12 正负两侧的尾部决定均值 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

把 CDF 的图像画出来：右边 $F$ 上方（到高度 1 为止）的面积是 $E X^{+} ，$ 左边 $F$ 下方的面积是 $E X^{-}$ ，均值就是两块面积相减：

E X = \int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

不需要密度，也不需要知道 $X$ 是离散的还是连续的。

位置：第 2 部分「用 CDF 计算期望」的第 5 页，也是这一串推导的终点。路线是：第 9 页（增量和式）→ 第 10 页（分部积分，定理 9）→ 第 11 页（截断变量，推论 10）→ 本页（去掉截断，定理 11）。
为什么需要：推论 10 只能算有界的截断变量 $X^{(a, b)} 。$ 本页把截断的上下限推到 $\pm \infty ，$ 算出 $X$ 本身的期望；推的过程用单调收敛定理，结论对期望为 $+ \infty$ 的情形也成立。
后面怎么用：下一页第 13 页用它算混合型分布的均值；第 15、16 页用它核对指数分布、Pareto 分布的均值；第 21 页的矩–尾恒等式就是把本页的非负情形用在 $X^{p}$ 上。

先补基础

基础补课正部与负部（回顾第 5 页）

$X^{+} := max (X, 0) ，$ $X^{-} := max (- X, 0) 。$ $X$ 是正数时 $X^{+} = X 、$ $X^{-} = 0 ；$ $X$ 是负数时 $X^{+} = 0 、$ $X^{-} = - X = ∣ X ∣ 。$ 所以 $X = X^{+} - X^{-} ，$ $∣ X ∣ = X^{+} + X^{-} ，$ 两者都非负。
例： $X = - 3$ 时 $X^{+} = 0 ，$ $X^{-} = 3 ；$ $X = 2$ 时 $X^{+} = 2 ，$ $X^{-} = 0 。$
第 5 页定义 3： $E X^{+}$ 与 $E X^{-}$ 至少一个有限时， $E X := E X^{+} - E X^{-} ；$ 两个都是 $+ \infty$ 时 $E X$ 不存在；两个都有限时 $X$ 可积。

基础补课无穷区间上的积分 ∫₀^∞

$\int_{0}^{\infty} h (x) d x$ （ $h \geq 0 ）$ 是勒贝格积分 $\int_{[0, \infty)} h d Leb ，$ 值在 $[0, \infty]$ 里，可以是 $+ \infty 。$
计算方法：先在 $[0, n]$ 上积分，再令 $n \to \infty 。$ 理由是单调收敛定理（MCT）： $h 1_{[0, n]}$ 随 $n$ 递增，逐点趋于 $h 1_{[0, \infty)} ，$ 所以 $\int_{0}^{n} h d x ↑ \int_{0}^{\infty} h d x 。$ 这就是微积分里「广义积分」 $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n}$ 的严格版本（对非负函数）。
例： $\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = lim_{n} (1 - e^{- n}) = 1 ；$ $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x = lim_{n} ln n = + \infty 。$

基础补课回顾：推论 10（第 11 页）

对有限的 $a < b ，$ 截断变量 $X^{(a, b)} = min (max (X, a), b)$ 满足

E X^{(a, b)} = a + \int_{a}^{b} (1 - F (x)) d x = b - \int_{a}^{b} F (x) d x .

课件原文逐句精读

课件原文Positive and negative CDF tails determine the mean

Theorem 11 (Expectation directly from a CDF) For every real-valued random variable $X$ ,

中文翻译

蓝条标题：CDF 在正、负两侧的尾部决定了均值。

定理 11（直接由 CDF 求期望） 对每一个实值随机变量 $X ，\dots\dots$ （课件正文留白，见下一节。）

① Positive and negative CDF tails｜什么是「正、负两侧的尾部」

正侧的尾部： $x > 0$ 时的 $1 - F (x) = P (X > x) ，$ 即「 $X$ 超过一个正数 $x 」$ 的概率。 $x$ 越大，它越小，是分布在右边那条「尾巴」上的质量。
负侧的尾部： $x < 0$ 时的 $F (x) = P (X \leq x) ，$ 即「 $X$ 低于一个负数 $x 」$ 的概率。 $x$ 越往左，它越小，是左边那条尾巴上的质量。
注意两侧用的函数不一样：右边用 $1 - F ，$ 左边用 $F 。$ 它们都是「离 0 越远越小」的量，这正是它们可能积分有限的原因。

② determine the mean｜决定均值

标题说：只要知道这两条尾巴，就能算出均值。尾巴越「重」（下降越慢），面积越大，均值的那一部分越大；尾巴下降得太慢时面积是无穷，对应的 $E X^{+}$ 或 $E X^{-}$ 就是 $+ \infty 。$

③ For every real-valued random variable X｜对每一个实值随机变量

没有任何假设：不要求可积，不要求有密度。定理的前两条等式在 $[0, \infty]$ 里成立，允许等于 $+ \infty 。$
只在最后一步「两者相减」时需要条件： $E X^{+} 、$ $E X^{-}$ 不能同时是 $+ \infty ，$ 否则 $\infty - \infty$ 没有意义（第 5 页定义 3）。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定理 11（直接由 CDF 求期望）

设 $X$ 是实值随机变量， $F = F_{X} 。$ 则（两边都在 $[0, \infty]$ 中取值）

E X^{+} = \int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x, E X^{-} = \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

因此：

期望存在 $⟺$ 右边两个积分至少有一个有限；此时 $E X = \int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .$
可积 $⟺$ 两个积分都有限。
非负情形：若 $X \geq 0 ，$ 则 $E X = \int_{0}^{\infty} P (X > x) d x \in [0, \infty] 。$

逐项解释：

$E X^{+}$ 那一条： $X^{+}$ 是非负的，它的期望是「右尾函数 $P (X > x)$ 在 $[0, \infty)$ 上的面积」。
$E X^{-}$ 那一条： $X^{-}$ 是 $X$ 负的那部分取绝对值，它的期望是「左尾函数 $P (X \leq x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上的面积」。
第 1 条：直接套用第 5 页的定义 3，把 $E X^{\pm}$ 换成两个积分。
第 2 条：可积就是 $E ∣ X ∣ = E X^{+} + E X^{-} < \infty ，$ 即两部分都有限。
第 3 条： $X \geq 0$ 时 $X^{-} = 0 ，$ 第二个积分为 0（ $x < 0$ 时 $F (x) = P (X \leq x) = 0 ），$ 只剩第一个；又 $1 - F (x) = P (X > x) 。$ 第 21 页引用的就是这一条。

人话版为什么「尾部面积」等于「平均值」：换个方向数格子

设 $X \geq 0$ 只取 $0 < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{k}$ 这几个值，概率分别是 $p_{1}, \dots, p_{k} ，$ 记 $x_{0} = 0 。$

竖着切（按取值）：中学公式 $E X = \sum_{i} p_{i} x_{i} ，$ 第 $i$ 个值贡献一个「宽 $p_{i} 、$ 高 $x_{i} 」$ 的长方形。
横着切（按高度）：在 $[x_{j - 1}, x_{j})$ 这一段上， $X > x$ 当且仅当 $X$ 取 $x_{j}, \dots, x_{k}$ 之一，所以尾函数等于 $p_{j} + \dots + p_{k} 。$ 尾部面积是 $j = 1 \sum k (x_{j} - x_{j - 1}) (p_{j} + \dots + p_{k}) .$
把括号展开， $p_{i}$ 出现在 $j = 1, \dots, i$ 这些项里，系数加起来是 $(x_{1} - x_{0}) + (x_{2} - x_{1}) + \dots + (x_{i} - x_{i - 1}) = x_{i} - x_{0} = x_{i} 。$ 所以尾部面积 $= \sum_{i} p_{i} x_{i} = E X 。$

例： $X$ 以各 $\frac{1}{2}$ 取 1、3。尾函数在 $[0, 1)$ 上为 1，在 $[1, 3)$ 上为 $\frac{1}{2} ，$ 面积 $1 \times 1 + 2 \times \frac{1}{2} = 2 = \frac{1 + 3}{2} 。$ 两种算法是同一堆长方形，一种竖着数，一种横着数。定理 11 把这件事推广到任意分布，推广的工具就是截断加单调收敛定理。

推导证明思路

先对两个有界的截断变量 $min (X^{+}, n) 、$ $min (X^{-}, n)$ 用推论 10，得到两个 $[0, n]$ 或 $[- n, 0]$ 上的积分；再令 $n \to \infty ：$ 左边的截断变量单调递增到 $X^{\pm} ，$ 右边的积分区间单调扩大，两边都用单调收敛定理取极限。

第 1 步：正部的截断就是 $X^{(0, n)} 。$ 取 $a = 0 、$ $b = n$ （ $n = 1, 2, \dots ）。$ 对每个 $ω ：$

若 $X (ω) \leq 0 ：$ $X^{(0, n)} (ω) = 0 ，$ 而 $X^{+} (ω) = 0 ；$
若 $0 < X (ω) \leq n ：$ $X^{(0, n)} (ω) = X (ω) = X^{+} (ω) ；$
若 $X (ω) > n ：$ $X^{(0, n)} (ω) = n ，$ 而 $X^{+} (ω) = X (ω) > n 。$

三种情况都满足 $X^{(0, n)} = min (X^{+}, n) 。$ 由推论 10 的第一种写法，

E [min (X^{+}, n)] = 0 + \int_{0}^{n} (1 - F (x)) d x .

第 2 步：令 $n \to \infty 。$

左边：对每个 $ω ，$ $min (X^{+} (ω), n)$ 随 $n$ 单调不减，并且一旦 $n \geq X^{+} (ω)$ 就等于 $X^{+} (ω) ，$ 所以 $min (X^{+}, n) ↑ X^{+} 。$ 它们都是非负随机变量，由 MCT， $E min (X^{+}, n) ↑ E X^{+} 。$
右边： $(1 - F) 1_{[0, n]}$ 是非负函数，随 $n$ 递增，逐点趋于 $(1 - F) 1_{[0, \infty)} 。$ 再用一次 MCT（这次是对勒贝格测度）， $\int_{0}^{n} (1 - F) d x ↑ \int_{0}^{\infty} (1 - F) d x 。$

两列数逐项相等，极限也相等（允许同为 $+ \infty ）：$ $E X^{+} = \int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x 。$

第 3 步：负部的截断就是 $- X^{(- n, 0)} 。$ 取 $a = - n 、$ $b = 0 。$ 对每个 $ω ：$

若 $X (ω) \geq 0 ：$ $X^{(- n, 0)} (ω) = 0 ，$ 而 $X^{-} (ω) = 0 ；$
若 $- n < X (ω) < 0 ：$ $X^{(- n, 0)} (ω) = X (ω) = - X^{-} (ω) ；$
若 $X (ω) \leq - n ：$ $X^{(- n, 0)} (ω) = - n ，$ 而 $X^{-} (ω) = - X (ω) \geq n 。$

三种情况都满足 $X^{(- n, 0)} = - min (X^{-}, n) 。$ 由推论 10 的第二种写法（ $b = 0 ），$ $E X^{(- n, 0)} = 0 - \int_{- n}^{0} F (x) d x ，$ 所以

E [min (X^{-}, n)] = - E X^{(- n, 0)} = \int_{- n}^{0} F (x) d x .

第 4 步：再令 $n \to \infty 。$ 与第 2 步完全一样的两次 MCT： $min (X^{-}, n) ↑ X^{-} ，$ $F 1_{[- n, 0]} ↑ F 1_{(- \infty, 0]} ，$ 于是 $E X^{-} = \int_{- \infty}^{0} F (x) d x 。$

第 5 步：合起来。 把第 2、4 步的结果代入第 5 页定义 3，就得到第 1、2 条；第 3 条前面已经解释。证毕。

一次截两边：E X^{(a,b)} 本身就分成两块

对 $a < 0 < b ，$ 推论 10 的第二种写法可以拆开：

E X^{(a, b)} = b - \int_{a}^{0} F d x - \int_{0}^{b} F d x = \int_{0}^{b} (1 - F (x)) d x - \int_{a}^{0} F (x) d x,

因为 $b - \int_{0}^{b} F d x = \int_{0}^{b} (1 - F) d x 。$ 这里正好看到两块尾部面积各自「截到 $b$ 和 $a 」$ 的样子。随机变量层面对应的恒等式是 $X^{(a, b)} = min (X^{+}, b) - min (X^{-}, - a) 。$ 令 $b ↑ \infty 、$ $a ↓ - \infty ，$ 两块分别用 MCT，就是上面的证明。分开处理的好处是：即使两块都趋于 $+ \infty$ （期望不存在），每一块的结论也仍然成立。

图解

图解：两块面积——右边 F 上方，左边 F 下方

课件这里没有图，可以这样画：

画坐标系，横轴是 $x \in R ，$ 纵轴是 $[0, 1] 。$ 在高度 1 处画一条水平虚线，再画出 $F$ 的图像：它从左边的 0 爬升到右边的 1。
右边一块（涂成蓝色）： $x \geq 0$ 的部分， $F$ 的曲线与 $y = 1$ 之间的区域，即 ${(x, y) : x \geq 0, F (x) \leq y \leq 1} 。$ 它的面积是 $\int_{0}^{\infty} (1 - F) d x = E X^{+} 。$
左边一块（涂成红色）： $x \leq 0$ 的部分， $F$ 的曲线与横轴之间的区域，即 ${(x, y) : x \leq 0, 0 \leq y \leq F (x)} 。$ 它的面积是 $\int_{- \infty}^{0} F d x = E X^{-} 。$
均值 = 蓝色面积 − 红色面积。

读图技巧：

分布往右偏（ $X$ 常取大的正数）， $F$ 在右边升得慢，蓝色一块大，均值大。
分布往左偏， $F$ 在左边早早升起，红色一块大，均值小。
两块都是向无穷远延伸的「细长尾巴」。尾巴变细得够快（例如指数速度），面积有限；变细得太慢（例如 $\frac{1}{x}$ 的速度），面积是无穷。
如果画出的是第 11 页的矩形 $[a, b] \times [0, 1] ，$ 本页就是把它的左右两条边推到无穷远。

例子

例 1：指数分布的均值

$X \sim exp (λ) ：$ $x < 0$ 时 $F (x) = 0 ，$ $x \geq 0$ 时 $1 - F (x) = e^{- λ x} 。$

红色一块： $\int_{- \infty}^{0} F d x = 0 ，$ 所以 $E X^{-} = 0$ （ $X \geq 0 ）。$
蓝色一块： $\int_{0}^{n} e^{- λ x} d x = \frac{1 - e ^{- λn}}{λ} \to \frac{1}{λ} 。$

所以 $E X = \frac{1}{λ} 。$ 第 15 页会用逆变换法再算一遍。

例 2：区间 (−1, 2) 上的均匀分布——两块面积都不为 0

$X \sim Unif (- 1, 2) ，$ 在 $[- 1, 2]$ 上 $F (x) = \frac{x + 1}{3} ，$ $x < - 1$ 时为 0， $x > 2$ 时为 1。

蓝色一块： $\int_{0}^{2} (1 - \frac{x + 1}{3}) d x = \int_{0}^{2} \frac{2 - x}{3} d x = \frac{1}{3} [2 x - \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{2} = \frac{1}{3} (4 - 2) = \frac{2}{3} ；$ $x > 2$ 时 $1 - F = 0 ，$ 没有贡献。
红色一块： $\int_{- 1}^{0} \frac{x + 1}{3} d x = \frac{1}{3} [\frac{x ^{2}}{2} + x]_{- 1}^{0} = \frac{1}{3} (0 - (\frac{1}{2} - 1)) = \frac{1}{6} ；$ $x < - 1$ 时 $F = 0 ，$ 没有贡献。
均值： $E X = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2} ，$ 正是区间中点 $\frac{- 1 + 2}{2} 。$

还可以单独核对： $E X^{-} = \int_{- 1}^{0} (- x) \cdot \frac{1}{3} d x = \frac{1}{6} ，$ 一致。

例 3：离散分布——台阶下的长方形

$X$ 以各 $\frac{1}{2}$ 的概率取 $- 1$ 和 $2 。$ $F ：$ $x < - 1$ 时 0， $- 1 \leq x < 2$ 时 $\frac{1}{2} ，$ $x \geq 2$ 时 1。

蓝色一块： $[0, 2)$ 上 $1 - F = \frac{1}{2} ，$ $x \geq 2$ 时为 0，面积 $2 \times \frac{1}{2} = 1 。$ 直接算： $E X^{+} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 。$ 一致。
红色一块： $[- 1, 0)$ 上 $F = \frac{1}{2} ，$ $x < - 1$ 时为 0，面积 $1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} 。$ 直接算： $E X^{-} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} 。$ 一致。
$E X = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} ，$ 也就是 $\frac{1}{2} (- 1) + \frac{1}{2} \cdot 2 。$

离散分布的 $F$ 是台阶，两块面积都是一些长方形拼成的。

例 4（反例）：柯西分布——两块面积都是无穷，期望不存在

$F (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} arctan x 。$ 对 $x > 0 ，$ 由 $arctan x + arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2} ，$

1 - F (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{π} arctan x = \frac{1}{π} arctan \frac{1}{x} .

$arctan$ 在 $[0, 1]$ 上是凹函数（图像在弦的上方），弦连接 $(0, 0)$ 与 $(1, \frac{π}{4}) ，$ 所以 $0 \leq y \leq 1$ 时 $arctan y \geq \frac{π}{4} y 。$ 于是 $x \geq 1$ 时 $1 - F (x) \geq \frac{1}{4 x} ，$

E X^{+} = \int_{0}^{\infty} (1 - F) d x \geq \int_{1}^{n} \frac{d x}{4 x} = \frac{ln n}{4} \to \infty.

$F (- x) = 1 - F (x)$ （分布关于 0 对称），所以红色一块也是 $+ \infty 。$ 两块都是无穷，由定理 11 第 1 条， $E X$ 不存在。对比第 11 页例 4：截断变量的期望总存在，但截断放开以后就没有极限了。

常见疑问与易错点

易错点问：左边为什么用 F，不用 1 − F？

答：因为要积分的是离 0 越远越小的东西。 $x \to - \infty$ 时 $F (x) \to 0 ，$ 而 $1 - F (x) \to 1 ；$ 若在 $(- \infty, 0]$ 上积分 $1 - F ，$ 面积必然是无穷，没有意义。直观上， $X^{-}$ 衡量 $X$ 往左走了多远，「往左超过 $∣ x ∣ 」$ 的概率是 $P (X \leq x) = F (x)$ （ $x < 0 ），$ 所以左边用 $F 。$ 更严格地， $P (X^{-} > t) = P (X < - t) = F ((- t) -) ，$ 与 $F (- t)$ 只在可数个点不同，积分相同。

易错点问：能不能把两块面积合并成一个积分？

答：两部分都有限时可以合并成 $\int_{R} (1_{[0, \infty)} (x) - F (x)) d x ，$ 被积函数在 $x \geq 0$ 时是 $1 - F ，$ 在 $x < 0$ 时是 $- F 。$ 但如果某一部分是 $+ \infty ，$ 合并后可能出现 $\infty - \infty ，$ 所以定理里一定要分成两部分写，先分别判断是否有限，再相减。

易错点问：右边一块用 ℙ(X > x) 还是 ℙ(X ≥ x)？

答：都可以。两者之差 $P (X = x)$ 只在 $F$ 的跳跃点处不为 0，而跳跃点至多可数个（第 10 页最后一个易错点），可数集的勒贝格测度为 0，不影响积分。同样，左边用 $F (x)$ 或 $F (x -) = P (X < x)$ 也一样。

易错点问：∫₀^∞(1 − F) = ∞，是不是就说明 𝔼X = +∞？

答：不一定。还要看另一块：若 $\int_{- \infty}^{0} F < \infty ，$ 则 $E X = + \infty ；$ 若它也是 $+ \infty$ （例 4 的柯西分布），则 $E X$ 不存在。只有 $X \geq 0$ 时，第一块无穷才直接推出 $E X = + \infty$ （第 16 页 $α = 1$ 的 Pareto 分布就是这样）。

小结与自测

小结本页小结

定理 11： $E X^{+} = \int_{0}^{\infty} (1 - F) d x ，$ $E X^{-} = \int_{- \infty}^{0} F d x ，$ 对任何实值 $X$ 成立（可为 $+ \infty ）。$
至少一个有限时 $E X = \int_{0}^{\infty} (1 - F) d x - \int_{- \infty}^{0} F d x ；$ 两个都有限时可积； $X \geq 0$ 时 $E X = \int_{0}^{\infty} P (X > x) d x 。$
证明： $min (X^{+}, n) = X^{(0, n)} 、$ $min (X^{-}, n) = - X^{(- n, 0)}$ 用推论 10，再对随机变量和对积分区间各用一次 MCT。
图像：右边 $F$ 上方的面积减去左边 $F$ 下方的面积。

自测

1. $X$ 以各 $\frac{1}{3}$ 的概率取 $- 2 、$ $1 、$ $4 。$ 用定理 11 求 $E X^{+} 、$ $E X^{-}$ 和 $E X ，$ 并与直接计算比较。

点开看答案

$F ：$ $x < - 2$ 时 0， $[- 2, 1)$ 上 $\frac{1}{3} ，$ $[1, 4)$ 上 $\frac{2}{3} ，$ $x \geq 4$ 时 1。蓝色一块： $[0, 1)$ 上 $1 - F = \frac{2}{3} ，$ $[1, 4)$ 上 $1 - F = \frac{1}{3} ，$ 面积 $\frac{2}{3} + 3 \times \frac{1}{3} = \frac{5}{3} 。$ 红色一块： $[- 2, 0)$ 上 $F = \frac{1}{3} ，$ 面积 $\frac{2}{3} 。$ $E X = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1 。$ 直接算： $E X^{+} = \frac{1 + 4}{3} = \frac{5}{3} ，$ $E X^{-} = \frac{2}{3} ，$ $E X = \frac{- 2 + 1 + 4}{3} = 1 。$ 一致。

2. 设 $X \geq 0 ，$ $P (X > x) = (1 + x)^{- 2}$ （ $x \geq 0 ）。$ 求 $E X 。$

点开看答案

由第 3 条， $E X = \int_{0}^{\infty} (1 + x)^{- 2} d x 。$ 在 $[0, n]$ 上原函数是 $- (1 + x)^{- 1} ，$ 积分 $= 1 - \frac{1}{1 + n} \to 1 。$ 所以 $E X = 1 。$

3. 判断：「若 $X$ 的分布关于 0 对称（ $F (- x) = 1 - F (x -) ），$ 则 $E X = 0 。」$

点开看答案

错。对称只说明两块面积相等，但它们可能同为 $+ \infty ，$ 这时 $E X$ 不存在，例 4 的柯西分布就是这样。正确的说法是：对称并且可积（ $\int_{0}^{\infty} (1 - F) < \infty ）$ 时， $E X = 0 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
分部积分	integration by parts	∫ₐᵇ u v′ dx = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v dx：把求导从一个函数挪到另一个函数上。由乘积求导法则 (uv)′ = u′v + uv′ 两边积分得到。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
指数分布	exponential distribution	P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
逆变换法	inverse transform method	U 服从 (0,1) 上的均匀分布时，Q(U) 的分布函数恰好是 F，用来生成任意分布。
凹函数	concave function	−φ 是凸函数时，φ 叫凹函数：任意两点间的弦都在图像下方，例如 log x、√x。对凹函数，Jensen 不等式反向：E φ(X) ≤ φ(E X)。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。