22 Lᵖ 空间：p 阶矩有限的随机变量放在一起 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

$L^{p}$ 就是「 $p$ 阶绝对矩有限」的随机变量全体，用 $∥ X ∥_{p} = (E ∣ X ∣^{p})^{1/ p}$ 衡量 $X$ 的「大小」； $L^{\infty}$ 是「几乎必然有界」的随机变量全体， $∥ X ∥_{\infty}$ 是 $∣ X ∣$ 的最低的几乎必然天花板。几乎必然相等的两个随机变量，在 $L^{p}$ 里算作同一个元素。

位置：第 3 部分的第二页。上一页第 21 页把「 $E ∣ X ∣^{p}$ 是否有限」翻译成了尾部条件；本页给「矩有限的随机变量」起一个名字，并配上一把「尺子」 $∥ \cdot ∥_{p} 。$
为什么需要：第 4 部分的不等式（Jensen、Hölder、Minkowski）都是在比较这些「大小」。有了 $L^{p}$ 和 $∥ \cdot ∥_{p} ，$ 它们可以写得很短，例如 Hölder 就是 $E ∣ X Y ∣ \leq ∥ X ∥_{p} ∥ Y ∥_{q}$ （第 26 页）。
与前面的联系：第 5 页定义的「可积」就是 $L^{1} 。$ 本页把 1 换成一般的 $p ，$ 再加上极端情形 $p = \infty 。$

先补基础

基础补课下确界 inf（回顾）

一个实数集合 $A$ 的下确界 $in f A$ 是「最大的下界」：它不超过 $A$ 里的每个数，而且任何比它大的数都不再是下界。
下确界不一定属于集合本身： $in f {M : M > 2} = 2 ，$ 但 2 不在集合里； $in f {M : M \geq 2} = 2 ，$ 这时 2 在集合里。
约定：空集的下确界是 $+ \infty ，$ 即 $in f \emptyset = + \infty 。$
常用性质：若 $m = in f A$ 有限，则对每个 $ε > 0 ，$ $A$ 里有一个数小于 $m + ε$ （否则 $m + ε$ 也是下界，比 $m$ 大，矛盾）。

基础补课几乎必然相等与等价类

$X = Y$ 几乎必然（a.s.）指 $P (X \neq = Y) = 0 ：$ 两者只在一个概率为 0 的集合上可能不同（第 5 页的性质 5）。
这是一个等价关系（第 1 讲维塔利集那几页用过这个词）：自反（ $X = X$ a.s.）、对称（ $X = Y$ a.s. 则 $Y = X$ a.s.）、传递（ $X = Y 、$ $Y = Z$ a.s. 则 $X = Z$ a.s.，因为 ${X \neq = Z} \subseteq {X \neq = Y} \cup {Y \neq = Z} ，$ 两个零概率事件的并还是零概率）。
与 $X$ 几乎必然相等的所有随机变量组成的集合，叫 $X$ 的等价类。「把 a.s. 相等的视为同一个」就是说：我们研究的对象其实是等价类。

基础补课范数：给「向量」量长度的尺子

在平面 $R^{2}$ 里，向量 $v = (v_{1}, v_{2})$ 的长度 $v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$ 满足三条：
1. 正定：长度 $\geq 0 ，$ 且长度为 0 当且仅当 $v = 0 ；$
2. 齐次： $v$ 放大 $c$ 倍，长度放大 $∣ c ∣$ 倍；
3. 三角不等式： $∥ v + w ∥ \leq ∥ v ∥ + ∥ w ∥$ （两边之和不小于第三边）。
满足这三条的「量长度的规则」叫范数（norm），记作 $∥ \cdot ∥ 。$ 本页的 $∥ X ∥_{p}$ 就是想给随机变量量长度：第 1、2 条本页就能验证（第 1 条正是需要「a.s. 相等视为同一个」的原因），第 3 条当 $p \geq 1$ 时是第 27 页的 Minkowski 不等式。

课件原文逐句精读

课件原文Lp space

Definition 22 ( $L^{p}$ and $L^{\infty}$ )

中文翻译

蓝条标题： $L^{p}$ 空间。

定义 22（ $L^{p}$ 与 $L^{\infty} ）$ （课件只印了名称，正文留白，见下一节。）

Lp space｜名字的来历

字母 L 来自勒贝格（Lebesgue）： $L^{p}$ 是用勒贝格积分定义的空间。
上标 $p$ 是指数：看的是 $∣ X ∣$ 的 $p$ 次方的期望。
space（空间）：这些随机变量放在一起，可以相加、可以乘常数，结果仍在里面（下面会证明），所以它是一个向量空间，而不只是一个集合。

Definition 22 (Lp and L∞)｜两个对象

定义名称里并列了两个对象： $0 < p < \infty$ 时的 $L^{p} ，$ 以及 $p = \infty$ 时的 $L^{\infty} 。$ 两者的定义方式完全不同：前者用期望，后者用「几乎必然的上界」，所以要分开写。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定义 22（

L^{p}

与

L^{\infty} ）

设 $(Ω, F, P)$ 是概率空间， $X$ 是实值随机变量。

对 $0 < p < \infty ，$ 定义 $∥ X ∥_{p} := (E ∣ X ∣^{p})^{1/ p} \in [0, \infty], L^{p} = L^{p} (Ω, F, P) := {X : E ∣ X ∣^{p} < \infty} .$
定义 $∥ X ∥_{\infty} := in f {M \in R : P (∣ X ∣ > M) = 0} \in [0, \infty], L^{\infty} := {X : ∥ X ∥_{\infty} < \infty} .$ （约定 $in f \emptyset = + \infty 。）$
几乎必然相等的随机变量视为 $L^{p}$ （ $0 < p \leq \infty ）$ 中的同一个元素。严格地说， $L^{p}$ 的元素是等价类。

逐条解释第 1 条：Lᵖ 与 ‖X‖ₚ

先 $p$ 次方，再取期望，最后开 $p$ 次方，顺序不能乱： $∥ X ∥_{p}$ 一般不等于 $(E ∣ X ∣)^{p} ，$ 也不等于 $E ∣ X ∣$ 的什么简单函数（例 1）。
$p = 1$ ： $L^{1}$ 就是第 5 页的「可积」， $∥ X ∥_{1} = E ∣ X ∣ 。$
$p = 2$ ： $L^{2}$ 是「二阶矩有限」， $∥ X ∥_{2} = E X^{2}$ 叫均方根（root mean square）。标准差就是 $∥ X - E X ∥_{2} 。$
为什么要开 $p$ 次方：为了齐次性。 $E ∣ c X ∣^{p} = ∣ c ∣^{p} E ∣ X ∣^{p} ，$ 开 $p$ 次方后 $∥ c X ∥_{p} = ∣ c ∣ ∥ X ∥_{p} ，$ 这正是范数的第 2 条。直观上， $X$ 以「元」为单位时， $∥ X ∥_{p}$ 也以「元」为单位；而 $E ∣ X ∣^{p}$ 的单位是「元 $^{p} 」。$
$∥ X ∥_{p}$ 只依赖 $∣ X ∣$ 的分布：由 LOTUS（第 7 页）， $E ∣ X ∣^{p} = \int ∣ x ∣^{p} d L (X) (x) 。$ 所以同分布的随机变量， $p$ -范数相同。

逐条解释第 2 条：L∞ 与 ‖X‖∞

$M$ 是什么：满足 $P (∣ X ∣ > M) = 0$ 的 $M ，$ 叫 $∣ X ∣$ 的几乎必然上界：「 $∣ X ∣$ 超过 $M 」$ 这件事的概率是 0。这样的 $M$ 自动 $\geq 0 ，$ 因为 $M < 0$ 时 $∣ X ∣ > M$ 总成立，概率是 1。
$∥ X ∥_{\infty}$ 是所有几乎必然上界的下确界，叫 $X$ 的本质上确界（essential supremum）。它和普通的上确界 $sup_{ω} ∣ X (ω) ∣$ 的区别是：忽略零概率集上的取值（例 4）。
下确界能取到：若 $∥ X ∥_{\infty} < \infty ，$ 则 $∣ X ∣ \leq ∥ X ∥_{\infty}$ a.s.。证明：记 $M^{*} = ∥ X ∥_{\infty} 。$ 对每个 $n ，$ 由下确界的性质，有一个几乎必然上界 $M_{n} < M^{*} + \frac{1}{n} ，$ 于是 ${∣ X ∣ > M^{*} + \frac{1}{n}} \subseteq {∣ X ∣ > M_{n}} ，$ 概率为 0。又 ${∣ X ∣ > M^{*}} = ⋃_{n \geq 1} {∣ X ∣ > M^{*} + \frac{1}{n}} ，$ 可数个零概率事件的并概率为 0，所以 $P (∣ X ∣ > M^{*}) = 0 。$
所有几乎必然上界组成的集合恰好是 $[∥ X ∥_{\infty}, \infty)$ ：比 $∥ X ∥_{\infty}$ 小的不是（下确界的定义）， $∥ X ∥_{\infty}$ 本身是（上一条），比它大的 $M^{'}$ 也是（ ${∣ X ∣ > M^{'}} \subseteq {∣ X ∣ > M^{*}} ）。$

逐条解释第 3 条：为什么要把 a.s. 相等的视为同一个

期望看不见零概率集：若 $X = X^{'}$ a.s.，则 $∣ X ∣^{p} = ∣ X^{'} ∣^{p}$ a.s.，所以 $E ∣ X ∣^{p} = E ∣ X^{'} ∣^{p}$ （第 5 页的性质 5）；事件 ${∣ X ∣ > M}$ 与 ${∣ X^{'} ∣ > M}$ 只在零概率集 ${X \neq = X^{'}}$ 上可能不同，所以概率相同。可见 $∥ X ∥_{p}$ 根本分不清 $X$ 和 $X^{'} ，$ 把它们当成两个元素没有意义。
为了范数的正定性： $∥ X ∥_{p} = 0 ⟺ E ∣ X ∣^{p} = 0 ⟺ ∣ X ∣^{p} = 0 a.s. ⟺ X = 0 a.s. ，$ 其中第二个 $⟺$ 用了第 5 页自测第 2 题：非负随机变量期望为 0，则它几乎必然为 0。 $p = \infty$ 时， $∥ X ∥_{\infty} = 0$ 意味着 $∣ X ∣ \leq 0$ a.s.，也是 $X = 0$ a.s.。所以只有把「a.s. 等于 0」的变量都当成「零元素」，才能说「长度为 0 当且仅当是零元素」。

Lᵖ 是向量空间

数乘： $X \in L^{p}$ 则 $E ∣ c X ∣^{p} = ∣ c ∣^{p} E ∣ X ∣^{p} < \infty ，$ 所以 $c X \in L^{p} 。$
加法：对实数 $x, y$ 和任意 $p > 0 ，$ $∣ x + y ∣^{p} \leq (2 max (∣ x ∣, ∣ y ∣))^{p} = 2^{p} max (∣ x ∣^{p}, ∣ y ∣^{p}) \leq 2^{p} (∣ x ∣^{p} + ∣ y ∣^{p}),$ 第一个 $\leq$ 用了 $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2 max (∣ x ∣, ∣ y ∣)$ 和 $u \mapsto u^{p}$ 递增。代入 $X (ω), Y (ω)$ 再取期望： $E ∣ X + Y ∣^{p} \leq 2^{p} (E ∣ X ∣^{p} + E ∣ Y ∣^{p}) < \infty ，$ 所以 $X + Y \in L^{p} 。$
$p = \infty$ ： $∣ X + Y ∣ \leq ∣ X ∣ + ∣ Y ∣ \leq ∥ X ∥_{\infty} + ∥ Y ∥_{\infty}$ a.s.，所以 $∥ X + Y ∥_{\infty} \leq ∥ X ∥_{\infty} + ∥ Y ∥_{\infty} < \infty 。$

为什么叫 L∞：p → ∞ 时 ‖X‖ₚ → ‖X‖∞

上界： $∣ X ∣ \leq ∥ X ∥_{\infty}$ a.s.，所以 $E ∣ X ∣^{p} \leq ∥ X ∥_{\infty}^{p} \cdot P (Ω) = ∥ X ∥_{\infty}^{p} ，$ 即 $∥ X ∥_{p} \leq ∥ X ∥_{\infty}$ 对每个 $p$ 成立（这里用到了总概率为 1）。

下界：任取 $0 \leq M < ∥ X ∥_{\infty} 。$ $M$ 不是几乎必然上界，所以 $δ := P (∣ X ∣ > M) > 0 。$ 于是

E ∣ X ∣^{p} \geq E [∣ X ∣^{p} 1_{{∣ X ∣ > M}}] \geq M^{p} δ, 即 ∥ X ∥_{p} \geq M δ^{1/ p} .

$p \to \infty$ 时 $δ^{1/ p} \to 1 ，$ 所以 $∥ X ∥_{p}$ 的下极限不小于 $M 。$ $M$ 可以任意接近 $∥ X ∥_{\infty} ，$ 两方面合起来得 $lim_{p \to \infty} ∥ X ∥_{p} = ∥ X ∥_{\infty}$ （ $∥ X ∥_{\infty} = \infty$ 时也成立）。例 2 的表格就是这个极限的数值演示。

0 < p < 1 时 ‖·‖ₚ 不是范数

$0 < p < 1$ 时， $L^{p}$ 仍是向量空间（上面的加法论证对所有 $p > 0$ 成立）， $∥ \cdot ∥_{p}$ 也满足正定性和齐次性，但三角不等式不成立（反例见第 27 页）。所以严格说，只有 $p \geq 1$ 时 $∥ \cdot ∥_{p}$ 才是范数。本讲为了统一，对所有 $p > 0$ 都用 $∥ X ∥_{p}$ 这个记号。

图解

图解：‖X‖∞ 是「几乎必然的天花板」

课件这里没有图，可以这样画：

取 $Ω = (0, 1)$ （勒贝格测度），横轴是 $ω ，$ 画出 $∣ X (ω) ∣$ 的图像。
在不同高度 $M$ 画水平线。若图像在这条线上方的部分所对应的 $ω$ 集合概率为 0，这条线就是一块「几乎必然的天花板」。
最低的那块天花板的高度就是 $∥ X ∥_{\infty} 。$ 如果图像只在个别点（零概率集）上冒出一根尖刺，这根刺不影响天花板的高度。
对比 $∥ X ∥_{p} ：$ 它是「把 $∣ X ∣^{p}$ 平均后再开方」，所有 $ω$ 都按概率参与。 $p$ 越大， $∣ X ∣^{p}$ 越放大大值， $∥ X ∥_{p}$ 越被最高处拉过去； $p \to \infty$ 时贴到天花板上（见上面的补充）。

例子

例 1：掷骰子的几种「大小」

$X \in {1, \dots, 6}$ 等可能。

$∥ X ∥_{1} = E X = 3.5 ；$
$∥ X ∥_{2} = E X^{2} = 91/6 \approx 3.894 ；$
$∥ X ∥_{\infty} = 6 ：$ $P (X > M) = 0 ⟺ M \geq 6 ，$ 所以所有几乎必然上界是 $[6, \infty) ，$ 下确界是 6。

注意 $∥ X ∥_{2} \approx 3.894$ 既不等于 $E X ，$ 也不等于 $(E X)^{2} = 12.25 ：$ 顺序是「先平方、再平均、再开方」。

例 2：p 越大，越被最大值拉过去

$P (X = 1) = 0.9 ，$ $P (X = 10) = 0.1 。$ $E X^{p} = 0.9 \cdot 1^{p} + 0.1 \cdot 1 0^{p} ，$ 于是：

$p$	$E X^{p}$	$∥ X ∥_{p}$
$\frac{1}{2}$	$0.9 + 0.1 10 \approx 1.216$	$\approx 1.479$
$1$	$1.9$	$1.9$
$2$	$10.9$	$\approx 3.302$
$4$	$1000.9$	$\approx 5.625$
$8$	$\approx 1 0^{7}$	$\approx 7.499$
$\infty$	—	$10$

$p$ 小时， $∥ X ∥_{p}$ 接近「典型值」1； $p$ 大时，那 10% 的大值 10 越来越占主导， $∥ X ∥_{p}$ 逐渐逼近最大值 10。表中 $∥ X ∥_{p}$ 随 $p$ 增大而增大，这个规律第 25 页会一般地证明。

例 3：指数分布——在每个 Lᵖ 里，却不在 L∞ 里

$X \sim exp (λ) 。$ 由第 21 页的推论 21， $E X^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} e^{- λ t} d t < \infty$ 对每个 $p > 0$ 成立（被积函数在无穷远处比 $t^{- 2}$ 衰减得还快），所以 $X \in L^{p}$ 对所有 $0 < p < \infty$ 成立。

但对每个 $M \geq 0 ，$ $P (X > M) = e^{- λ M} > 0 ，$ 没有任何几乎必然上界， $∥ X ∥_{\infty} = in f \emptyset = \infty ，$ $X \in / L^{\infty} 。$ 「所有矩有限」不等于「有界」。

例 4：改动一个点——sup 变了，‖X‖∞ 不变

取 $Ω = (0, 1) ，$ $P = Leb ，$ $U (ω) = ω 。$ 令 $X (ω) = ω$ （ $ω \neq = \frac{1}{2} ），$ $X (\frac{1}{2}) = 1000 。$

$P (X \neq = U) = P ({\frac{1}{2}}) = 0 ，$ 所以 $X = U$ a.s.，在 $L^{p}$ 里是同一个元素。
$sup_{ω} ∣ X (ω) ∣ = 1000 ，$ 但 $∥ X ∥_{\infty} = 1 ：$ $M \geq 1$ 时 ${∣ X ∣ > M}$ 至多是单点 ${\frac{1}{2}} ，$ 概率为 0； $0 \leq M < 1$ 时 ${∣ X ∣ > M} \supseteq (M, 1) ∖ {\frac{1}{2}} ，$ 概率至少 $1 - M > 0 。$
$∥ X ∥_{p} = ∥ U ∥_{p} = (\int_{0}^{1} u^{p} d u)^{1/ p} = (p + 1)^{- 1/ p} ，$ 完全不受那个点影响。

例 5（反例）：不在 L¹ 里的随机变量

柯西分布（第 5 页例 3）： $E ∣ X ∣^{p} = \frac{2}{π} \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{p}}{1 + x ^{2}} d x 。$ $x \to \infty$ 时被积函数约为 $x^{p - 2} ，$ 积分有限当且仅当 $p - 2 < - 1 ，$ 即 $p < 1 。$ 所以柯西变量属于 $L^{1/2} ，$ 但不属于 $L^{1} 、$ $L^{2} 。$
Pareto $X_{α}$ （第 21 页例 4）： $X_{α} \in L^{p} ⟺ p < α ；$ 它无界，所以不在 $L^{\infty}$ 里。

例 6：圣彼得堡奖金——只在 p < 1 的 Lᵖ 里

第 5 页例 2 的奖金 $Y ：$ $P (Y = 2^{k}) = 2^{- k}$ （ $k = 1, 2, \dots ）。$ 由离散期望公式，

E Y^{p} = k \geq 1 \sum 2^{k p} \cdot 2^{- k} = k \geq 1 \sum (2^{p - 1})^{k} .

这是公比为 $2^{p - 1}$ 的等比级数，收敛当且仅当公比小于 1，即 $p < 1 。$ 所以 $Y \in L^{p} ⟺ p < 1 ：$ $Y \in / L^{1}$ （这就是第 5 页说的 $E Y = \infty ），$ 但 $Y \in L^{1/2} 。$ 具体地， $p = \frac{1}{2}$ 时公比 $r = 2^{- 1/2} ，$

E Y = k \geq 1 \sum r^{k} = \frac{r}{1 - r} = \frac{1}{2 - 1} = 2 + 1, ∥ Y ∥_{1/2} = (2 + 1)^{2} = 3 + 22 \approx 5.83.

常见疑问与易错点

易错点问：‖X‖∞ 和普通的上确界 sup 是一回事吗？

答：不是。总有 $∥ X ∥_{\infty} \leq sup_{ω} ∣ X (ω) ∣$ （上确界本身就是一个几乎必然上界），但可以严格小于：例 4 中一个是 1，一个是 1000。概率论只关心「几乎必然」的性质，所以用本质上确界，不用普通上确界。

易错点问：X ∈ Lᵖ 是不是说 X 有界？

答：不是。 $X \in L^{p}$ 只要求 $E ∣ X ∣^{p}$ 有限，大值可以出现，只要出现得足够少。例 3 的指数分布在所有 $L^{p}$ （ $p < \infty ）$ 里，却无界。反过来，有界一定在所有 $L^{p}$ 里：若 $∣ X ∣ \leq C$ a.s.，则 $E ∣ X ∣^{p} \leq C^{p} 。$

易错点问：‖X‖ₚ 能不能「先求期望、再做 p 次方」？

答：不可以，这是最常见的笔误。 $∥ X ∥_{p} = (E ∣ X ∣^{p})^{1/ p} ：$ $p$ 次方在期望里面， $1/ p$ 次方在期望外面。掷骰子时 $(E X)^{2} = 12.25 ，$ $E X^{2} \approx 15.17 ，$ $∥ X ∥_{2} \approx 3.894 ，$ 三个数各不相同。

易错点问：既然 Lᵖ 的元素是等价类，还能说「X(ω) 等于多少」吗？

答：对单个 $ω$ 说 $X (ω) = 3 ，$ 在 $L^{p}$ 里没有意义，因为同一个等价类里的代表可以在这个点上取任何值（例 4）。有意义的是不依赖代表的说法： $E ∣ X ∣^{p} 、$ $P (X > 1) 、$ 「 $X \geq 0$ a.s.」、「 $X = Y$ a.s.」等等。实际计算时，我们从等价类里随便挑一个代表来算，结果都一样。以后看到「在 $L^{p}$ 中 $X = Y 」，$ 要自动读成「 $X = Y$ 几乎必然」。

易错点问：L∞ 为什么不能像 Lᵖ 那样，用「∞ 次方的期望」来定义？

答：因为「 $\infty$ 次方」没有意义。 $L^{\infty}$ 只能用「几乎必然上界」单独定义。上面的补充说明：它恰好是 $∥ X ∥_{p}$ 在 $p \to \infty$ 时的极限，所以记作 $∥ X ∥_{\infty}$ 是合理的。

小结与自测

小结本页小结

$0 < p < \infty ：$ $∥ X ∥_{p} = (E ∣ X ∣^{p})^{1/ p} ，$ $L^{p} = {X : E ∣ X ∣^{p} < \infty} ；$ $L^{1}$ 是可积， $L^{2}$ 是二阶矩有限。
$∥ X ∥_{\infty} = in f {M : P (∣ X ∣ > M) = 0}$ 是本质上确界，下确界能取到： $∣ X ∣ \leq ∥ X ∥_{\infty}$ a.s.； $L^{\infty}$ 是几乎必然有界的随机变量。
a.s. 相等的随机变量视为同一元素：期望看不见零概率集，而且这样才有「 $∥ X ∥_{p} = 0 ⟺ X = 0 」。$
$L^{p}$ 是向量空间（ $∣ x + y ∣^{p} \leq 2^{p} (∣ x ∣^{p} + ∣ y ∣^{p}) ）；$ $∥ c X ∥_{p} = ∣ c ∣∥ X ∥_{p} ；$ 三角不等式要等到第 27 页。

自测

1. $P (X = 0) = P (X = 2) = \frac{1}{2} 。$ 求 $∥ X ∥_{1} 、$ $∥ X ∥_{2} 、$ $∥ X ∥_{\infty} 。$

点开看答案

$∥ X ∥_{1} = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 ；$ $∥ X ∥_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \approx 1.414 ；$ $∥ X ∥_{\infty} = 2$ （ $P (X > M) = 0 ⟺ M \geq 2 ）。$

2. 判断：「若 $X \in L^{\infty} ，$ 则对每个 $0 < p < \infty$ 都有 $X \in L^{p} 。」$

点开看答案

对。 $∣ X ∣ \leq ∥ X ∥_{\infty}$ a.s.，所以 $E ∣ X ∣^{p} \leq ∥ X ∥_{\infty}^{p} \cdot P (Ω) = ∥ X ∥_{\infty}^{p} < \infty 。$ 注意这里用到了 $P (Ω) = 1 ；$ 在总测度无穷的空间上（例如 $R$ 上的勒贝格测度），常数 1 有界，但 $\int_{R} 1^{p} d x = \infty 。$

3. 若 $∥ X ∥_{3} = 0 ，$ 能推出什么？能推出 $X (ω) = 0$ 对每个 $ω$ 成立吗？

点开看答案

能推出 $X = 0$ a.s.： $E ∣ X ∣^{3} = 0 ，$ 而 $∣ X ∣^{3} \geq 0 ，$ 所以 $∣ X ∣^{3} = 0$ a.s.（第 5 页自测第 2 题）。不能推出「每个 $ω 」：$ 例如 $Ω = (0, 1)$ 上 $X = 1_{{1/2}} ，$ $∥ X ∥_{3} = 0 ，$ 但 $X (\frac{1}{2}) = 1 。$ 这正是要把 a.s. 相等的随机变量视为同一元素的原因。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
等价关系	equivalence relation	满足自反、对称、传递的「相似」关系，能把集合分成互不重叠的等价类。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
等价类	equivalence class	在等价关系下彼此「相似」的元素组成的一组。
正定	positive definite	对称矩阵 Σ 满足：对所有非零向量 x，xᵀΣx > 0。多元正态要求协方差矩阵正定。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
三角不等式	triangle inequality	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 \|∫f\| ≤ ∫\|f\|、E\|X + Y\| ≤ E\|X\| + E\|Y\|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
阶矩	moment	E[\|X\|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
无意识统计学家定律	law of the unconscious statistician (LOTUS)	求 g(X) 的期望，不必先求出 g(X) 的分布，直接把 g 对 X 的分布 𝓛(X) 积分；X 有密度 f 时就是 E g(X) = ∫ g(x) f(x) dx。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
指数分布	exponential distribution	P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。