01 任何随机变量序列都能被某个 cₙ → ∞ 压到 0 · 作业1

这道题在问什么

人话版一句话版

不管一列随机变量 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 多「野」（尾巴多重、彼此之间怎么相关都行），总能找到一列事先定好的正数 $c_{n} \to \infty ，$ 使 $X_{n} / c_{n} \to 0$ 几乎必然成立。做法：把 $c_{n}$ 取得足够大，使「 $∣ X_{n} ∣$ 超过 $c_{n} / n 」$ 的概率不超过 $2^{- n} 。$ 这些概率加起来有限，第一 Borel–Cantelli 引理说这种「超过」只发生有限次；此后一直有 $∣ X_{n} / c_{n} ∣ \leq \frac{1}{n} \to 0 。$

考点：第一 Borel–Cantelli 引理（第 3 讲第 4 页）；「对每个 $ε ，$ 误差事件只发生有限次 ⟺ 几乎必然收敛」（第 3 讲第 9 页命题 B）；单个随机变量的尾概率趋于 0（从上连续，第 1 讲第 14 页）。
这道题的意义：几乎必然收敛到 0 本身很容易「造」出来，只要除数够大。真正有内容的问题是：除数事先规定好（例如 $c_{n} = n ）$ 时还行不行？那是第 3 讲第 11 页、第 13 页和本作业第 3 题的主题。
和其他题的关系：第 2 题、第 4 题、第 5 题用的都是同一个套路：把「几乎必然」的结论翻译成「某些事件只发生有限次 / 发生无穷多次」，再用 Borel–Cantelli 引理。本题只用第一引理，所以完全不需要独立性。

先补基础

基础补课随机变量是「实值」的：每个 Xₙ(ω) 都是有限数

本课的随机变量（random variable）指可测函数 $X : Ω \to R$ （第 2 讲第 4 页）。关键词是 $R ：$ 对每个样本点 $ω ，$ $X (ω)$ 是一个有限实数，不会是 $+ \infty$ 或 $- \infty 。$

这一点是本题成立的根本原因。例如 $X (ω) = 1 0^{100}$ 也只是一个有限数，除以足够大的 $c$ 就能变小。如果允许 $X$ 以正概率取 $+ \infty ，$ 结论就不对了（见「例子」一节的反例）。

基础补课尾概率 P(|X| > t) 在 t → ∞ 时趋于 0

设 $X$ 是随机变量。对正整数 $k ，$ 令 $B_{k} = {∣ X ∣ > k} 。$

一个套一个： $∣ X (ω) ∣ > k + 1$ 推出 $∣ X (ω) ∣ > k ，$ 所以 $B_{1} \supseteq B_{2} \supseteq \dots 。$
交集是空集：若 $ω$ 在每个 $B_{k}$ 里，则 $∣ X (ω) ∣ > k$ 对所有 $k$ 成立， $∣ X (ω) ∣$ 只能是 $+ \infty ，$ 与「实值」矛盾。所以 $⋂_{k} B_{k} = \emptyset 。$
从上连续（第 1 讲第 14 页，概率测度总质量为 1，可以用）： $P (B_{k}) \to P (\emptyset) = 0 。$
实数 $t$ 也一样： $t \geq k$ 时 ${∣ X ∣ > t} \subseteq B_{k} ，$ 所以 $P (∣ X ∣ > t) \leq P (B_{k}) 。$

结论：对任意 $η > 0 ，$ 都存在 $t$ 使 $P (∣ X ∣ > t) \leq η 。$ 例： $X \sim Exp (1)$ 时 $P (X > t) = e^{- t} ，$ 要它 $\leq η$ 只需 $t \geq ln \frac{1}{η} 。$

基础补课无穷多次（i.o.）与第一 Borel–Cantelli 引理（回顾）

${A_{n} i.o.} = ⋂_{m \geq 1} ⋃_{n \geq m} A_{n} ：$ 「有无穷多个 $A_{n}$ 发生」（第 3 讲第 3 页定义 1）。它的补集是 ${A_{n}^{c} ev.} ：$ 「从某一项起， $A_{n}$ 再也不发生」。
第一 Borel–Cantelli 引理（第 3 讲第 4 页定理 2）：若 $\sum_{n} P (A_{n}) < \infty ，$ 则 $P (A_{n} i.o.) = 0 。$ 对任意一列事件都成立，不需要独立。
小例子： $P (A_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} ，$ $\sum \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6} < \infty ，$ 所以几乎每个 $ω$ 只落进有限个 $A_{n} 。$

基础补课几乎必然收敛与误差事件（回顾）

$Y_{n} \to 0$ 几乎必然（a.s.），是说 $P ({ω : Y_{n} (ω) \to 0}) = 1$ （第 3 讲第 9 页定义 6）。等价的说法（同页命题 B）：

Y_{n} \to 0 a.s. ⟺ 对每个 ε > 0, P (∣ Y_{n} ∣ > ε i.o.) = 0.

人话：不管容忍度 $ε$ 多小，误差超过 $ε$ 的情形都只出现有限次。

基础补课等比级数 ∑ 2⁻ⁿ = 1

$\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{- n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1 ：$ 部分和 $1 - 2^{- N}$ 趋于 1。这里只需要「它有限」。任何一个和有限的正数列（例如 $\frac{1}{n ^{2}} ）$ 都可以代替 $2^{- n} 。$

题目与原解答

课件原文题目

Let $(Ω, F, P)$ is the probability space, and $(Ω, F, μ)$ is a measurable space. Questions are testing: Borel–Cantelli Lemma, probabilistic inequalities and convergence theorems.

If $X_{n}$ is any sequence of random variables, there are constants $c_{n} \to \infty$ so that $X_{n} / c_{n} \to 0$ a.s.

中文翻译

设 $(Ω, F, P)$ 是概率空间， $(Ω, F, μ)$ 是测度空间。本次作业考查：Borel–Cantelli 引理、概率不等式和收敛定理。

若 $X_{n}$ 是任意一列随机变量，则存在常数 $c_{n} \to \infty ，$ 使得 $X_{n} / c_{n} \to 0$ 几乎必然成立。

开头的说明句有两处小笔误：「Let … is」应为「Let … be」；带测度 $μ$ 的 $(Ω, F, μ)$ 应叫测度空间（measure space），「可测空间」（measurable space）只指 $(Ω, F) ，$ 还没有测度。
any sequence：任意的序列，不假设独立、不假设同分布、不假设有期望。
constants： $c_{n}$ 必须是确定的数，不能随 $ω$ 变。若允许随机的 $c_{n} ，$ 取 $c_{n} = n (∣ X_{n} ∣ + 1)$ 就行，题目就没意思了。

原解答的思路（左栏）：

取 $c_{n}$ 使 $P (∣ X_{n} ∣ > \frac{∣ c _{n} ∣}{n}) \leq \frac{1}{2 ^{n}} ；$
于是 $\sum_{n} P (∣ \frac{X _{n}}{c _{n}} ∣ > \frac{1}{n}) < \infty ，$ 由第一 Borel–Cantelli 引理， $∣ \frac{X _{n}}{c _{n}} ∣ > \frac{1}{n}$ 只发生有限次；
对任意 $ε ，$ 取 $N$ 把「误差 $> ε 」$ 放进「误差 $> \frac{1}{N} 」$ 里，得到几乎必然收敛。

思路正确，但有笔误、方向写反的不等号和两处没交代的关键点，见「原解答逐行对照」。

思路：怎么想到的

把目标翻译成事件。要证 $X_{n} / c_{n} \to 0$ a.s.，由命题 B，只需对每个 $ε > 0$ 证 $P (∣ X_{n} / c_{n} ∣ > ε i.o.) = 0 。$
选工具。证明「i.o. 的概率为 0」最省事的工具是第一 Borel–Cantelli 引理：只要概率之和有限，而且不要求独立，正适合「任意序列」。
我们手里只有 $c_{n}$ 。 $c_{n}$ 越大， $P (∣ X_{n} ∣ > ε c_{n})$ 越小。麻烦在于 $ε$ 是任意的，而 $c_{n}$ 只能选一次，不能依赖 $ε 。$
诀窍：用趋于 0 的门槛 $\frac{1}{n}$ 代替固定的 $ε$ 。如果能做到「从某项起 $∣ X_{n} / c_{n} ∣ \leq \frac{1}{n} 」，$ 那么对任何 $ε ，$ 等 $\frac{1}{n} < ε$ 以后误差也 $\leq ε 。$ 一个门槛同时管住了所有 $ε 。$
于是只需 $\sum_{n} P (∣ X_{n} ∣ > c_{n} / n) < \infty ，$ 例如让第 $n$ 项 $\leq 2^{- n} 。$ 这能做到，因为对固定的 $n ，$ $P (∣ X_{n} ∣ > t) \to 0$ （先补基础）。
最后顺手保证 $c_{n} \to \infty$ ：把 $c_{n}$ 再放大。放大只会让 $P (∣ X_{n} ∣ > c_{n} / n)$ 更小，不会破坏前面的任何东西。

完整解答

定理命题（总能把任意序列压到 0）

设 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 是 $(Ω, F, P)$ 上任意一列实值随机变量。则存在确定的正数 $c_{1}, c_{2}, \dots ，$ 满足 $c_{n} \geq n$ （从而 $c_{n} \to \infty ），$ 并且

\frac{X _{n}}{c _{n}} \to 0 几乎必然 .

不需要独立、同分布或任何矩条件。

推导证明思路

对每个 $n$ 单独选一个大数 $t_{n} ，$ 使 $P (∣ X_{n} ∣ > t_{n}) \leq 2^{- n} ，$ 令 $c_{n} = n max {t_{n}, 1} 。$ 第一 Borel–Cantelli 引理给出：几乎必然地，从某项起 $∣ X_{n} ∣ \leq c_{n} / n ，$ 即 $∣ X_{n} / c_{n} ∣ \leq \frac{1}{n} ；$ 夹逼得 $X_{n} / c_{n} \to 0 。$

第 1 步：选 $t_{n} 。$ 固定 $n 。$ 由「先补基础」， $P (∣ X_{n} ∣ > t) \to 0$ （ $t \to \infty ），$ 所以可以取一个 $t_{n} > 0 ，$ 使

P (∣ X_{n} ∣ > t_{n}) \leq 2^{- n} .

注意 $t_{n}$ 只依赖 $X_{n}$ 自己的分布，与其他 $X_{m}$ 无关。

第 2 步：定义 $c_{n} 。$ 令

c_{n} := n \cdot max {t_{n}, 1} .

$c_{n} \geq n \cdot 1 = n ，$ 所以 $c_{n} \to \infty ，$ 而且 $c_{n} > 0 ；$
$\frac{c _{n}}{n} = max {t_{n}, 1} \geq t_{n} ，$ 所以 ${∣ X_{n} ∣ > \frac{c _{n}}{n}} \subseteq {∣ X_{n} ∣ > t_{n}}$ （超过更高的门槛，必然超过更低的门槛）。由概率的单调性，

P (∣ X_{n} ∣ > \frac{c _{n}}{n}) \leq P (∣ X_{n} ∣ > t_{n}) \leq 2^{- n} .

第 3 步：第一 Borel–Cantelli 引理。 令 $A_{n} = {\frac{X _{n}}{c _{n}} > \frac{1}{n}} 。$ 因为 $c_{n} > 0 ，$ $\frac{X _{n}}{c _{n}} > \frac{1}{n} ⟺ ∣ X_{n} ∣ > \frac{c _{n}}{n} ，$ 所以由第 2 步

n = 1 \sum \infty P (A_{n}) \leq n = 1 \sum \infty 2^{- n} = 1 < \infty.

由第一 Borel–Cantelli 引理（不需要 $A_{n}$ 独立）， $P (A_{n} i.o.) = 0 。$

第 4 步：在好事件上夹逼。 令 $Ω_{0} = {A_{n} i.o.}^{c} = {A_{n}^{c} ev.} ，$ 则 $P (Ω_{0}) = 1 。$ 取 $ω \in Ω_{0} ：$ 存在 $m = m (ω) ，$ 使所有 $n \geq m$ 都有 $ω \in / A_{n} ，$ 即

0 \leq \frac{X _{n} ( ω )}{c _{n}} \leq \frac{1}{n} (n \geq m) .

右边 $\frac{1}{n} \to 0 ，$ 由夹逼原理， $\frac{X _{n} ( ω )}{c _{n}} \to 0 。$ 所以 $Ω_{0} \subseteq {X_{n} / c_{n} \to 0} ，$ 后者的概率 $\geq P (Ω_{0}) = 1 。$ $■$

第 4 步的另一种写法（与原解答对应）：固定 $ε > 0 ，$ 取正整数 $N$ 使 $\frac{1}{N} < ε 。$ 对 $n \geq N ，$ $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < ε ，$ 所以

\frac{X _{n}}{c _{n}} > ε ⟹ \frac{X _{n}}{c _{n}} > \frac{1}{n}, 即 {\frac{X _{n}}{c _{n}} > ε} \subseteq A_{n} (n \geq N) .

「无穷多次」不受前面有限项影响，所以 ${∣ X_{n} / c_{n} ∣ > ε i.o.} \subseteq {A_{n} i.o.} ，$ 概率为 0。 $ε$ 任意，由命题 B 得 $X_{n} / c_{n} \to 0$ a.s.

原解答逐行对照

第 1 句 Define $A_{n}$ s.t. $P (∣ X_{n} ∣ > \frac{∣ c _{n} ∣}{n}) \leq \frac{1}{2 ^{n}}$ .

意思是「选 $c_{n} ，$ 使得 $∣ X_{n} ∣$ 超过 $∣ c_{n} ∣/ n$ 的概率不超过 $2^{- n} 」。$ 这正是完整解答的第 1、2 步。

易错点原解答的问题：要选的是 cₙ，而且没说明它为什么存在

句子里的 $A_{n}$ 从来没有被定义，被「选取」的其实是 $c_{n} 。$ 应写成：「对每个 $n ，$ 取常数 $c_{n} > 0 ，$ 使 $P (∣ X_{n} ∣ > c_{n} / n) \leq 2^{- n} 」。$
这样的 $c_{n}$ 为什么存在，原解答没有说。理由是 $X_{n}$ 是实值的， $P (∣ X_{n} ∣ > t) \to 0$ （从上连续，见先补基础）。这正是全题唯一用到「随机变量」性质的地方，不能省。
写 $∣ c_{n} ∣$ 说明作者没限定 $c_{n}$ 的符号。应直接取 $c_{n} > 0 ，$ 否则第 3 句里「 $∣ X_{n} / c_{n} ∣ > \frac{1}{n} ⟺ ∣ X_{n} ∣ > c_{n} / n 」$ 就不成立。

第 2 句 Then, we have $P (\frac{X _{n}}{c _{n}} > \frac{1}{n}) \leq \frac{1}{2 ^{2}}$ .

两边同除以正数 $c_{n} ，$ 事件不变，概率也不变。

易错点原解答的问题：2² 应为 2ⁿ

右边应为 $\frac{1}{2 ^{n}} 。$ 若真是常数 $\frac{1}{4} ，$ $\sum_{n} \frac{1}{4} = \infty ，$ 下一句就不能用 Borel–Cantelli 引理了。

第 3 句 according to Borel–Cantelli Lemma, we have $\sum_{n = 1}^{\infty} P (\frac{X _{n}}{c _{n}} > \frac{1}{n}) < \infty$ and $P (\frac{X _{n}}{c _{n}} > \frac{1}{n}, i . o .) = 0$ .

「和有限」来自 $\sum 2^{- n} = 1 ，$ 不是来自 Borel–Cantelli 引理；「i.o. 概率为 0」才是引理的结论。这里用的是第一引理，不需要独立，最好写明。

易错点原解答的问题：没有保证 cₙ → ∞

题目要求 $c_{n} \to \infty ，$ 原解答只要求概率 $\leq 2^{- n} ，$ 这推不出 $c_{n} \to \infty 。$ 例如 $X_{n} \equiv 0$ 时， $c_{n} \equiv 1$ 就满足条件，但不趋于 $\infty 。$ 补救：取 $c_{n} \geq n ，$ 例如完整解答里的 $c_{n} = n max {t_{n}, 1} 。$ 放大 $c_{n}$ 只会让概率更小，不影响其他步骤。

第 4、5 句 We can choose $N > 0$ s.t. $ε < \frac{1}{N}$ . Then … $P (\frac{X _{n}}{c _{n}} > ε, i . o .) \leq P (\frac{X _{n}}{c _{n}} > \frac{1}{N}, i . o .) = 0$ .

想法是：把固定的容忍度 $ε$ 和已经控制住的门槛联系起来。

易错点原解答的问题：「ε < 1/N」方向写反，最后一个等号也缺理由

要让 ${∣ Y_{n} ∣ > ε} \subseteq {∣ Y_{n} ∣ > \frac{1}{N}}$ （于是概率 $\leq ），$ 需要 $\frac{1}{N} \leq ε ：$ 超过大门槛 $ε ，$ 才必然超过小门槛 $\frac{1}{N} 。$ 原文写的 $ε < \frac{1}{N}$ 给出的是反方向的包含，不等号就错了。应为：取 $N$ 使 $\frac{1}{N} < ε$ 。
第 3 句证明的是门槛随 $n$ 变的事件 ${∣ X_{n} / c_{n} ∣ > \frac{1}{n} i.o.}$ 概率为 0，而这里用的是固定门槛 $\frac{1}{N} 。$ 需要补一句： $n \geq N$ 时 $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} ，$ 所以 $∣ X_{n} / c_{n} ∣ > \frac{1}{N} \Rightarrow ∣ X_{n} / c_{n} ∣ > \frac{1}{n} ，$ 前一个 i.o. 事件包含在后一个里。更简单的做法是直接用 $\frac{1}{n}$ 与 $ε$ 比较（完整解答第 4 步的另一种写法）。
最后从「每个 $ε$ 的 i.o. 概率为 0」到「几乎必然收敛」用的是第 3 讲第 9 页命题 B，可以注明。

例子与数值验证

例 1：独立同分布的 Exp(1)，把 cₙ 算出来

$P (X_{n} > t) = e^{- t} 。$ 要 $e^{- t_{n}} = 2^{- n} ，$ 取 $t_{n} = n ln 2 。$ 于是

c_{n} = n max {n ln 2, 1} = {1, n^{2} ln 2, n = 1, n \geq 2.

前几项： $c_{1} = 1 ，$ $c_{2} \approx 2.77 ，$ $c_{3} \approx 6.24 ，$ $c_{5} \approx 17.3 ，$ $c_{10} \approx 69.3 。$

「违规」次数：违规指 $A_{n} = {X_{n} / c_{n} > \frac{1}{n}}$ 发生。 $n = 1$ 时 $P (A_{1}) = P (X_{1} > 1) = e^{- 1} \approx 0.368 ；$ $n \geq 2$ 时 $P (A_{n}) = 2^{- n} 。$ 期望违规次数 $= e^{- 1} + \frac{1}{2} \approx 0.868 。$

从第 $m$ 项起再也不违规的概率（各 $X_{n}$ 独立，可以直接相乘）： $\prod_{n \geq m} (1 - 2^{- n}) 。$ 用 Python 算得： $m = 2$ 时约 $0.578 ，$ $m = 5$ 时约 $0.939 ，$ $m = 10$ 时约 $0.998 。$

模拟（Python，20 万条路径，每条看前 60 项）：平均违规次数 $0.869$ （理论 $0.868 ）；$ 36.5% 的路径一次也不违规；「最后一次违规在第 1 项或以前」的比例为 $0.578 ，$ 与上面的理论值一致；20 万条路径里最晚的一次违规出现在第 20 项左右（这个最大值本身是随机的，换随机种子会在第 17–24 项之间波动；第 $n$ 项违规的概率只有 $2^{- n} ，$ 第 25 项以后几乎不可能再见到）。几乎所有路径很快就进入 $∣ X_{n} / c_{n} ∣ \leq \frac{1}{n}$ 的区域，再也不出来。

例 2：重尾的柯西分布也照样可以

$X_{n}$ 服从标准柯西分布（不必独立）， $P (∣ X_{n} ∣ > t) = 1 - \frac{2}{π} arctan t \leq \frac{2}{π t} 。$ 取 $t_{n} = \frac{2 ^{n + 1}}{π} ，$ 则 $P (∣ X_{n} ∣ > t_{n}) \leq \frac{2}{π t _{n}} = 2^{- n} 。$ 数值核对： $n = 5$ 时 $t_{5} \approx 20.4 ，$ $P (∣ X_{5} ∣ > t_{5}) \approx 0.03122 \leq 2^{- 5} = 0.03125 。$ 于是 $c_{n} = n max {t_{n}, 1}$ 增长得像 $n 2^{n}$ 那样快，但定理照样成立。尾巴越重，需要的 $c_{n}$ 越大，但永远存在。

例 3：c_n = n 行不行？要看分布

$X_{n}$ 同分布且 $E ∣ X_{1} ∣ < \infty ：$ $c_{n} = n$ 就行， $X_{n} / n \to 0$ a.s.（第 3 讲第 11 页推论 8）。例 1 的 Exp(1) 属于这种情况，所以那里的 $c_{n} = n^{2} ln 2$ 其实「大材小用」；由第 5 题，连 $c_{n} = (ln n)^{2}$ （ $n \geq 2 ）$ 都够了，而 $c_{n} = ln n$ 不够。
$X_{n}$ 独立同分布且 $E ∣ X_{1} ∣ = \infty$ （例如柯西）： $c_{n} = n$ 不行， $lim sup ∣ X_{n} ∣/ n = \infty$ a.s.（第 3 讲第 13 页，第 3 题）。

本题说的是：换成足够大的 $c_{n} ，$ 总可以。 $c_{n}$ 必须随分布调整，不存在对所有序列都通用的 $c_{n} 。$

例 4（反例）：去掉「实值」或去掉 1/n，结论都会失败

允许取 $+ \infty$ ：设 $P (A) = \frac{1}{2} ，$ 令 $X_{n} = + \infty$ （在 $A$ 上）、 $X_{n} = 0$ （在 $A^{c}$ 上）。对任何正数 $c_{n} ，$ 在 $A$ 上 $X_{n} / c_{n} = + \infty ，$ 不趋于 0。证明坏在第 1 步： $P (∣ X_{n} ∣ > t) \geq \frac{1}{2}$ 对所有 $t$ 成立。
只要求 $P (∣ X_{n} ∣ > c_{n}) \leq 2^{- n}$ （少了 $\frac{1}{n} ）$ ：取 $X_{n} \equiv c_{n}$ （常数），条件满足（概率为 0），可 $X_{n} / c_{n} \equiv 1 。$ 这种选法只能保证 $lim sup ∣ X_{n} / c_{n} ∣ \leq 1 ，$ 不能保证趋于 0。

拓展延伸

c_n 还可以取成单调递增

令 $c_{n}^{'} = max {c_{1}, \dots, c_{n}} 。$ 则 $c_{n}^{'} \geq c_{n} > 0 ，$ 所以 $∣ X_{n} / c_{n}^{'} ∣ \leq ∣ X_{n} / c_{n} ∣ ，$ 仍然趋于 0；而 $c_{n}^{'}$ 单调不减且 $\geq n 。$ 所以「存在单调递增到 $\infty$ 的 $c_{n} 」$ 也成立。一般原则：能用的 $c_{n}$ 放大以后仍然能用。

同一个技巧：「收敛得够快」就能升级成几乎必然收敛

本题的核心是让偏差概率 $P (∣ X_{n} / c_{n} ∣ > \frac{1}{n})$ 小到可以求和，然后用第一 Borel–Cantelli 引理。第 3 讲第 10 页推论 7（偏差概率可求和 ⇒ 几乎必然收敛）和第 3 讲第 16 页子列判别法（依概率收敛的序列，挑出 $P (∣ X_{n_{k}} - X ∣ > 2^{- k}) \leq 2^{- k}$ 的子列就几乎必然收敛）用的是同一个 $2^{- k}$ 技巧。

如果只要依概率收敛，条件更弱

$X_{n} / c_{n} \to 0$ 依概率，是说对每个 $ε ，$ $P (∣ X_{n} ∣ > ε c_{n}) \to 0$ （第 3 讲第 14 页）。只要 $P (∣ X_{n} ∣ > c_{n} / n) \to 0$ 就够了，不需要可求和。几乎必然收敛要求偏差概率「趋于 0 得足够快」，这正是两种收敛的差别。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不直接对每个 ε 选一列 cₙ？

答：题目要的是一列 $c_{n}$ 同时对所有 $ε$ 管用。若对 $ε = \frac{1}{k}$ 选出不同的序列 $c_{n}^{(k)} ，$ 最后还得把它们合并成一列。用随 $n$ 变小的门槛 $\frac{1}{n} ，$ 一次就同时管住了所有 $ε ，$ 省掉了合并这一步。

易错点问：证明里用到独立性了吗？

答：没有。只用了每个 $X_{n}$ 单独的尾概率（第 1 步）和第一 Borel–Cantelli 引理（第 3 步），二者都不涉及 $X_{n}$ 之间的关系。所以 $c_{n}$ 只依赖每个 $X_{n}$ 的分布：把序列换成另一列同样分布、但相关结构完全不同的序列，同一列 $c_{n}$ 照样有效。例 1 计算「再也不违规的概率」时用乘积，是因为那里额外假设了独立，只影响这个具体数值，不影响定理。

易错点问：第 1 步能不能直接写「取 tₙ 使 P(|Xₙ| > tₙ) = 2⁻ⁿ」？

答：不一定能取到等号。若 $X_{n}$ 只取整数值， $t \mapsto P (∣ X_{n} ∣ > t)$ 是阶梯函数，可能跳过 $2^{- n}$ 这个值。所以要写「 $\leq 2^{- n} 」，$ 这总能做到。

易错点问：为什么一定要 cₙ → ∞，cₙ 有界不行吗？

答：若 $X_{n} \equiv 1 ，$ $X_{n} / c_{n} \to 0$ 就要求 $c_{n} \to \infty 。$ 题目把 $c_{n} \to \infty$ 写进结论，是为了说明「除数可以统一地趋于无穷」。反过来，任何可用的 $c_{n}$ 都能换成 $max {c_{n}, n} ，$ 所以这个要求不增加难度，但必须在证明里说到。

小结与自测

小结本题小结

结论：任意一列实值随机变量，都存在确定的 $c_{n} \to \infty$ 使 $X_{n} / c_{n} \to 0$ a.s.；不需要独立、同分布或矩条件。
构造：取 $t_{n}$ 使 $P (∣ X_{n} ∣ > t_{n}) \leq 2^{- n}$ （实值 ⇒ 尾概率趋于 0），令 $c_{n} = n max {t_{n}, 1} 。$
证明： $\sum P (∣ X_{n} / c_{n} ∣ > \frac{1}{n}) \leq 1 ，$ 第一 Borel–Cantelli ⇒ 几乎必然地最终 $∣ X_{n} / c_{n} ∣ \leq \frac{1}{n}$ ⇒ 趋于 0。
原解答要改的地方： $\frac{1}{2 ^{2}}$ 应为 $\frac{1}{2 ^{n}} ；$ 没保证 $c_{n} \to \infty ；$ 「 $ε < \frac{1}{N} 」$ 应为「 $\frac{1}{N} < ε 」。$

自测

1. $X_{n}$ 在 $[0, n]$ 上均匀分布（是否独立无所谓）。按完整解答的方法写出一组 $c_{n} ，$ 并说明这时其实每个 $ω$ 上都有 $X_{n} / c_{n} \to 0 。$

点开看答案

$P (X_{n} > t) = 0$ 当 $t \geq n ，$ 所以可取 $t_{n} = n$ （概率 $0 \leq 2^{- n} ），$ $c_{n} = n max {n, 1} = n^{2} 。$ 由于 $0 \leq X_{n} \leq n$ 处处成立， $0 \leq X_{n} / c_{n} \leq \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n} \to 0$ 对每个 $ω$ 都成立，用不着 Borel–Cantelli。

2. 判断：「若 $P (∣ X_{n} ∣ > c_{n}) \leq 2^{- n}$ 对所有 $n$ 成立，则 $X_{n} / c_{n} \to 0$ a.s.」

点开看答案

错误。条件只给出「几乎必然地最终 $∣ X_{n} / c_{n} ∣ \leq 1 」，$ 即 $lim sup ∣ X_{n} / c_{n} ∣ \leq 1 。$ 反例： $X_{n} \equiv c_{n} ，$ 概率条件成立（概率为 0），但 $X_{n} / c_{n} \equiv 1 。$ 必须像本题那样让门槛 $\frac{c _{n}}{n}$ 相对 $c_{n}$ 趋于 0。

3. 设 $c_{n}$ 满足本题结论。证明 $d_{n} = max {c_{1}, \dots, c_{n}, n}$ 也满足，而且单调递增到 $\infty 。$

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$d_{n} \geq c_{n} > 0 ，$ 所以 $∣ X_{n} / d_{n} ∣ \leq ∣ X_{n} / c_{n} ∣ ，$ 后者几乎必然趋于 0，前者也是（夹逼）。 $d_{n + 1} = max {d_{n}, c_{n + 1}, n + 1} \geq d_{n} ，$ 单调不减； $d_{n} \geq n ，$ 所以 $d_{n} \to \infty 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
部分和	partial sum	级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
独立同分布	independent and identically distributed (i.i.d.)	一列随机变量相互独立，并且分布都相同，例如反复独立地掷同一颗骰子。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
偏差概率	deviation probability	Xₙ 和目标 X 相差超过 ε 的概率 P(\|Xₙ − X\| > ε)。它趋于 0 就是依概率收敛；对每个 ε 它都可求和时，由 Borel–Cantelli 引理可推出几乎必然收敛。
可求和	summable	非负数列的级数和有限：Σ aₙ < ∞。例如 Σ 1/n² 可求和，Σ 1/n 不可求和（和是 +∞）。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。