03 目录：五个部分如何一环扣一环 · 第2讲

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五个部分是一条链：先定义（随机变量、分布、期望）→ 再计算（只用 CDF 算期望）→ 再分类（尾部、矩、 $L^{p}$ 空间）→ 估计期望（变换、乘积、和的不等式）→ 估计概率（用矩控制事件）。

这是第 2 讲的目录页。下面先逐条翻译，再讲清每一部分要回答什么问题、用到前面哪一部分。

课件原文逐句精读

课件原文Contents

Random variables, laws, and expectation
Computing expectations from a CDF
Tails, finite moments, and $L^{p}$
Bounds for transforms, products, and sums
Probability bounds from moments

中文翻译

随机变量、分布与期望
用 CDF 计算期望
尾部、有限矩与 $L^{p}$ 空间
变换、乘积与和的界
用矩给出概率界

1. Random variables, laws, and expectation｜随机变量、分布与期望（第 4–7 页）

要回答的问题：随机变量、分布（law）、期望，严格地说分别是什么？
答案：随机变量是可测映射（第 4 页）；期望是对 $P$ 的勒贝格积分（第 5 页）；分布是把 $P$ 「推」到取值空间上得到的概率测度 $P \circ X^{- 1}$ （第 6 页）；最后的「无意识统计学家定律」说：算 $E g (X)$ 只需要知道 $X$ 的分布（第 7 页）。
用到：第 1 讲的 σ-代数、可测函数、积分、MCT。

2. Computing expectations from a CDF｜用 CDF 计算期望（第 8–20 页）

要回答的问题：实值随机变量的分布是一个测度，太抽象；能不能只用一个普通函数（CDF）就把期望算出来？
答案：CDF 决定整个分布（第 8 页）；对 CDF 的积分可以用「增量和」逼近（第 9 页）；分部积分、截断和尾部面积给出 $E X = \int_{0}^{\infty} (1 - F) - \int_{- \infty}^{0} F$ （第 10–12 页）；混合型例子（第 13 页）。然后是分位数与逆变换：任何 CDF 都能由均匀随机数造出来（第 14–16 页）；最后讲清「有密度」到底是什么条件，以及连续却没有密度的康托尔分布，并把一般分布拆成三种质量（第 17–20 页）。
用到：第 1 部分的 LOTUS（第 7 页），第 1 讲的从上 / 从下连续、MCT、有界收敛。

3. Tails, finite moments, and $L^{p}$ ｜尾部、有限矩与 $L^{p}$ （第 21–22 页）

要回答的问题：「矩有限」和「尾巴（大值出现的概率）」是什么关系？所有 $p$ 阶矩有限的随机变量放在一起是什么结构？
答案：矩–尾恒等式 $E X^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (X > t) d t$ （第 21 页）； $L^{p}$ 空间和 $∥ X ∥_{p}$ （第 22 页）。
用到：第 2 部分的「用尾部算期望」（第 12 页）。

4. Bounds for transforms, products, and sums｜变换、乘积与和的界（第 23–27 页）

要回答的问题： $E φ (X)$ （变换）、 $E ∣ X Y ∣$ （乘积）、 $∥ X + Y ∥_{p}$ （和）分别能用什么来控制？
答案：凸函数的支撑线（第 23 页）→ Jensen 不等式 $φ (E X) \leq E φ (X)$ （第 24 页）→ $L^{p}$ 的单调性（第 25 页）；Young 不等式归一化得到 Hölder 不等式（第 26 页）；一次 Hölder 计算得到 Minkowski 不等式（第 27 页）。
用到：第 3 部分的 $L^{p}$ 记号。

5. Probability bounds from moments｜用矩给出概率界（第 28–32 页）

要回答的问题：只知道一些矩（均值、方差、 $E ∣ X ∣^{p} ），$ 能对 $P (∣ W ∣ \geq t)$ 说什么？
答案：核心技巧「示性函数 ≤ 某个函数」（第 28 页）→ 广义 Markov 不等式（第 29 页）；有限矩推出 $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \to 0$ （第 30 页），反过来不成立（第 31 页）；单侧的 Cantelli 不等式（第 32 页）。
用到：第 3 部分的矩–尾恒等式，第 1 讲的 DCT。

五个部分的依赖关系

部分	依赖	产出（后面要用的东西）
1 定义	第 1 讲	随机变量、分布、期望、LOTUS
2 CDF 计算	部分 1	CDF、用尾部算期望、分位数、密度、分布的三种质量
3 尾部与 $L^{p}$	部分 2	矩–尾恒等式、 $L^{p}$ 与 $p$ -范数
4 期望的界	部分 3	Jensen、 $L^{p}$ 单调性、Hölder、Minkowski
5 概率的界	部分 3、4	Markov / Chebyshev / Cantelli、尾部衰减

小结

小结本页小结

部分 1–2 解决「是什么、怎么算」，部分 3 把矩和尾部连起来，部分 4–5 解决「算不出时怎么估」。
部分 4 估计的是期望，部分 5 估计的是概率；二者靠「 $P (A) = E 1_{A} 」$ 这座桥连在一起。
每一部分都用到前面部分的结论，建议按页码顺序阅读。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
无意识统计学家定律	law of the unconscious statistician (LOTUS)	求 g(X) 的期望，不必先求出 g(X) 的分布，直接把 g 对 X 的分布 𝓛(X) 积分；X 有密度 f 时就是 E g(X) = ∫ g(x) f(x) dx。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
分部积分	integration by parts	∫ₐᵇ u v′ dx = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v dx：把求导从一个函数挪到另一个函数上。由乘积求导法则 (uv)′ = u′v + uv′ 两边积分得到。
分位数	quantile	Q(u) = inf{x : F(x) ≥ u}，是 CDF 的「广义反函数」。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
阶矩	moment	E[\|X\|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
凸函数	convex function	图像上任意两点连线都在图像上方的函数，例如 x²、eˣ。
Jensen 不等式	Jensen's inequality	φ 凸时 φ(E X) ≤ E φ(X)，例如 (E X)² ≤ E X²。
Hölder 不等式	Hölder's inequality	E\|XY\| ≤ ‖X‖_p ‖Y‖_q（1/p + 1/q = 1）；p = q = 2 就是柯西–施瓦茨不等式。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
Markov 不等式	Markov's inequality	X ≥ 0 时 P(X ≥ t) ≤ E X / t：期望小，取大值的概率就小。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。