01 封面：乘积测度与独立性 · 第4讲

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前三讲大多只看一个随机变量。第 4 讲开始研究两个或多个随机变量放在一起：它们共同的概率空间怎么搭（乘积测度），二重积分怎么拆成两次单重积分（Fubini–Tonelli 定理），以及「独立」在数学上到底是什么意思。

这是第 4 讲的封面。先回头看看前三讲留下的一个空缺：

第 2 讲讲了一个随机变量 $X$ 的分布： $X$ 把概率「推」到实数轴 $R$ 上（第 6 页）。可是两个随机变量 $X, Y$ 合在一起的分布，是 $R^{2}$ （平面）上的概率，前面没有讲过怎么构造。
第 3 讲反复用到「独立」：第二 Borel–Cantelli 引理要求事件独立（第 7 页），抽样部分要求样本 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 独立同分布（第 37 页）。可是「存在一列独立同分布的随机变量」这件事本身，需要先搭好一个足够大的概率空间，前面一直默认它存在。

第 4 讲就来补上这块地基。

先补基础

基础补课有序对与笛卡尔积

有序对 $(a, b) ：$ 把两个对象按顺序配成一对， $(1, 2)$ 和 $(2, 1)$ 是不同的有序对。
笛卡尔积 $Ω_{1} \times Ω_{2} ：$ 所有有序对 $(ω_{1}, ω_{2})$ 组成的集合，其中 $ω_{1} \in Ω_{1} ，$ $ω_{2} \in Ω_{2}$ （第 5 页前后的集合基础）。
例：掷两颗骰子， $Ω_{1} = Ω_{2} = {1, \dots, 6} ，$ $Ω_{1} \times Ω_{2}$ 有 $6 \times 6 = 36$ 个元素， $(3, 5)$ 表示「第一颗 3 点、第二颗 5 点」。
例： $R \times R = R^{2}$ 就是平面， $[0, 1] \times [0, 1]$ 是单位正方形。

基础补课二重积分的直观意思

一元积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 是曲线下的面积。二元函数 $f (x, y) \geq 0$ 在一块平面区域上的二重积分，是曲面下方那块立体的体积。微积分里算体积常用「先对 $y$ 积分、再对 $x$ 积分」（切片求和）。第 2 部分要讲清楚：这种拆法什么时候是对的，什么时候会出错。

课件原文逐句精读

课件原文封面

Product measure and independence

Topic 4

中文翻译

乘积测度与独立性

第 4 讲

① Product measure｜乘积测度

Product 是「乘积」，measure 是「测度」（第 12 页）。
已有两个测度空间（比如两个概率空间），怎样在它们的笛卡尔积上定义一个测度，使得「矩形」的测度等于两条边测度的乘积？最熟悉的例子是平面上的面积：长 $a 、$ 宽 $b$ 的矩形面积是 $a \times b 。$ 乘积测度就是把这件事推广到一般的测度。

② Independence｜独立性

中学的定义是 $P (A \cap B) = P (A) P (B) 。$ 这一讲把它推广到随机变量、σ-代数和无穷多个对象，并说明：独立 ⇔ 联合分布等于乘积测度。乘积测度和独立性因此是同一枚硬币的两面，这就是标题把两者放在一起的原因。

③ Topic 4｜第 4 讲

右下角的 1 / 22 是幻灯片编号；本站收录的 PDF 共 21 页。

这一讲的三个部分

部分	页码	一句话
1. 乘积测度	第 4 页–第 8 页	两个概率空间怎样拼成一个联合空间：乘积 σ-代数、乘积测度、截口
2. Fubini–Tonelli 定理	第 9 页–第 15 页	二重积分什么时候能拆成两次单重积分，以及拆错的反例
3. 独立性	第 16 页–第 21 页	事件、随机变量、σ-代数的独立；独立 = 乘积测度；多元正态分布

下一页（第 2 页）是课件的目录，第 3 页列出学完这一讲应该掌握的内容。

例子

例 1：本讲会回答的五个具体问题

$U$ 在 $(0, 1)$ 上均匀分布。 $(U, U)$ 和 $(U, 1 - U)$ 两个随机点，每个坐标单独看都是均匀分布，它们的分布一样吗？（第 4 页：完全不同。）
平面上的「面积」能不能看成两条直线上「长度」的乘积测度？（第 7 页：能，二维勒贝格测度就是这样来的。）
二重积分先对 $x$ 积分还是先对 $y$ 积分，结果总是一样吗？（第 13 页–第 15 页：不一定，函数不可积时两种顺序可以算出不同的数。）
三个事件两两独立，它们一定相互独立吗？（第 18 页：不一定。）
两个随机变量协方差为 0，它们一定独立吗？（一般不一定；但如果它们联合服从正态分布，就一定独立，见第 20 页、第 21 页。）

小结与自测

小结本页小结

第 4 讲研究多个随机变量放在一起时的数学：联合概率空间怎么搭、二重积分怎么算、独立是什么意思。
两个关键词：Product measure（乘积测度）和 Independence（独立性），后者正是用前者来定义的。
它补上了第 3 讲默认使用的前提：独立同分布的随机变量序列确实存在。

自测

1. 掷一颗骰子再抛一枚硬币，样本空间 ${1, \dots, 6} \times {正, 反}$ 有多少个元素？写出其中两个。

点开看答案

$6 \times 2 = 12$ 个。例如 $(1, 正) 、$ $(6, 反) 。$

2. 长 3、宽 2 的矩形面积是 6。用「乘积测度」的语言说，这句话是什么意思？

点开看答案

矩形是两条线段 $[0, 3]$ 和 $[0, 2]$ 的笛卡尔积，它的面积（二维测度）等于两条线段长度（一维测度）的乘积 $3 \times 2 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
二重积分	double integral	对两个变量一起积分：∬ f(x, y) dx dy。Fubini–Tonelli 定理说明什么时候可以拆成先对一个变量、再对另一个变量的两次积分。
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
独立同分布	independent and identically distributed (i.i.d.)	一列随机变量相互独立，并且分布都相同，例如反复独立地掷同一颗骰子。
笛卡尔积	Cartesian product	A × B 是所有有序对 (a, b) 组成的集合；Aⁿ 是所有长度为 n 的数组。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
联合分布	joint law (joint distribution)	随机向量 (X, Y) 在平面上的分布：对每个平面博雷尔集 B 给出 P((X, Y) ∈ B)。只知道边缘分布不能确定它。
乘积 σ-代数	product σ-algebra	由所有可测矩形生成的 σ-代数，记作 F₁ ⊗ F₂；它也是让两个坐标映射都可测的最小 σ-代数。
截口	slice (section)	固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。
多元正态分布	multivariate normal distribution	由均值向量 μ 和正定协方差矩阵 Σ 决定的高维钟形分布。对它而言，不相关等价于独立。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
两两独立	pairwise independence	任意两个都独立。比相互独立弱：三个事件可以两两独立却不相互独立。
协方差	covariance	Cov(X, Y) = E[(X − EX)(Y − EY)]，衡量两个变量一起变大或变小的倾向。独立 ⇒ 协方差为 0，反之一般不成立。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。