = \frac{3}{4}$ ——又多了两级平台。
一般地，若 $x \in C$ 的三进制数字是 $t_{k} \in {0, 2} ，$ 则 $F (x) = k \geq 1 \sum \frac{t _{k} /2}{2 ^{k}} (把三进制的 2 换成 1 ，当成二进制读) .$ 例： $x = \frac{1}{4} = 0.0202 \dots_{(3)} ，$ $F (\frac{1}{4}) = 0.0101 \dots_{(2)} = \frac{1}{3} 。$

图像是一道有无穷多级平台的楼梯：平台占满了几乎全部长度，楼梯却从 0 连续地爬到 1——所有「爬升」都发生在长度为 0 的康托尔集上。所以叫魔鬼阶梯（devil's staircase）。

例子

例 1：计算几个概率

$P (X \leq \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} ，$ $P (\frac{1}{3} < X < \frac{2}{3}) = 0$ （被删掉的区间）。
$P (X \in [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}]) = P (ξ_{1} = 0, ξ_{2} = 1) = \frac{1}{4} 。$
$P (X > \frac{8}{9}) = P (ξ_{1} = 1, ξ_{2} = 1) = \frac{1}{4}$ （ $x = \frac{8}{9}$ 本身概率为 0）。

例 2：均值与方差（期望是线性的，独立变量的方差可加）

$E X = \sum_{k} \frac{2 E ξ _{k}}{3 ^{k}} = \sum_{k} \frac{1}{3 ^{k}} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1}{2} 。$ 也可以由对称性看出： $1 - X = \sum_{k} \frac{2 ( 1 - ξ _{k} )}{3 ^{k}}$ 与 $X$ 同分布，所以均值是 $\frac{1}{2} 。$
$Var X = \sum_{k} \frac{4 Var ξ _{k}}{9 ^{k}} = \sum_{k} \frac{4 \cdot \frac{1}{4}}{9 ^{k}} = \frac{1/9}{1 - 1/9} = \frac{1}{8} 。$

（交换期望与无穷求和用的是单调收敛定理第 36 页；方差相加用到独立性，见第 3 讲。）对比： $[0, 1]$ 上均匀分布的方差是 $\frac{1}{12} \approx 0.083 ，$ 康托尔分布 $\frac{1}{8} = 0.125$ 更大——它的质量更多地挤向两端。

例 3：用第 12 页的公式算均值，不需要密度

$E X = \int_{0}^{1} (1 - F (x)) d x 。$ 由对称性 $F (1 - x) = 1 - F (x)$ （除可数个点外），所以 $\int_{0}^{1} F = \int_{0}^{1} (1 - F) ，$ 两者相加为 1，各为 $\frac{1}{2} 。$ 和例 2 一致。这再次说明：用 CDF 算期望的公式不依赖于密度是否存在。

常见疑问与易错点

易错点问：F′ = 0 几乎处处，为什么 F 不是常数？

答：微积分基本定理「 $F (1) - F (0) = \int_{0}^{1} F^{'} 」$ 需要 $F$ 绝对连续（第 17 页）。康托尔函数不绝对连续，所以 $\int_{0}^{1} F^{'} = 0 \neq = 1 = F (1) - F (0) 。$ 导数「看不见」发生在零测集上的增长。

易错点问：现实中会遇到这种分布吗？

答：很少直接遇到，但它的意义在于划清概念的边界：「没有原子」和「有密度」是两回事，中间还有一类「奇异连续」的分布。下一页的分解定理说：一般分布就是这三种成分的混合。

易错点问：X 是不可数多个值中的一个，每个值概率都是 0，概率加起来怎么会是 1？

答：可数可加只对可数个不交事件成立；康托尔集不可数，不能把单点概率相加。这和 $[0, 1]$ 上均匀分布的情形一样（第 23 页）。

小结与自测

小结本页小结

康托尔分布： $X = \sum_{k} 2 ξ_{k} / 3^{k} ，$ $ξ_{k}$ 独立公平 0/1， $X \in C$ 恒成立。
没有原子（ $P (X = x) \leq 2^{- n} \to 0 ）$ ⇒ CDF 连续；但 $P (X \in C) = 1 、$ $Leb (C) = 0$ ⇒ 没有密度 ⇒ CDF 不绝对连续。
康托尔函数（魔鬼阶梯）：在每个被删区间上是常数， $F^{'} = 0$ a.e.，却从 0 连续地升到 1。
$E X = \frac{1}{2} ，$ $Var X = \frac{1}{8} 。$

自测

1. 求 $P (X \leq \frac{1}{9})$ 和 $F (\frac{1}{2}) 。$

点开看答案

$X \leq \frac{1}{9}$ ⟺ $ξ_{1} = ξ_{2} = 0 ，$ 概率 $\frac{1}{4} 。$ $\frac{1}{2}$ 落在被删掉的 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ 里， $F$ 在那里恒为 $\frac{1}{2} ，$ 所以 $F (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} 。$

2. 若改成 $Y = \sum_{k} ξ_{k} / 2^{k}$ （二进制而不是三进制）， $Y$ 的分布是什么？有密度吗？

点开看答案

$Y$ 的二进制数字就是 $ξ_{k} ，$ 前 $n$ 位取定对应一个长 $2^{- n}$ 的区间，概率恰好 $2^{- n} ，$ 所以 $Y \sim Unif (0, 1) ，$ 有密度 $1_{(0, 1)} 。$ 区别在于三进制只用两个数字时，「空出来」的中间三分之一使得概率被挤到一个零测集上。

3. 判断：若 CDF 在每一点都连续并且几乎处处可导、导数为 0，则这个分布是退化的（集中在一点）。

点开看答案

错误。康托尔分布满足所有这些条件，却分布在不可数多个点上，方差是 $\frac{1}{8} 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
康托尔集	Cantor set	反复挖掉中间三分之一得到的集合：不可数，但长度为 0。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
奇异连续分布	singular continuous distribution	没有原子（每一点的概率都是 0），却没有密度的分布：全部质量集中在一个长度为 0 的集合上，例如康托尔分布。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。