02 独立序列：sup Xₙ 有限 ⇔ 某个 A 使 ∑ P(Xₙ > A) 有限 · 作业1

这道题在问什么

人话版一句话版

一列独立的随机变量什么时候「整体有上限」（ $sup_{n} X_{n} < \infty$ 几乎必然）？答案只看一个级数：存在某个门槛 $A ，$ 使「超过 $A 」$ 的概率加起来有限。「⇐」用第一 Borel–Cantelli 引理，不需要独立；「⇒」用第二 Borel–Cantelli 引理，必须独立，而且要对可数个门槛 $A = 1, 2, 3, \dots$ 同时使用。

考点：两个 Borel–Cantelli 引理各管一个方向（第 3 讲第 4 页、第 7 页）；「存在 $A 」$ 的否定是「对所有 $A 」；$ 可数个概率为 1 的事件之交仍然概率为 1（第 3 讲第 13 页第 5 步的同一技巧）。
副产品：独立序列的 $sup_{n} X_{n}$ 只有两种命运：要么几乎必然有限，要么几乎必然是 $+ \infty ，$ 没有中间情况。
和其他题的关系：第 4 题（伯努利序列）和第 5 题（指数序列）都是同一个模式：独立 + 概率之和有限 / 无穷 ⇒ 事件发生有限次 / 无穷多次。

先补基础

基础补课上确界 sup，以及「sup Xₙ < ∞」的意思

一列实数 $a_{1}, a_{2}, \dots$ 的上确界（supremum） $sup_{n} a_{n} ，$ 是「不小于每一个 $a_{n}$ 的数」中最小的那个；若数列没有上界，就记 $sup_{n} a_{n} = + \infty 。$
例： $a_{n} = 1 - \frac{1}{n} ，$ $sup = 1$ （取不到，但最小的上界是 1）； $a_{n} = (- 1)^{n} n ，$ $sup = + \infty 。$
有限个实数的最大值总是有限的。所以数列「从某项起 $\leq A 」$ 时， $sup_{n} a_{n} \leq max {a_{1}, \dots, a_{m - 1}, A} < \infty 。$
$sup_{n} X_{n} < \infty$ a.s. 的意思：对几乎每个 $ω ，$ 数列 $X_{1} (ω), X_{2} (ω), \dots$ 有上界。上界可以随 $ω$ 变，不要求存在一个公共的常数上界。

基础补课「对某个 A」与「对所有 A」：量词的否定

「存在 $A$ 使 $\sum_{n} P (X_{n} > A) < \infty 」$ 的否定是「对每个 $A ，$ $\sum_{n} P (X_{n} > A) = \infty 」。$ 证明「⇒」时用反证法，假设的必须是后者。
门槛越高，级数越小： $A \leq A^{'}$ 时 ${X_{n} > A^{'}} \subseteq {X_{n} > A} ，$ 所以 $\sum_{n} P (X_{n} > A^{'}) \leq \sum_{n} P (X_{n} > A) 。$ 因此「某个 $A$ 使级数有限」等价于「所有足够大的 $A$ 都使级数有限」。

基础补课两个 Borel–Cantelli 引理（回顾）

第一引理（第 3 讲第 4 页定理 2）： $\sum_{n} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (A_{n} i.o.) = 0 。$ 对任意事件列成立。
第二引理（第 3 讲第 7 页定理 4）： $A_{n}$ 相互独立且 $\sum_{n} P (A_{n}) = \infty \Rightarrow P (A_{n} i.o.) = 1 。$
独立随机变量 ⇒ 独立事件： $X_{n}$ 相互独立时，事件 ${X_{n} > A} = {X_{n} \in (A, \infty)}$ （ $n = 1, 2, \dots ）$ 相互独立（第 3 讲第 6 页补充定义）。

基础补课可数个概率为 1 的事件，交集的概率还是 1

若 $P (E_{k}) = 1$ （ $k = 1, 2, \dots ），$ 则 $P (⋂_{k} E_{k}) = 1 。$ 理由：补集 $(⋂_{k} E_{k})^{c} = ⋃_{k} E_{k}^{c} ，$ 由可数次可加性， $P (⋃_{k} E_{k}^{c}) \leq \sum_{k} P (E_{k}^{c}) = \sum_{k} 0 = 0 。$ 不可数个就不行：在 $[0, 1]$ 上均匀取点， $E_{c} = {ω \neq = c}$ 每个概率都是 1，但对所有 $c \in [0, 1]$ 取交是空集。

题目与原解答

课件原文题目

Let $X_{1}, X_{2}, \dots$ be independent. Show that $sup X_{n} < \infty$ a.s. if and only if $\sum_{n} P (X_{n} > A) < \infty$ for some $A$ .

中文翻译

设 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 相互独立。证明： $sup_{n} X_{n} < \infty$ 几乎必然成立，当且仅当存在某个 $A ，$ 使 $\sum_{n} P (X_{n} > A) < \infty 。$

原解答的思路（左栏）：

「⇒」：反设级数发散，由独立性和 Borel–Cantelli 引理得 $P (X_{n} > A i.o.) = 1$ 对所有 $A$ 成立，于是 $sup X_{n} = \infty$ a.s.，矛盾。
「⇐」：级数有限时 $P (X_{n} > A i.o.) = 0 ，$ 即几乎必然地最终 $X_{n} \leq A ，$ 所以 $sup X_{n} < \infty$ a.s.

框架正确，但量词、引理的选择和两处关键跳步都需要补，见「原解答逐行对照」。

思路：怎么想到的

把「sup 有限」和「超过门槛」联系起来。数列有上界，就是「存在一个门槛，只被超过有限次」；数列无上界，就是「每个门槛都被超过无穷多次」。所以 $sup X_{n}$ 的问题自然变成「 ${X_{n} > A}$ 是否发生无穷多次」。
「发生有限次」找第一引理，「发生无穷多次」找第二引理。第一引理要「和有限」，正好是题目的条件；第二引理要「和无穷 + 独立」，正好是题目条件的否定加上题设的独立性。
「每个门槛」不可数，要先换成可数个。只对 $A = 1, 2, 3, \dots$ 用第二引理，就足以推出 $sup = \infty 。$

完整解答

定理命题（独立序列上确界有限的判别）

设 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 是相互独立的实值随机变量。则

P (n sup X_{n} < \infty) = 1 ⟺ 存在 A \in R, 使 n = 1 \sum \infty P (X_{n} > A) < \infty.

而且，若对每个 $A$ 级数都发散，则 $P (sup_{n} X_{n} = \infty) = 1 。$ 所以 $P (sup_{n} X_{n} < \infty)$ 只能是 0 或 1。「⇐」方向不需要独立性。

推导证明思路

「⇐」：第一引理 ⇒ 最终 $X_{n} \leq A$ ⇒ 上确界不超过「前面有限项的最大值」与 $A$ 中较大者。「⇒」：证逆否命题。对每个正整数 $k ，$ 第二引理 ⇒ $X_{n} > k$ 无穷多次；可数个交 ⇒ 几乎必然地每个 $k$ 都被超过 ⇒ $sup = \infty 。$

（⇐）级数有限 ⇒ 上确界有限（不用独立）

第 1 步：第一引理。 设 $\sum_{n} P (X_{n} > A) < \infty 。$ 由第一 Borel–Cantelli 引理， $P (X_{n} > A i.o.) = 0 。$ 令 $Ω_{0} = {X_{n} > A i.o.}^{c} = {X_{n} \leq A ev.} ，$ 则 $P (Ω_{0}) = 1 。$

第 2 步：逐点估计上确界。 取 $ω \in Ω_{0} ，$ 存在 $m = m (ω)$ 使 $X_{n} (ω) \leq A$ 对所有 $n \geq m$ 成立。于是对每个 $n ：$

$n < m$ 时， $X_{n} (ω) \leq max {X_{1} (ω), \dots, X_{m - 1} (ω)} ；$
$n \geq m$ 时， $X_{n} (ω) \leq A 。$

所以

n sup X_{n} (ω) \leq max {X_{1} (ω), \dots, X_{m - 1} (ω), A} < \infty.

右边是有限个实数的最大值（每个 $X_{k} (ω)$ 都是有限数），所以有限。

第 3 步：结论。 $Ω_{0} \subseteq {sup_{n} X_{n} < \infty} ，$ 所以 $P (sup_{n} X_{n} < \infty) \geq P (Ω_{0}) = 1 。$

（⇒）上确界有限 ⇒ 存在 A 使级数有限（要用独立）

证明逆否命题：若对每个 $A$ 都有 $\sum_{n} P (X_{n} > A) = \infty ，$ 则 $P (sup_{n} X_{n} = \infty) = 1$ ，从而 $P (sup_{n} X_{n} < \infty) = 0 \neq = 1 。$

第 1 步：对每个正整数门槛用第二引理。 固定正整数 $k 。$ 事件 ${X_{n} > k}$ （ $n = 1, 2, \dots ）$ 相互独立（先补基础），且由假设 $\sum_{n} P (X_{n} > k) = \infty 。$ 由第二 Borel–Cantelli 引理，

P (E_{k}) = 1, E_{k} := {X_{n} > k i.o.} .

第 2 步：可数个交。 令 $Ω^{*} = ⋂_{k = 1}^{\infty} E_{k} ，$ 由先补基础， $P (Ω^{*}) = 1 。$

第 3 步：在 $Ω^{*}$ 上 $sup = \infty 。$ 取 $ω \in Ω^{*} 。$ 对每个正整数 $k ，$ $ω \in E_{k} ，$ 所以至少有一个 $n$ 使 $X_{n} (ω) > k ，$ 从而 $sup_{n} X_{n} (ω) > k 。$ $k$ 可以任意大，所以 $sup_{n} X_{n} (ω) = + \infty 。$

第 4 步：结论。 $P (sup_{n} X_{n} = \infty) \geq P (Ω^{*}) = 1 。$ 这与「 $sup X_{n} < \infty$ a.s.」矛盾，所以「对每个 $A$ 级数都发散」不可能，即存在 $A$ 使级数有限。 $■$

为什么只取正整数 $k$ ：若对任意实数 $A$ 用第二引理，得到的是不可数个概率为 1 的事件，交集未必概率为 1（先补基础）。任何实数 $A$ 都小于某个正整数 $k ，$ 所以正整数门槛已经够用。

原解答逐行对照

第 1 句 If $sup x_{n} < \infty$ a.s., we can suppose $\sum P (X_{n} > A) = \infty$ .

开始反证「⇒」：已知上确界几乎必然有限，假设结论不成立。

易错点原解答的问题：反证的假设必须写成「对每个 A」

结论是「存在 $A$ 使级数有限」，它的否定是「对每个 $A ，$ $\sum_{n} P (X_{n} > A) = \infty 」。$ 原句没给 $A$ 加量词，读起来像是「对某个 $A$ 级数发散」，那推不出矛盾（门槛太低时级数当然可以发散）。应写成：「反设对每个 $A \in R ，$ $\sum_{n} P (X_{n} > A) = \infty 」。$ 另外 $sup x_{n}$ 里的小写 $x_{n}$ 是笔误，应为 $X_{n} 。$

第 2 句 Due to $X_{1} \dots x_{n}$ are independent, according to Berel-cantelli Lemma, we have $P (X_{n} > A i . o .) = 1$ for all $A$ .

由独立性和第二 Borel–Cantelli 引理，每个门槛都被超过无穷多次。

易错点原解答的问题：引理名拼写、引理编号、事件独立性

「Berel-cantelli」应为 Borel–Cantelli；这里用的是第二引理，应写明，因为只有它需要独立性。
第二引理要求的是事件 ${X_{n} > A}$ 相互独立。这由随机变量 $X_{n}$ 的独立性推出（ ${X_{n} > A} = {X_{n} \in (A, \infty)} ），$ 可以补一句。「 $X_{1} \dots x_{n} 」$ 应为「 $X_{1}, X_{2}, \dots 」：$ 要独立的是整个无穷序列。

第 3 句 It means that $sup X_{n} = \infty$ a.s. which contradicts $sup X_{n} < \infty$ a.s.

意思是：这说明 $sup X_{n} = \infty$ 几乎必然成立，与 $sup X_{n} < \infty$ a.s. 矛盾。

易错点原解答的问题：从「每个 A 概率为 1」到「sup = ∞ a.s.」要用可数交

「对所有 $A ，$ $P (X_{n} > A i.o.) = 1 」$ 是不可数个结论。要得到「几乎必然地，所有门槛同时被超过」，需要像完整解答第 2 步那样只取 $A = 1, 2, 3, \dots ，$ 用可数次可加性说明交集概率为 1。（另一种写法： ${X_{n} > k i.o.} \subseteq {sup_{n} X_{n} > k} ，$ 所以 $P (sup_{n} X_{n} > k) = 1$ 对每个 $k$ 成立；事件 ${sup_{n} X_{n} > k}$ 随 $k$ 递减到 ${sup_{n} X_{n} = \infty} ，$ 由从上连续， $P (sup_{n} X_{n} = \infty) = 1 。）$

第 4 句 If $\sum P (X_{n} > A) < \infty$ , similarly, we can have $P (X_{n} > A i.o.) = 0 \Rightarrow P (X_{n} \leq A eventually) = 1$ . Therefore $sup X_{n} < \infty$ a.s.

这是「⇐」方向：第一引理 ⇒ 最终 $X_{n} \leq A$ ⇒ 上确界有限。

易错点原解答的问题：「similarly」不恰当，最后一步有跳步

这一方向用的是第一引理，它不需要独立，与上一段用第二引理并不「类似」。写成「similarly」容易让人以为两个方向都要独立。
「最终 $X_{n} \leq A 」$ 并不直接给出「 $sup X_{n} \leq A 」：$ 前面有限项可能超过 $A 。$ 正确的推理是 $sup_{n} X_{n} (ω) \leq max {X_{1} (ω), \dots, X_{m - 1} (ω), A} ，$ 右边有限，因为每个 $X_{k} (ω)$ 都是有限实数（完整解答「⇐」第 2 步）。

例子与数值验证

例 1：独立同分布的标准正态——sup 几乎必然是 ∞

$X_{n} \sim N (0, 1)$ 独立同分布。对任何 $A ，$ $P (X_{n} > A) = P (X_{1} > A) > 0$ 不随 $n$ 变，级数是无穷多个相同的正数相加，等于 $\infty 。$ 由命题， $sup_{n} X_{n} = \infty$ a.s.

但增长极慢： $A = 5$ 时 $P (X_{1} > 5) \approx 2.87 \times 1 0^{- 7} ，$ 平均约 350 万次才超过一次。Python 模拟一条路径，前 $n$ 项的最大值： $n = 1 0^{2}$ 时约 $2.08 ，$ $n = 1 0^{4}$ 时约 $3.88 ，$ $n = 1 0^{6}$ 时约 $4.90$ （一条路径的结果是随机的；用数值积分算出前 $n$ 项最大值的期望分别约为 $2.51 、$ $3.85 、$ $4.86 ）。$ 大致像 $2 ln n$ 那样增长（ $n = 1 0^{6}$ 时 $2 ln n \approx 5.26 ），$ 但永不停止。

例 2：只取 0 和 n 的独立变量——sup 有限，却没有公共上界

设 $X_{n}$ 独立， $P (X_{n} = n) = p_{n} ，$ $P (X_{n} = 0) = 1 - p_{n} 。$ 对 $A \geq 0 ，$ $P (X_{n} > A) = p_{n}$ （当 $n > A ），$ $= 0$ （当 $n \leq A ）。$ 所以级数有限 $⟺ \sum_{n} p_{n} < \infty 。$

$p_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ ： $\sum p_{n} < \infty ，$ $sup_{n} X_{n} < \infty$ a.s.。还能精确算出分布：对 $m \geq 2 ，$

P (n sup X_{n} < m) = n \geq m \prod (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = n \geq m \prod \frac{( n - 1 ) ( n + 1 )}{n \cdot n} = \frac{m - 1}{m}

（连乘相邻项约掉），所以 $P (sup_{n} X_{n} \geq m) = \frac{1}{m} 。$ Python 模拟 2 万条路径（取前 2 万项）： $P (sup \geq 10) \approx 0.096$ （理论 $0.1 ），$ $P (sup \geq 100) \approx 0.0096$ （理论 $0.01 ）；$ 2 万条路径的模拟误差分别约为 $\pm 0.002$ 和 $\pm 0.0007 。$

$p_{n} = \frac{1}{n}$ ： $\sum p_{n} = \infty ，$ $sup_{n} X_{n} = \infty$ a.s.。精确地， $P (X_{n} = 0 对所有 2 \leq n \leq M) = \prod_{n = 2}^{M} \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{M} \to 0 。$

例 3（反例）：去掉独立，「⇒」失败

令 $X \sim Exp (1) ，$ 每个 $X_{n} = X 。$ 则 $sup_{n} X_{n} = X < \infty$ （每个 $ω$ 上都有限）。但对任何 $A ，$ $P (X_{n} > A) = P (X > A) > 0 ，$ 级数 $= \infty 。$ 所以「上确界几乎必然有限，却没有任何 $A$ 使级数有限」——「⇒」不成立。

证明坏在第二引理：事件 ${X_{n} > k} = {X > k}$ 对所有 $n$ 是同一个事件，完全不独立；它要么对所有 $n$ 发生，要么都不发生，「发生无穷多次」的概率是 $P (X > k) = e^{- k} ，$ 不是 1。

「⇐」在这里仍然成立：若某个 $A$ 使级数有限，那么上确界有限。这个方向从来不需要独立。

拓展延伸

0–1 律：独立序列的很多「长期性质」只能以概率 0 或 1 发生

命题说明 $P (sup_{n} X_{n} < \infty) \in {0, 1} 。$ 这是一般现象的特例：Kolmogorov 0–1 律（这里作为已知结论介绍，见 Durrett《Probability: Theory and Examples》第 2.5 节）说，若 $X_{n}$ 相互独立，那么任何「改动有限项不影响其是否发生」的事件（尾事件），概率只能是 0 或 1。 ${sup_{n} X_{n} < \infty}$ 就是尾事件：改动前面有限项，上确界是否有限不变。本题则用 Borel–Cantelli 引理直接算出了到底是 0 还是 1。小测 2 第 4 题「独立序列的极限只能是常数」也是这一现象。

同一个判别法的几种变形

下确界：对 $- X_{n}$ 用本题， $in f_{n} X_{n} > - \infty$ a.s. $⟺$ 存在 $B$ 使 $\sum_{n} P (X_{n} < B) < \infty 。$
绝对值： $sup_{n} ∣ X_{n} ∣ < \infty$ a.s. $⟺$ 存在 $A$ 使 $\sum_{n} P (∣ X_{n} ∣ > A) < \infty 。$
有上界 ≠ 上界可积：例 2 中 $p_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ 时 $sup_{n} X_{n}$ 有限，但 $E sup_{n} X_{n} = \sum_{m \geq 1} P (sup \geq m) = \sum_{m} \frac{1}{m} = \infty 。$ 「几乎必然有限」远弱于「可积」。

常见疑问与易错点

易错点问：sup Xₙ < ∞ a.s. 和「Xₙ 一致有界」是一回事吗？

答：不是。「一致有界」要求一个常数 $M ，$ 使几乎必然 $∣ X_{n} ∣ \leq M$ 对所有 $n$ 成立。 $sup X_{n} < \infty$ a.s. 只要求每个 $ω$ 有自己的上界。例 2（ $p_{n} = \frac{1}{n ^{2}} ）$ 中，对每个 $m ，$ $P (sup X_{n} \geq m) = \frac{1}{m} > 0 ，$ 没有公共上界，但上确界几乎必然有限。

易错点问：为什么「⇐」不需要独立，「⇒」却需要？

答：「⇐」要证坏事件（超过 $A ）$ 只发生有限次，第一引理只看平均发生次数 $\sum P (X_{n} > A)$ 是否有限，与事件之间的关系无关。「⇒」要证坏事件发生无穷多次，概率之和发散还不够，必须保证这些概率不「挤」在同一批 $ω$ 上（例 3 恰好全挤在一起），独立性正是这个保证。

易错点问：A 可以是负数吗？题目里的 A 有什么限制？

答： $A$ 是任意实数。由于门槛越高级数越小，若某个负的 $A$ 使级数有限，那么 $A = 0$ 也行。所以不妨只考虑 $A \geq 0 ，$ 甚至只考虑正整数 $A 。$

小结与自测

小结本题小结

独立序列： $sup_{n} X_{n} < \infty$ a.s. $⟺$ 存在 $A ，$ $\sum_{n} P (X_{n} > A) < \infty ；$ 否则 $sup_{n} X_{n} = \infty$ a.s.（0–1 二分）。
「⇐」：第一引理 + 「最终 $\leq A 」$ + 前面有限项都是有限实数；不需要独立。
「⇒」：逆否命题；对 $A = k \in N$ 用第二引理（独立），可数交得 $sup = \infty$ a.s.
原解答要补的地方：反设应为「对每个 $A$ 级数发散」；要写明用的是哪个引理；从「每个 $A 」$ 到「 $sup = \infty 」$ 要用可数交；「⇐」最后一步要用到前面有限项有限。

自测

1. $X_{n}$ 相互独立， $X_{n}$ 在 $[0, n]$ 上均匀分布。 $sup_{n} X_{n}$ 几乎必然有限吗？

点开看答案

不是，几乎必然为 $\infty 。$ 对任何 $A \geq 0 ，$ $n > A$ 时 $P (X_{n} > A) = 1 - \frac{A}{n} ，$ 当 $n \geq 2 A$ 时它 $\geq \frac{1}{2} ，$ 所以级数 $= \infty 。$ 由命题（独立）， $sup_{n} X_{n} = \infty$ a.s.

2. 设 $Y_{n}$ 独立同分布于 $Exp (1) ，$ $X_{n} = Y_{n} - 3 ln n 。$ $sup_{n} X_{n}$ 几乎必然有限吗？

点开看答案

有限。取 $A = 0 ：$ $P (X_{n} > 0) = P (Y_{n} > 3 ln n) = e^{- 3 l n n} = n^{- 3} ，$ $\sum_{n} n^{- 3} < \infty 。$ 由「⇐」方向（甚至不需要独立）， $sup_{n} X_{n} < \infty$ a.s.

3. 把题目里的「independent」删掉，哪个方向仍然成立？给出另一个方向的反例。

点开看答案

「⇐」（存在 $A$ 使级数有限 ⇒ 上确界有限）仍然成立，它只用第一引理。「⇒」不成立：取 $X_{n} = X \sim N (0, 1)$ 对所有 $n ，$ $sup_{n} X_{n} = X < \infty ，$ 但对任何 $A ，$ $\sum_{n} P (X > A) = \infty 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
独立同分布	independent and identically distributed (i.i.d.)	一列随机变量相互独立，并且分布都相同，例如反复独立地掷同一颗骰子。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
尾事件	tail event	改动任意有限个坐标都不影响是否发生的事件，例如「序列 ω₁, ω₂, … 收敛」。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
一致有界	uniformly bounded	存在同一个常数 M，使所有 n、所有点 x 都有 \|fₙ(x)\| ≤ M。「一致」是指一个 M 管住整列函数。