09 随机项数的中心极限定理（Anscombe 定理） · 作业2

这道题在问什么

人话版一句话版

中心极限定理说： $n$ 个 i.i.d. 随机变量的和，标准化后近似标准正态。可实际中常常加多少项本身也是随机的（例如一天里来了多少顾客、保险公司一年收到多少笔理赔）。本题说：只要随机项数 $N_{n}$ 与一个确定的数列 $a_{n}$ 的比值依概率趋于 1，就有 $\frac{S _{N_{n}}}{σ a _{n}} \Rightarrow N (0, 1) 。$ 即使 $N_{n}$ 依赖于 $X_{i}$ 本身也成立，这是关键。证明的核心是 Kolmogorov 极大不等式：它控制部分和在一整个「窗口」里的最大波动，不管随机项数落在窗口的哪里。

考点：依分布收敛、中心极限定理、Slutsky 定理、Kolmogorov 极大不等式。这些都超出了讲义的范围，「先补基础」逐一讲清楚。
出处：Durrett《Probability: Theory and Examples》习题 3.4.6；结论叫 Anscombe 定理（1952）。
和其他题的关系：第 10 题的鞅 $S_{n}^{2} - n σ^{2}$ 是 Kolmogorov 极大不等式背后的结构；第 4 题讨论中心极限定理与大数定律的关系。

先补基础

基础补课依分布收敛（弱收敛）

$U_{n}$ 依分布收敛到 $U$ （记作 $U_{n} \Rightarrow U ，$ 课件写 $\to_{weak} ），$ 指：对 $U$ 的分布函数 $F$ 的每个连续点 $x ，$ $P (U_{n} \leq x) \to F (x) 。$

它只看分布，不要求 $U_{n}$ 和 $U$ 定义在同一个概率空间上，是最弱的一种收敛。依概率收敛 ⇒ 依分布收敛。（Durrett 第 3.2 节）

基础补课中心极限定理（这里作为已知结论使用）

$X_{1}, X_{2}, \dots$ i.i.d.， $E X_{i} = 0 ，$ $E X_{i}^{2} = σ^{2} \in (0, \infty) ，$ $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} 。$ 则

\frac{S _{n}}{σ n} \Rightarrow N (0, 1), 即 P (\frac{S _{n}}{σ n} \leq x) \to Φ (x) 对所有 x .

（Durrett 定理 3.4.1。）例：掷 $n$ 次公平硬币，正面数减去 $\frac{n}{2}$ 再除以 $\frac{n}{2} ，$ 近似标准正态。

基础补课Slutsky 定理（这里作为已知结论使用）

若 $U_{n} \Rightarrow U ，$ 且 $V_{n} \to 0$ 依概率，则 $U_{n} + V_{n} \Rightarrow U 。$

为什么对：对任意 $η > 0 ，$ $P (U_{n} + V_{n} \leq x) \leq P (U_{n} \leq x + η) + P (∣ V_{n} ∣ > η) ，$ 以及 $P (U_{n} + V_{n} \leq x) \geq P (U_{n} \leq x - η) - P (∣ V_{n} ∣ > η) 。$ 令 $n \to \infty$ 再令 $η \to 0$ （取 $x \pm η$ 为连续点）即得。直观上：加上一个依概率趋于 0 的「小扰动」，不改变极限分布。（Durrett 习题 3.2.13。）

基础补课Kolmogorov 极大不等式（这里作为已知结论使用）

$X_{1}, \dots, X_{n}$ 独立、均值 0、方差有限， $S_{k} = X_{1} + \dots + X_{k} 。$ 则对 $λ > 0 ，$

P (1 \leq k \leq n max ∣ S_{k} ∣ \geq λ) \leq \frac{Var S _{n}}{λ ^{2}} .

和 Chebyshev 不等式右边一样，但左边控制的是整条路径上的最大值，不只是终点 $S_{n} 。$ （Durrett 定理 2.5.5。）用在「从第 $ℓ$ 项开始的和」 $S_{m} - S_{ℓ}$ （ $ℓ < m \leq h ）$ 上： $P (max_{ℓ < m \leq h} ∣ S_{m} - S_{ℓ} ∣ \geq λ) \leq \frac{( h - ℓ ) σ ^{2}}{λ ^{2}} 。$

基础补课向下取整

$[x]$ （或 $⌊ x ⌋ ）$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $[3.7] = 3 。$ 有 $x - 1 < [x] \leq x ，$ 所以 $[(1 + ε) a] - [(1 - ε) a] \leq 2 ε a + 1 。$

题目与原解答

课件原文题目

Let $X_{1}, X_{2}, \dots$ be i.i.d. with $E X_{i} = 0$ and $E X_{i}^{2} = σ^{2} \in (0, \infty)$ , and let $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ . Let $N_{n}$ be a sequence of nonnegative integer-valued random variables and $a_{n}$ a sequence of integers with $a_{n} \to \infty$ and $N_{n} / a_{n} \to 1$ in probability. Show that

\frac{S _{N_{n}}}{σ a _{n}} \to_{weak} Z, Z \sim N (0, 1) .

Hint: Use Kolmogorov's maximal inequality to conclude that for $Y_{n} = \frac{S _{N_{n}}}{σ a _{n}}$ and $Z_{n} = \frac{S _{a_{n}}}{σ a _{n}}$ , we have $Y_{n} - Z_{n} \to 0$ in probability.

中文翻译

设 $X_{1}, X_{2}, \dots$ i.i.d.， $E X_{i} = 0 ，$ $E X_{i}^{2} = σ^{2} \in (0, \infty) ，$ $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} 。$ 设 $N_{n}$ 是一列取非负整数值的随机变量， $a_{n}$ 是一列整数， $a_{n} \to \infty$ 且 $N_{n} / a_{n} \to 1$ 依概率。证明 $\frac{S _{N_{n}}}{σ a _{n}}$ 依分布收敛到标准正态 $Z 。$

提示：用 Kolmogorov 极大不等式证明：对 $Y_{n} = \frac{S _{N_{n}}}{σ a _{n}} 、$ $Z_{n} = \frac{S _{a_{n}}}{σ a _{n}} ，$ $Y_{n} - Z_{n} \to 0$ 依概率。

$S_{N_{n}}$ 是「把前 $N_{n}$ 项加起来」，项数 $N_{n}$ 是随机的： $S_{N_{n}} (ω) = \sum_{i = 1}^{N_{n} (ω)} X_{i} (ω) 。$
题目没有假设 $N_{n}$ 与 $X_{i}$ 独立，这一点很重要。

原解答的思路（左栏）：由中心极限定理 $Z_{n} \Rightarrow N (0, 1) ；$ 只要证明 $Y_{n} - Z_{n} \to 0$ 依概率，就有 $Y_{n} = Z_{n} + (Y_{n} - Z_{n}) \Rightarrow N (0, 1) 。$ 为此把概率拆成 $∣ N_{n} - a_{n} ∣ > ε a_{n}$ （概率趋于 0）和 $∣ N_{n} - a_{n} ∣ \leq ε a_{n}$ 两部分，后者用 Kolmogorov 极大不等式估计为 $\leq \frac{8 ε}{δ ^{2}} ，$ 再令 $ε \to 0 。$

思路正确，有一处符号笔误和几处说法不严谨（见「原解答逐行对照」）。

思路：怎么想到的

化归： $a_{n}$ 是确定的数列， $Z_{n} = \frac{S _{a_{n}}}{σ a _{n}}$ 由普通的中心极限定理处理。只需证明 $Y_{n}$ 与 $Z_{n}$ 的差依概率趋于 0，再用 Slutsky。
差是什么： $Y_{n} - Z_{n} = \frac{S _{N_{n}} - S _{a_{n}}}{σ a _{n}} ，$ 是「第 $a_{n}$ 项到第 $N_{n}$ 项之间」那一段的和。由于 $N_{n} \approx a_{n} ，$ 这一段只有大约 $ε a_{n}$ 项，它的波动约为 $σ ε a_{n} ，$ 除以 $σ a_{n}$ 后约为 $ε ，$ 很小。
难点： $N_{n}$ 是随机的，而且可能依赖于 $X_{i} ，$ 不能直接算「这一段和」的方差。解决办法：不管 $N_{n}$ 落在窗口 $[(1 - ε) a_{n}, (1 + ε) a_{n}]$ 的哪里，这一段和都不超过「窗口内部分和的最大波动」的两倍；而最大波动正好由 Kolmogorov 极大不等式控制，与 $N_{n}$ 无关。

完整解答

记 $Y_{n} = \frac{S _{N_{n}}}{σ a _{n}} ，$ $Z_{n} = \frac{S _{a_{n}}}{σ a _{n}} 。$

第 1 步（ $Z_{n} \Rightarrow N (0, 1) ）$ ：由中心极限定理， $\frac{S _{m}}{σ m} \Rightarrow N (0, 1)$ （ $m \to \infty ）。$ 因为 $a_{n} \to \infty ，$ 把 $m$ 换成 $a_{n}$ 仍然成立：对每个 $x ，$ $P (Z_{n} \leq x) = P (\frac{S _{a_{n}}}{σ a _{n}} \leq x) \to Φ (x) 。$

第 2 步（化归）： $Y_{n} = Z_{n} + (Y_{n} - Z_{n}) 。$ 由 Slutsky 定理，只需证明 $Y_{n} - Z_{n} \to 0$ 依概率，即对每个 $δ > 0 ，$ $P (∣ Y_{n} - Z_{n} ∣ > δ) \to 0 。$

第 3 步（拆成两部分）：固定 $δ > 0$ 和 $ε \in (0, 1) 。$ 记 $ℓ_{n} = [(1 - ε) a_{n}] ，$ $h_{n} = [(1 + ε) a_{n}] ，$ 事件 $G_{n} = {∣ N_{n} - a_{n} ∣ \leq ε a_{n}} 。$ 则

P (∣ Y_{n} - Z_{n} ∣ > δ) \leq P (G_{n}^{c}) + P (∣ Y_{n} - Z_{n} ∣ > δ, G_{n}) .

由 $N_{n} / a_{n} \to 1$ 依概率， $P (G_{n}^{c}) = P (∣ \frac{N _{n}}{a _{n}} - 1∣ > ε) \to 0 。$

第 4 步（窗口内的最大波动）：在 $G_{n}$ 上，整数 $N_{n}$ 和 $a_{n}$ 都在 $[ℓ_{n}, h_{n}]$ 内。由三角不等式，

∣ S_{N_{n}} - S_{a_{n}} ∣ \leq ∣ S_{N_{n}} - S_{ℓ_{n}} ∣ + ∣ S_{a_{n}} - S_{ℓ_{n}} ∣ \leq 2 ℓ_{n} \leq m \leq h_{n} max ∣ S_{m} - S_{ℓ_{n}} ∣.

所以

P (∣ Y_{n} - Z_{n} ∣ > δ, G_{n}) = P (∣ S_{N_{n}} - S_{a_{n}} ∣ > δ σ a_{n}, G_{n}) \leq P (ℓ_{n} \leq m \leq h_{n} max ∣ S_{m} - S_{ℓ_{n}} ∣ > \frac{δ σ a _{n}}{2}) .

注意最右边已经不含 $N_{n}$ ：无论 $N_{n}$ 是否依赖于 $X_{i} ，$ 这个估计都成立。

第 5 步（Kolmogorov 极大不等式）： $S_{m} - S_{ℓ_{n}}$ （ $ℓ_{n} < m \leq h_{n} ）$ 是 $X_{ℓ_{n} + 1}, \dots, X_{m}$ 的部分和，它们独立、均值 0、方差 $σ^{2} 。$ 由 Kolmogorov 极大不等式，

P (ℓ_{n} \leq m \leq h_{n} max ∣ S_{m} - S_{ℓ_{n}} ∣ > \frac{δ σ a _{n}}{2}) \leq \frac{( h _{n} - ℓ _{n} ) σ ^{2}}{δ ^{2} σ ^{2} a _{n} /4} = \frac{4 ( h _{n} - ℓ _{n} )}{δ ^{2} a _{n}} \leq \frac{4 ( 2 ε a _{n} + 1 )}{δ ^{2} a _{n}} = \frac{8 ε}{δ ^{2}} + \frac{4}{δ ^{2} a _{n}} .

第 6 步（取极限）：合并第 3–5 步并令 $n \to \infty$ （ $a_{n} \to \infty ）：$

n \to \infty lim sup P (∣ Y_{n} - Z_{n} ∣ > δ) \leq 0 + \frac{8 ε}{δ ^{2}} .

左边与 $ε$ 无关，而 $ε \in (0, 1)$ 任意，令 $ε \to 0$ 得 $lim sup P (∣ Y_{n} - Z_{n} ∣ > δ) = 0 。$ 所以 $Y_{n} - Z_{n} \to 0$ 依概率，由第 2 步， $\frac{S _{N_{n}}}{σ a _{n}} \Rightarrow N (0, 1) 。$ $■$

原解答逐行对照

「By CLT ... $\frac{S _{n}}{σ n} \to_{weak} N (0, 1)$ . Thus, its subsequence $\frac{S _{a_{n}}}{σ a _{n}} \to_{weak} N (0, 1) 」$ ： $a_{n}$ 只假设趋于无穷，不一定递增、可以重复，所以严格说不是「子列」。结论仍然成立，理由见第 1 步。
「 $\frac{S _{N_{n}}}{σ a _{n}} = \frac{S _{a_{n}}}{σ a _{n}} + \frac{S _{a_{n}} - S _{N_{n}}}{σ a _{n}} = \frac{S _{a_{n}}}{σ a _{n}} + (Y_{n} - Z_{n}) 」$ ：中间一项的符号写反了，见下面的警告卡片。
「 $\to_{weak} N (0, 1) 」$ ：这一步用的是 Slutsky 定理，原解答没有点名。
拆成 $∣ N_{n} - a_{n} ∣ > a_{n} ε$ 和 $\leq a_{n} ε$ 两部分：正确，第一部分的 $lim sup$ 为 0。
「 $\leq P (max_{(1 - ε) a_{n} \leq m \leq (1 + ε) a_{n}} ∣ S_{m} - S_{[(1 - ε) a_{n}]} ∣ > \frac{δ σ a _{n}}{2}) 」$ ：正确，理由是第 4 步的三角不等式（原解答没有写出「为什么除以 2」）。
Kolmogorov 极大不等式一行：正确。
「 $= \frac{4}{δ ^{2} σ ^{2} a _{n}} σ^{2} ([(1 + ε) a_{n}] - [(1 - ε) a_{n}]) \leq \frac{8 ε}{δ ^{2}} 」$ ：取整带来一个 $+ 1 ，$ 见下面的警告卡片。

易错点原解答的问题：分解式中间一项的符号写反了

应为

\frac{S _{N_{n}}}{σ a _{n}} = \frac{S _{a_{n}}}{σ a _{n}} + \frac{S _{N_{n}} - S _{a_{n}}}{σ a _{n}},

这样第二项才等于 $Y_{n} - Z_{n} 。$ 原解答写成 $S_{a_{n}} - S_{N_{n}} ，$ 等号两边不相等。

易错点原解答的问题：「≤ 8ε/δ²」对每个 n 不一定成立

$[(1 + ε) a_{n}] - [(1 - ε) a_{n}]$ 可能等于 $2 ε a_{n} + 1$ 的整数部分（取整多出 1），所以对每个 $n$ 只能得到 $\leq \frac{8 ε}{δ ^{2}} + \frac{4}{δ ^{2} a _{n}} 。$ 好在 $a_{n} \to \infty ，$ 取 $lim sup$ 后多出的项消失，结论不受影响。

易错点原解答遗漏的要点：N 可以依赖于 X

原解答没有强调：整个证明从未假设 $N_{n}$ 与 $X_{i}$ 独立。正是因为 $N_{n}$ 可能依赖于 $X_{i}$ （例如「和超过某个值就停止」），才不能简单地「对 $N_{n}$ 取条件」，而要用控制整个窗口的极大不等式。这是本题最值得学的地方。

例子与数值验证

例 1：依赖于 X 的随机项数

取 $X_{i} = \pm 1$ （ $σ = 1 ），$ $a_{n} = n ，$ $N_{n} = n + [n] \cdot 1_{{S_{n} > 0}} ：$ 如果前 $n$ 项的和为正，就再多加 $[n]$ 项。 $N_{n}$ 依赖于 $X_{1}, \dots, X_{n} ，$ 但 $\frac{N _{n}}{n} \leq 1 + \frac{1}{n} \to 1 。$ 电脑模拟（ $n = 2000 ，$ 2 万次）： $\frac{S _{N_{n}}}{n}$ 的均值 $- 0.011 、$ 方差 $1.015 ，$ $P (\leq 1) \approx 0.845$ （标准正态是 $0.841 ），$ 与定理一致。

例 2：比值不趋于 1，结论就错了

取 $N_{n} = n$ 或 $2 n$ 各以概率 $\frac{1}{2}$ （与 $X_{i}$ 独立）， $a_{n} = n 。$ $\frac{N _{n}}{a _{n}} \in {1, 2} ，$ 不依概率趋于 1。此时 $\frac{S _{N_{n}}}{n}$ 近似于「一半概率 $N (0, 1) 、$ 一半概率 $N (0, 2) 」$ 的混合，方差 $1.5 。$ 模拟（ $n = 2000 ，$ 1 万次）：方差 $1.509 ，$ 峰度约 $3.25$ （正态是 3，这个混合分布的理论值约 $3.33 ），$ 不是标准正态。

例 3：复合泊松分布——保险公司的总理赔额

一年里的理赔笔数 $N_{t} \sim Poisson (λ t) ，$ 每笔金额 $X_{i}$ 独立同分布。总理赔额 $S_{N_{t}} = \sum_{i \leq N_{t}} X_{i} 。$ 由大数定律 $\frac{N _{t}}{λ t} \to 1 ，$ 于是（对中心化的 $X_{i} ）$ Anscombe 定理给出 $S_{N_{t}}$ 的正态近似，这是精算里估计「总理赔超过准备金」概率的基础。

拓展延伸

Anscombe 定理的一般形式

设 $U_{n}$ 依分布收敛，并且满足「一致连续性条件」：对任意 $ε, η > 0 ，$ 存在 $δ > 0$ 使 $lim sup_{n} P (max_{∣ m - n ∣ \leq δ n} ∣ U_{m} - U_{n} ∣ > ε) < η 。$ 若 $N_{n} / a_{n} \to 1$ 依概率，则 $U_{N_{n}}$ 与 $U_{a_{n}}$ 有相同的极限分布。本题中 $U_{n} = \frac{S _{n}}{σ n} ，$ 条件由 Kolmogorov 极大不等式验证。

更换归一化：用 √Nₙ 代替 √aₙ

由 $\frac{N _{n}}{a _{n}} \to 1$ 依概率和连续映射定理（第 3 讲第 17 页）， $a_{n} / N_{n} \to 1$ 依概率；再用 Slutsky 定理的乘法形式，也有 $\frac{S _{N_{n}}}{σ N _{n}} \Rightarrow N (0, 1) 。$ 在统计里样本量随机时，常用这个形式。

更新过程的中心极限定理

设 $T_{k}$ 是第 $k$ 个事件发生的时刻（相邻间隔 i.i.d.，均值 $m 、$ 方差 $s^{2} ），$ $N (t)$ 是时间 $t$ 之前发生的事件数。那么

\frac{N ( t ) - t / m}{t s ^{2} / m ^{3}} \Rightarrow N (0, 1) .

这是排队论、可靠性理论中的基本结果。证明思路分三步（这里只讲思路，第 3 步的严格细节当作已知结论使用）：

事件数的大数定律： $T_{N (t)} \leq t < T_{N (t) + 1} 。$ 各项除以 $N (t)$ 后，两端都趋于 $m$ （强大数定律），夹逼得 $N (t) / t \to 1/ m$ 几乎必然。
对随机项数用 Anscombe 定理：取 $U_{k} = \frac{T _{k} - km}{s k}$ 和 $a_{t} = t / m ，$ 得 $\frac{T _{N (t)} - m N ( t )}{s t / m} \Rightarrow N (0, 1) 。$
把 $T_{N (t)}$ 换成 $t$ ：两者相差不到一个间隔的长度，除以 $t$ 后依概率趋于 0，所以由 Slutsky 定理， $\frac{t - m N ( t )}{s t / m} \Rightarrow N (0, 1) 。$ 分子分母同除以 $m ，$ 并利用 $N (0, 1)$ 关于 0 对称（乘以 $- 1$ 不改变分布），就得到上式。

常见疑问与易错点

易错点问：既然 N ≈ a，为什么不能直接说 S_N ≈ S_a？

答：「 $N_{n} \approx a_{n} 」$ 是相对意义的（比值趋于 1），绝对差 $∣ N_{n} - a_{n} ∣$ 可以很大（可以到 $ε a_{n}$ 量级）。这一段的和大约是 $σ ε a_{n}$ 的量级，和归一化尺度 $σ a_{n}$ 相比是 $ε ，$ 必须用 $ε \to 0$ 才能消掉，所以需要细致的估计。

易错点问：为什么要用极大不等式，Chebyshev 不行吗？

答：Chebyshev 只能估计固定位置的 $S_{m} - S_{ℓ} 。$ $N_{n}$ 是随机的、还可能依赖于 $X_{i} ，$ $S_{N_{n}} - S_{ℓ_{n}}$ 的分布无法直接算。极大不等式控制整个窗口内所有位置的最大值，自然也就控制了随机位置 $N_{n}$ 处的值。

易错点问：σ² > 0 这个条件用在哪里？

答：用在中心极限定理（除以 $σ ）。$ $σ^{2} = 0$ 时每个 $X_{i} = 0 ，$ 没有可以标准化的东西。

小结与自测

小结本题小结

目标： $\frac{S _{N_{n}}}{σ a _{n}} \Rightarrow N (0, 1) ；$ 化归为 $Y_{n} - Z_{n} \to 0$ 依概率，再用中心极限定理 + Slutsky。
关键估计：在 $∣ N_{n} - a_{n} ∣ \leq ε a_{n}$ 上， $∣ S_{N_{n}} - S_{a_{n}} ∣ \leq 2 max_{ℓ_{n} \leq m \leq h_{n}} ∣ S_{m} - S_{ℓ_{n}} ∣ ，$ 用 Kolmogorov 极大不等式得 $\leq \frac{8 ε}{δ ^{2}} + \frac{4}{δ ^{2} a _{n}} 。$
$N_{n}$ 可以依赖于 $X_{i} ；$ 但 $N_{n} / a_{n} \to 1$ 不能去掉（例 2）。
原解答：分解式符号写反； $a_{n}$ 不一定是子列；取整多出的项；没有点名 Slutsky 定理。

自测

1. 设 $N_{n} = n + [n^{0.6}]$ （确定的）。 $\frac{S _{N_{n}}}{σ n}$ 依分布收敛到什么？

点开看答案

$a_{n} = n ，$ $\frac{N _{n}}{n} = 1 + \frac{[ n ^{0.6} ]}{n} \to 1 ，$ 由本题收敛到 $N (0, 1) 。$

2. 在第 5 步中，若 $ε = 0.01 、$ $δ = 0.5 ，$ $lim sup P (∣ Y_{n} - Z_{n} ∣ > 0.5)$ 的上界是多少？

点开看答案

$\frac{8 ε}{δ ^{2}} = \frac{0.08}{0.25} = 0.32 。$ 这个上界对固定的 $ε$ 不小，但 $ε$ 可以任意小，所以真实的 $lim sup$ 是 0。

3. 叙述 Slutsky 定理，并说明它在本题中用在哪里。

点开看答案

若 $U_{n} \Rightarrow U 、$ $V_{n} \to 0$ 依概率，则 $U_{n} + V_{n} \Rightarrow U 。$ 本题取 $U_{n} = Z_{n}$ （由中心极限定理收敛到 $N (0, 1) ）、$ $V_{n} = Y_{n} - Z_{n}$ （由极大不等式依概率趋于 0），得到 $Y_{n} \Rightarrow N (0, 1) 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
中心极限定理	central limit theorem (CLT)	独立同分布、方差 σ² 有限时，(Sₙ − nμ)/(σ√n) 依分布收敛到标准正态分布：大量独立小误差之和近似正态。
独立同分布	independent and identically distributed (i.i.d.)	一列随机变量相互独立，并且分布都相同，例如反复独立地掷同一颗骰子。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
Kolmogorov 极大不等式	Kolmogorov's maximal inequality	独立、均值 0、方差有限时，P(max(\|S₁\|, …, \|Sₙ\|) ≥ λ) ≤ Var(Sₙ)/λ²：控制的是整条路径的最大值，而不只是终点。
部分和	partial sum	级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
Slutsky 定理	Slutsky's theorem	Xₙ 依分布收敛到 X，Yₙ 依概率收敛到常数 c，则 Xₙ + Yₙ 依分布收敛到 X + c，XₙYₙ 依分布收敛到 cX。
依分布收敛	convergence in distribution	在极限分布函数 F 的每个连续点 x 上，P(Xₙ ≤ x) → F(x)。它只比较分布，不要求 Xₙ 本身靠近 X。
鞅	martingale	适应、可积且 E[Xₙ₊₁ \| 𝓕ₙ] = Xₙ 的随机过程：公平游戏，已知过去时对下一步的最佳猜测就是现在的值。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
Chebyshev 不等式	Chebyshev's inequality	P(\|X − μ\| ≥ t) ≤ σ² / t²：方差控制偏离均值的概率。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
三角不等式	triangle inequality	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 \|∫f\| ≤ ∫\|f\|、E\|X + Y\| ≤ E\|X\| + E\|Y\|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
强大数定律	strong law of large numbers (SLLN)	独立同分布且 E\|X₁\| < ∞ 时，样本均值 Sₙ/n 几乎必然收敛到 E X₁。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。