01 封面：随机变量、期望与不等式 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

第 1 讲造好了两件工具：给集合「称重量」的测度，和把函数「加权求和」的勒贝格积分。第 2 讲把它们用到概率上：随机变量就是可测函数，期望就是对概率测度的积分。然后学会两件本领：用分布函数把期望算出来，用各种不等式把期望和概率估出来。

这是第 2 讲的封面。蓝条上的英文标题 Random Variables, Expectation, and Inequalities 直译是「随机变量、期望与不等式」，正好是本讲的三个关键词；下面的 Topic 2 表示「第 2 讲」。右下角的 1/33 是幻灯片编号（共 33 张）；本站收录的 PDF 一共 32 页，逐页对应编号 1–32。

先补基础

基础补课第 1 讲留下了哪些东西（本讲会反复用到）

概率空间 $(Ω, F, P) ：$ $Ω$ 是所有可能结局组成的集合（样本空间）， $F$ 是「允许谈论概率的事件」的清单（σ-代数，见 σ-代数）， $P$ 给清单里的每个事件指定一个 $0$ 到 $1$ 之间的概率（见测度空间）。
可测函数：函数 $f$ 满足「对每个实数 $a ，$ 集合 ${f > a}$ 都在清单里」（见可测函数）。本讲第一页就会说：随机变量正是这种函数。
勒贝格积分 $\int f d μ ：$ 先对「台阶函数」（简单函数）定义积分，再从下方逼近推广到一般的非负函数（见非负函数的积分）。本讲会说：期望正是这种积分。
三大收敛定理：单调收敛定理 MCT（MCT）、Fatou 引理（Fatou）、控制收敛定理 DCT（DCT）。它们告诉我们「极限」和「积分」什么时候可以交换顺序。本讲几乎每个证明都要用它们。

课件原文逐句精读

课件原文封面

Random Variables, Expectation, and Inequalities

Topic 2

中文翻译

随机变量、期望与不等式

第 2 讲

Random Variables｜随机变量

中学里说「随机变量是取值随机的量」。这一讲要把这句话说准确：随机变量是一个函数 $X : Ω \to R ，$ 它把每个结局 $ω$ 翻译成一个数 $X (ω) ；$ 函数本身是确定的，随机性只来自「哪个 $ω$ 被实现」。为了能谈 $P (X \leq 3)$ 这类概率，还要求它可测（第 4 页）。

Expectation｜期望

中学里期望是「取值 × 概率，再求和」，或者「 $\int x f (x) d x 」。$ 这两个公式各管一种情形（离散、有密度），遇到「既有跳跃又有连续部分」的随机变量就不够用了。这一讲把期望统一定义成对 $P$ 的勒贝格积分（第 5 页），再推出一整套只用分布函数（CDF）就能算期望的公式（第 8–13 页）。

Inequalities｜不等式

很多时候我们算不出精确的期望或概率，只能估计它们的大小。例如「平均值是 50，那么超过 100 的概率最多是多少？」。本讲后半部分给出一系列不等式：Jensen、Hölder、Minkowski（估计期望），Markov、Chebyshev、Cantelli（用期望估计概率）。

关于这一讲的课件

补充课件是「课堂空白版」

第 2 讲的 PDF 每页只印了标题、「Definition 4」「Theorem 9」这样的标签和少量设定文字，定义、定理、证明的正文都留白，由老师上课现场手写。我们没有手写版，所以本站在每页的「补全课件留白」一节里，按标准教材（Durrett、Billingsley、Williams）把留白处完整补写出来，记号与课件保持一致。如与老师课堂写法不同，以老师为准。

小结

小结本页小结

本讲三个关键词：随机变量（可测函数）、期望（对 $P$ 的积分）、不等式（估计期望与概率）。
本讲大量使用第 1 讲的工具：σ-代数、可测函数、勒贝格积分、MCT / Fatou / DCT。
课件是空白版，每页的「补全课件留白」一节是本站补写的完整内容。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。