04 随机变量是可测映射 · 第2讲 · 高等概率论逐页精讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

随机变量 $X$ 是一个从样本空间 $Ω$ 到取值空间 $S$ 的函数，并且满足一个「兼容」条件：对取值空间里每个「允许问的集合」 $B ，$ 「 $X$ 落在 $B$ 里」这件事都是 $F$ 里的事件。有了这个条件， $P (X \in B)$ 才有定义。

位置：第 1 部分「随机变量、分布与期望」的第一页，也是整个第 2 讲的地基。
要解决的问题：第 1 讲样本空间那一页把随机变量说成「从 $ω$ 里读出一个数的规则」。可是一条任意的规则，不一定能让我们谈 $P (X \leq 3)$ ——因为 ${X \leq 3}$ 可能不在事件清单 $F$ 里。本页用「可测」把这个漏洞堵上。
和前后页的关系：下一页第 5 页用本页的可测性定义期望（期望是积分，而积分只对可测函数有定义）；第 6 页用本页的原像 $X^{- 1} (B)$ 定义分布。

先补基础

基础补课概率空间与可测空间（回顾）

σ-代数（σ-代数）：集合 $Ω$ 的一族子集，包含 $Ω$ 本身，对「取补集」和「可数并」封闭（从而对可数交也封闭）。它就是「允许谈论的事件清单」。
概率空间 $(Ω, F, P) ：$ 样本空间 $Ω 、$ 事件清单 $F$ （一个 σ-代数）、概率测度 $P$ （给 $F$ 里每个事件一个概率， $P (Ω) = 1 ，$ 并且可数可加），见测度空间。
可测空间 $(S, M) ：$ 一个集合 $S$ 加上它的一个 σ-代数 $M ，$ 还没有指定测度。在这里 $S$ 是随机变量的「取值空间」， $M$ 是「关于取值允许问的问题」。 $M$ 是花体的 M，读作「花体 M」。
最常见的例子： $S = R ，$ $M = B (R) 。$

基础补课博雷尔 σ-代数 𝓑(ℝ)

$B (R)$ 是由所有开区间 $(a, b)$ 生成的 σ-代数（「生成」的意思是：包含所有开区间的最小 σ-代数，见生成的 σ-代数）。它的元素叫博雷尔集（Borel set）。
你能想到的「正常」集合几乎都是博雷尔集：任何区间 $[a, b] 、$ $(a, b] 、$ $(- \infty, x] ，$ 单点集 ${x} ，$ 有理数集 $Q ，$ 开集、闭集，以及它们的可数并、可数交、补集。
例： $[a, b] = ⋂_{n \geq 1} (a - \frac{1}{n}, b + \frac{1}{n})$ 是可数个开区间的交，所以是博雷尔集。

基础补课原像：把「关于取值的问题」翻译成「关于结局的事件」

设 $X : Ω \to S ，$ $B \subseteq S 。$ $B$ 在 $X$ 下的原像（preimage）是 $X^{- 1} (B) = {ω \in Ω : X (ω) \in B},$ 读作「 $X$ 逆 $B 」，$ 意思是「所有使 $X$ 的取值落进 $B$ 的结局」。概率论里常把它简写成 ${X \in B} 。$
这里的 $X^{- 1}$ 不是反函数。 $X$ 不必一一对应。例：掷骰子 $Ω = {1, \dots, 6} ，$ $X (ω) = ω mod 2$ （奇数记 1、偶数记 0），则 $X^{- 1} ({1}) = {1, 3, 5} ，$ $X^{- 1} ({0}) = {2, 4, 6} ，$ $X^{- 1} ({7}) = \emptyset 。$
常用写法： ${X \leq x} = X^{- 1} ((- \infty, x]) = {ω : X (ω) \leq x} 。$
原像和集合运算可以交换次序（可测函数那一页的基础补课里证明过）： $X^{- 1} (B^{c}) = (X^{- 1} (B))^{c}, X^{- 1} (n ⋃ B_{n}) = n ⋃ X^{- 1} (B_{n}) .$ 理由：「 $X (ω)$ 不在 $B$ 里」就是「 $ω$ 不在 $X^{- 1} (B)$ 里」；「 $X (ω)$ 落在某个 $B_{n}$ 里」就是「 $ω$ 在某个 $X^{- 1} (B_{n})$ 里」。

课件原文逐句精读

课件原文Definition 1 (Random variable or random element)

Let $(Ω, F, P)$ be a probability space and $(S, M)$ a measurable space.

中文翻译

定义 1（随机变量或随机元） 设 $(Ω, F, P)$ 是一个概率空间， $(S, M)$ 是一个可测空间。（其余内容课件留白，见下一节。）

蓝条标题 A random variable is a measurable map 的意思是「随机变量就是一个可测映射」。「映射」（map）和「函数」是同一个意思，只是习惯上取值不是实数时更爱说「映射」。

① Random variable or random element｜随机变量，还是随机元

随机变量（random variable）：通常指取值在 $R$ 里的情形。
随机元（random element）：取值可以在任何可测空间 $S$ 里——可以是向量（ $S = R^{d} ，$ 叫随机向量）、一整条价格路径（第 1 讲的 $(0, \infty)^{T + 1} ）、$ 一张随机图……
课件把两个名字并列，意思是：定义完全一样，只是 $S$ 不同。所以定义里用一般的 $(S, M) ，$ 而不是只写 $R 。$

② Let (Ω, 𝓕, ℙ) be a probability space｜「来源」一侧

这是随机性的来源：命运从 $Ω$ 里挑出一个 $ω ，$ 我们只能对 $F$ 里的事件问概率。

③ and (S, 𝓜) a measurable space｜「取值」一侧

这是随机变量的取值空间和「关于取值允许问的问题」。注意它只是可测空间，没有测度：取值空间上的概率（分布）要等 $X$ 定义好以后才由 $P$ 「推过来」，那是第 6 页的事。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定义 1（随机变量 / 随机元）

设 $(Ω, F, P)$ 是概率空间， $(S, M)$ 是可测空间。映射 $X : Ω \to S$ 称为（取值于 $S$ 的）随机元，如果它是 $F / M$ -可测的，即

X^{- 1} (B) = {ω \in Ω : X (ω) \in B} \in F 对每个 B \in M .

当 $(S, M) = (R, B (R))$ 时， $X$ 称为（实值）随机变量。此时上述条件等价于

{X \leq x} = {ω : X (ω) \leq x} \in F 对每个 x \in R .

取值于扩展实数 $[- \infty, \infty]$ （配上它的博雷尔 σ-代数）的，称为扩展实值随机变量。

逐条解释这个定义：

「对每个 $B \in M 」$ ：取值空间里每一个「允许问的问题」 $B$ （例如「 $X$ 在 $[0, 1]$ 里吗？」），翻译回 $Ω$ 后都必须是事件。这就是「可测」的含义： $X$ 和两边的 σ-代数「兼容」。
它防止的问题：我们最终要写 $P (X \in B) ，$ 它的意思是 $P (X^{- 1} (B)) 。$ $P$ 只对 $F$ 里的集合有定义，如果 $X^{- 1} (B) \in / F ，$ 这个概率就无法定义。
定义里完全没有用到 $P$ ：可测性只和 $F 、$ $M$ 有关。同一个函数，换一个 $F$ 就可能不再是随机变量（见例 1）。
与第 1 讲的关系：实值情形正是可测函数的定义（第 1 讲用 ${f > a}$ 检验，这里用 ${X \leq x}$ 检验；两者互为补集，等价）。

为什么实值时只需检验 {X ≤ x}

定义要求对所有博雷尔集 $B$ 检验，可博雷尔集多得数不清。下面证明：只检验半直线 $(- \infty, x]$ 就够了。

推导证明思路

把「原像落在 $F$ 里」的那些 $B$ 收集起来，证明它们组成一个 σ-代数，而且包含所有半直线；由于半直线生成整个 $B (R) ，$ 这个 σ-代数就包含了所有博雷尔集。这种论证叫「好集合原理」，后面会反复用到。

第 1 步（必要性）：若 $X$ 可测，因为 $(- \infty, x]$ 是博雷尔集（它是闭集），所以 ${X \leq x} = X^{- 1} ((- \infty, x]) \in F 。$

第 2 步（充分性）：假设对所有 $x$ 都有 ${X \leq x} \in F 。$ 令

C = {B \subseteq R : X^{- 1} (B) \in F} （「好集合」全体） .

$R \in C ：$ 因为 $X^{- 1} (R) = Ω \in F 。$
对补集封闭：若 $B \in C ，$ 则 $X^{- 1} (B^{c}) = (X^{- 1} (B))^{c} \in F$ （原像与补集交换， $F$ 对补集封闭）。
对可数并封闭：若 $B_{n} \in C ，$ 则 $X^{- 1} (⋃_{n} B_{n}) = ⋃_{n} X^{- 1} (B_{n}) \in F$ （原像与并交换， $F$ 对可数并封闭）。

所以 $C$ 是 σ-代数，并且由假设它包含所有半直线 $(- \infty, x] 。$

第 3 步（半直线生成 $B (R) ）$ ：半直线生成的 σ-代数里有

左开右闭区间： $(a, b] = (- \infty, b] ∖ (- \infty, a]$ （差集 = 与补集的交）；
开区间： $(a, b) = ⋃_{n \geq N} (a, b - \frac{1}{n}] ，$ 其中 $N$ 取得足够大使 $b - \frac{1}{N} > a 。$ 理由： $x < b$ 当且仅当存在某个 $n$ 使 $x \leq b - \frac{1}{n} 。$

它包含所有开区间，而 $B (R)$ 是包含所有开区间的最小 σ-代数，所以 $B (R) \subseteq σ (半直线) 。$

第 4 步（合起来）： $C$ 是包含所有半直线的 σ-代数，因此 $C \supseteq σ (半直线) \supseteq B (R) 。$ 也就是说，每个博雷尔集 $B$ 都满足 $X^{- 1} (B) \in F ，$ $X$ 可测。证毕。

一个马上要用的推论：可测函数套可测函数仍可测

命题补充结论（复合保持可测）

若 $X : Ω \to S$ 是随机元， $g : S \to S^{'}$ 是 $M / M^{'}$ -可测的，则 $g (X) = g \circ X$ 是取值于 $S^{'}$ 的随机元。特别地，对实值随机变量 $X$ 和任意连续（或单调）函数 $g : R \to R ，$ $g (X)$ 是随机变量，例如 $X^{2} 、$ $∣ X ∣ 、$ $e^{X} 、$ $max (X, 0) 。$

理由只有一行： $(g \circ X)^{- 1} (B^{'}) = X^{- 1} (g^{- 1} (B^{'})) ，$ 而 $g^{- 1} (B^{'}) \in M ，$ 再由 $X$ 可测得到它属于 $F 。$ 连续函数 $g$ 满足 ${g > a}$ 是开集（因而是博雷尔集），单调函数满足 ${g > a}$ 是区间，所以它们都是博雷尔可测的。下一页定义期望时会用到 $∣ X ∣ 、$ $X^{+}$ 这些量，靠的就是这条结论。

例子

例 1：同一个函数，换一个 𝓕 就不再是随机变量

抛一枚硬币， $Ω = {H, T} ，$ $X (H) = 1 ，$ $X (T) = 0 。$

若 $F = 2^{Ω} = {\emptyset, {H}, {T}, Ω}$ （所有子集）：逐个检验 $x 。$ $x < 0$ 时 ${X \leq x} = \emptyset ；$ $0 \leq x < 1$ 时 ${X \leq x} = {T} ；$ $x \geq 1$ 时 ${X \leq x} = Ω 。$ 三个集合都在 $F$ 里，所以 $X$ 是随机变量。
若 $F = {\emptyset, Ω}$ （「什么都看不到」的清单）：取 $x = 0 ，$ ${X \leq 0} = {T} \in / F ，$ 所以 $X$ 不是随机变量。直观上，这个 $F$ 连「是不是反面」都不允许问，自然也不允许问「 $X$ 是不是 0」。

例 2：信息粗的 𝓕 只允许「看得见的」随机变量

掷骰子， $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ，$ 取 $F = {\emptyset, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω}$ （只知道奇偶）。

$Y (ω) = ω mod 2$ （奇数 1、偶数 0）： ${Y \leq x}$ 只可能是 $\emptyset 、$ ${2, 4, 6} 、$ $Ω ，$ 都在 $F$ 里，是随机变量。
$X (ω) = ω$ （点数本身）： ${X \leq 1} = {1} \in / F ，$ 不是随机变量。

解读： $F$ 代表你掌握的信息。只知道奇偶，就只能谈论「由奇偶决定的量」。

例 3：一个随机元——两次抛硬币的完整记录

$Ω = {HH, HT, TH, TT} ，$ $F = 2^{Ω} 。$ 令 $S = {0, 1}^{2}$ （所有 0/1 数对）， $M = 2^{S} ，$ $X (ω)$ 是一个数对：第一个数记录第一次是否正面，第二个数记录第二次是否正面（是记 1，否记 0），例如 $X (HT) = (1, 0) 。$ 任何 $B \subseteq S$ 的原像都是 $Ω$ 的子集，自然在 $F = 2^{Ω}$ 里，所以 $X$ 是取值于 $S$ 的随机元。它不是「一个数」，而是「一对数」。

例 4（反例）：维塔利集的示性函数

取 $Ω = [0, 1] ，$ $F$ 为勒贝格可测集全体， $P = Leb 。$ 设 $V$ 是维塔利集（不可测），令 $X = 1_{V}$ （在 $V$ 上取 1，否则取 0）。则 ${X \leq 0} = V^{c}$ 不可测，所以 $X$ 不是随机变量， $P (X = 1)$ 根本无法定义。这说明「可测」这个条件确实会排除掉一些函数，不是多余的。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不干脆规定「每个函数都是随机变量」？

答：因为那样必须让 $F$ 包含 $Ω$ 的所有子集。第 1 讲的维塔利定理（第 21 页）告诉我们：在 $[0, 1]$ 上，没法把「长度」定义到所有子集上。所以 $F$ 往往比 $2^{Ω}$ 小，而只有和 $F$ 兼容（可测）的函数，才能谈它的概率。

易错点问：X⁻¹(B) 要求 X 可逆吗？

答：不要求。 $X^{- 1} (B)$ 只是「落进 $B$ 的那些 $ω 」$ 组成的集合，对任何函数都有意义。例 2 里 $Y$ 把 6 个点压成 2 个值，根本不可逆，但原像照样能算。

易错点问：检验 {X ≤ x} 时，能只检验有理数 x 吗？

答：可以。若对所有有理数 $q$ 都有 ${X \leq q} \in F ，$ 则对任意实数 $x ，$ 取有理数 $q_{n} ↓ x ，$ 有 ${X \leq x} = ⋂_{n} {X \leq q_{n}}$ （ $X (ω) \leq x$ 当且仅当对每个 $n$ 都 $X (ω) \leq q_{n} ），$ 是可数交，仍在 $F$ 里。这是「把连续参数换成可数个」的常用技巧。

易错点问：随机变量的定义里为什么出现了 ℙ，却又说可测性和 ℙ 无关？

答：课件写「Let $(Ω, F, P)$ be a probability space」是交代舞台，因为随机变量总是在某个概率空间上讨论的。但判断「是不是随机变量」只看 $F$ 和 $M 。$ $P$ 要到下一步（算概率、算期望）才登场。

小结与自测

小结本页小结

随机元 $X : Ω \to S ：$ 对每个 $B \in M ，$ 原像 ${X \in B} = X^{- 1} (B) \in F 。$ 取值于 $R$ 时叫随机变量。
可测性保证 $P (X \in B)$ 有定义；它只依赖 $F$ 和 $M ，$ 不依赖 $P 。$
实值情形只需检验 ${X \leq x} \in F$ 对所有 $x$ 成立，因为半直线生成 $B (R)$ （好集合原理）。
可测函数套可测函数仍可测，所以 $X^{2} 、$ $∣ X ∣ 、$ $max (X, 0)$ 等都是随机变量。

自测

1. $Ω = {1, 2, 3, 4} ，$ $F = {\emptyset, {1, 2}, {3, 4}, Ω} 。$ $X (1) = X (2) = 5 ，$ $X (3) = X (4) = - 1 。$ $X$ 是随机变量吗？

点开看答案

是。 $x < - 1$ 时 ${X \leq x} = \emptyset ；$ $- 1 \leq x < 5$ 时 ${X \leq x} = {3, 4} ；$ $x \geq 5$ 时 ${X \leq x} = Ω 。$ 三者都在 $F$ 里。原因是 $X$ 在 $F$ 分不清的点（1 和 2、3 和 4）上取相同的值。

2. 已知 $X$ 是实值随机变量。说明 ${X = 3}$ 和 ${2 < X < 5}$ 都是事件。

点开看答案

${X = 3} = X^{- 1} ({3}) ，$ 单点集 ${3}$ 是博雷尔集； ${2 < X < 5} = X^{- 1} ((2, 5)) ，$ 开区间是博雷尔集。由定义 1，博雷尔集的原像都在 $F$ 里，所以二者都是事件。

3. 判断：「若 $X$ 是随机变量，则 $X^{2} + 1$ 也是随机变量。」

点开看答案

对。 $g (x) = x^{2} + 1$ 是连续函数，因而博雷尔可测；由「复合保持可测」， $g (X) = X^{2} + 1$ 是随机变量。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
原像	preimage	f⁻¹(B) 是「所有被 f 送进 B 的输入」组成的集合，可测性就是用原像定义的。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
反函数	inverse function	f 把不同的输入送到不同的输出时，反函数 f⁻¹ 把输出送回原来的输入：f⁻¹(f(x)) = x。例：ln 是 eˣ 的反函数。注意：集合的原像 f⁻¹(D) 不需要反函数存在。
生成的 σ-代数	generated sigma-algebra	包含给定集合族的最小 σ-代数 σ(𝒞)：只加入「被逼着加入」的集合。
差集	set difference	在 A 里但不在 B 里的元素，记作 A \ B，等于 A ∩ Bᶜ。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。