11 截断随机变量的期望 · 第2讲 · 高等概率论逐页精讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

把随机变量 $X$ 「夹」在区间 $[a, b]$ 里：小于 $a$ 的值一律改成 $a ，$ 大于 $b$ 的值一律改成 $b ，$ 得到截断变量 $X^{(a, b)} 。$ 它的期望可以只用 CDF 的一个普通积分算出来：

E X^{(a, b)} = a + \int_{a}^{b} (1 - F (x)) d x = b - \int_{a}^{b} F (x) d x .

位置：第 2 部分「用 CDF 计算期望」的第 4 页。上一页第 10 页的定理 9 对光滑函数 $g$ 给出了分部积分公式；本页取最简单的 $g (x) = x ，$ 把结果整理成「截断变量的期望」。
为什么需要截断：一般的 $X$ 可能取到很大或很小的值， $E X$ 甚至可能不存在。截断以后 $X^{(a, b)}$ 只在 $[a, b]$ 里取值，有界，期望一定存在而且有限，可以放心计算。
后面怎么用：下一页第 12 页让 $a \to - \infty 、$ $b \to \infty ，$ 截断变量就慢慢「放开」变回 $X ，$ 用单调收敛定理得到定理 11： $E X = \int_{0}^{\infty} (1 - F) d x - \int_{- \infty}^{0} F d x 。$ 本页是那一步的「有界版本」。

先补基础

基础补课max、min 与「夹住」函数

$max (s, t)$ 是两个数中较大的那个， $min (s, t)$ 是较小的那个。例： $max (3, 5) = 5 ，$ $min (3, 5) = 3 ，$ $max (- 2, 0) = 0 。$ 有的书写成 $s \lor t$ （取大）和 $s \land t$ （取小）。
夹住函数 $h (x) := min (max (x, a), b)$ （ $a < b ）$ 分两步：先 $max (x, a)$ 把比 $a$ 小的数抬到 $a ，$ 再 $min (\cdot, b)$ 把比 $b$ 大的数压到 $b 。$ 结果是 $h (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a, x, b, x \leq a, a < x \leq b, x > b .$
例： $a = 0 、$ $b = 1$ 时， $h (- 3) = 0 ，$ $h (0.4) = 0.4 ，$ $h (7) = 1 。$
$h$ 的图像是「平—斜—平」三段： $x \leq a$ 时是高度 $a$ 的水平线，中间是斜率 1 的直线 $y = x ，$ $x > b$ 时是高度 $b$ 的水平线。三段在 $x = a 、$ $x = b$ 处接上，所以 $h$ 连续。

基础补课尾概率 1 − F(x)

由第 8 页命题 B， $1 - F (x) = P (X > x) ，$ 读作「 $X$ 超过 $x$ 的概率」，叫尾概率。 $F (x)$ 是「 $X$ 不超过 $x 」$ 的概率， $1 - F (x)$ 是它的补。两者相加恒等于 1。本页公式的两种写法，一个用 $1 - F ，$ 一个用 $F ，$ 就是这个关系在起作用。

基础补课回顾：定理 9（第 10 页）

设 $a < b ，$ $g \in C^{1} ([a, b])$ （可导且导数连续），则

E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}] = g (b) F (b) - g (a) F (a) - \int_{a}^{b} g^{'} (x) F (x) d x .

本页只用它的一个特例： $g (x) = x ，$ $g^{'} (x) = 1 ，$ 此时

E [X 1_{{a < X \leq b}}] = b F (b) - a F (a) - \int_{a}^{b} F (x) d x .

课件原文逐句精读

课件原文Expectation of a truncated random variable

Corollary 10 For any real random variable $X$ and finite $a < b$ , define the truncated

中文翻译

蓝条标题：截断随机变量的期望。

推论 10 对任意实值随机变量 $X$ 和有限的 $a < b ，$ 定义截断……（课件正文留白，见下一节。）

① Corollary｜为什么叫「推论」

推论（corollary）是由前面的定理直接推出的结论。这里的「前面的定理」是第 10 页的定理 9：代入 $g (x) = x ，$ 再把三段拼起来就得到本页公式，不需要新的工具。

② For any real random variable X｜对任何实值随机变量

没有任何额外假设：不要求 $X$ 非负，不要求 $X$ 可积，不要求有密度。连期望不存在的柯西分布（第 8 页例 2）也可以。
原因：截断以后的变量只在 $[a, b]$ 里取值，是有界的，它的期望总是一个有限实数。所有困难都被「截」掉了。

③ finite a < b｜两个有限的端点

$a 、$ $b$ 必须是有限实数，而且 $a < b 。$ 这样 $[a, b]$ 是一个有界闭区间，第 10 页的定理 9 才能用（它要求 $g \in C^{1} ([a, b]) ，$ 而 $[a, b]$ 有界）。
无穷的情形（ $a = - \infty$ 或 $b = + \infty ）$ 留给下一页用极限处理。

④ define the truncated｜定义截断变量

课件这句话在 truncated（截断的）后面断开，留白处要写出截断变量的定义和它的期望公式，见下一节。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定义截断变量（推论 10 中的定义）

对实值随机变量 $X$ 和有限实数 $a < b ，$ 定义截断变量（truncated random variable）

X^{(a, b)} := min (max (X, a), b) = ⎩ ⎨ ⎧ a, X, b, X \leq a, a < X \leq b, X > b .

推论 10（截断随机变量的期望）

设 $X$ 是实值随机变量， $F = F_{X} ，$ $a < b$ 是有限实数。则 $X^{(a, b)}$ 是取值于 $[a, b]$ 的有界随机变量，并且

E [X^{(a, b)}] = a + \int_{a}^{b} (1 - F (x)) d x = b - \int_{a}^{b} F (x) d x .

逐项解释：

$X^{(a, b)}$ 是随机变量：它等于 $h (X) ，$ 其中 $h (x) = min (max (x, a), b)$ 是连续函数（见「先补基础」）。连续函数博雷尔可测，复合保持可测（第 4 页），所以 $X^{(a, b)}$ 是随机变量。
有界：对每个 $ω ，$ $a \leq X^{(a, b)} (ω) \leq b 。$ 由期望的单调性， $a \leq E X^{(a, b)} \leq b ，$ 期望是有限实数。
第一种写法 $a + \int_{a}^{b} (1 - F) ：$ 从下限 $a$ 出发，加上「 $X$ 超过 $x$ 的概率」在 $[a, b]$ 上的积分。 $X$ 越倾向于取大值， $1 - F$ 越大，期望越往 $b$ 靠。
第二种写法 $b - \int_{a}^{b} F ：$ 从上限 $b$ 出发，减去「 $X$ 不超过 $x$ 的概率」在 $[a, b]$ 上的积分。
两种写法相等： $\int_{a}^{b} (1 - F) d x = (b - a) - \int_{a}^{b} F d x ，$ 所以 $a + \int_{a}^{b} (1 - F) d x = a + (b - a) - \int_{a}^{b} F d x = b - \int_{a}^{b} F d x 。$
积分有意义： $F$ 单调、取值在 $[0, 1] ，$ 是有界可测函数（第 10 页基础补课），在有界区间上积分一定有限。

推导证明思路

把 $X^{(a, b)}$ 按 $X$ 落在哪一段拆成三块： $X \leq a$ 时是常数 $a ，$ $a < X \leq b$ 时是 $X$ 本身， $X > b$ 时是常数 $b 。$ 两块常数的期望用 CDF 直接读出；中间一块正是定理 9 在 $g (x) = x$ 时的左边。三块相加， $a F (a)$ 和 $b F (b)$ 正负抵消，剩下的就是公式。

第 1 步：拆成三块。 三个事件 ${X \leq a} 、$ ${a < X \leq b} 、$ ${X > b}$ 两两不交，并起来是 $Ω ，$ 所以它们的示性函数之和恒等于 1。每个 $ω$ 恰好落在其中一个事件里，在那里 $X^{(a, b)}$ 分别等于 $a 、$ $X 、$ $b 。$ 于是

X^{(a, b)} = a 1_{{X \leq a}} + X 1_{{a < X \leq b}} + b 1_{{X > b}} .

注意端点： $X = a$ 时落在第一块，值为 $a ；$ $X = b$ 时落在第二块，值为 $X = b 。$ 都和定义一致。

第 2 步：三块分别取期望。 三块都是有界随机变量（中间一块的绝对值不超过 $max (∣ a ∣, ∣ b ∣) ），$ 期望都有限，可以用线性性逐项取期望：

第一块： $E [a 1_{{X \leq a}}] = a P (X \leq a) = a F (a)$ （示性函数的期望是概率，第 5 页）。
第三块： $E [b 1_{{X > b}}] = b P (X > b) = b (1 - F (b))$ （第 8 页命题 B）。
第二块：对 $g (x) = x$ 用定理 9。 $g$ 在 $[a, b]$ 上可导， $g^{'} = 1$ 连续，所以 $g \in C^{1} ([a, b]) ，$ 得 $E [X 1_{{a < X \leq b}}] = b F (b) - a F (a) - \int_{a}^{b} F (x) d x .$

第 3 步：相加。

E X^{(a, b)} = a F (a) + [b F (b) - a F (a) - \int_{a}^{b} F (x) d x] + b - b F (b) = b - \int_{a}^{b} F (x) d x .

第二行： $a F (a)$ 与 $- a F (a)$ 抵消， $b F (b)$ 与 $- b F (b)$ 抵消。再用上面「两种写法相等」的计算，得到第一种写法。证毕。

另一个角度：逐点的「分层」恒等式

固定一个 $ω 。$ 积分 $\int_{a}^{b} 1_{{X (ω) > t}} d t$ 是集合 ${t \in [a, b] : t < X (ω)}$ 的长度，分三种情况：

$X (ω) \leq a ：$ 没有 $t \in [a, b]$ 满足 $t < X (ω) ，$ 长度 0，而 $X^{(a, b)} (ω) - a = 0 ；$
$a < X (ω) \leq b ：$ 集合是 $[a, X (ω)) ，$ 长度 $X (ω) - a = X^{(a, b)} (ω) - a ；$
$X (ω) > b ：$ 集合是整个 $[a, b] ，$ 长度 $b - a = X^{(a, b)} (ω) - a 。$

三种情况都给出

X^{(a, b)} (ω) - a = \int_{a}^{b} 1_{{X (ω) > t}} d t .

例如 $X (ω) = 0.7 、$ $[a, b] = [0, 1] ：$ $t \in [0, 0.7)$ 时示性函数为 1，积分是 $0.7 = X^{(0, 1)} (ω) - 0 。$ 两边取期望，如果允许交换 $E$ 和 $\int d t ，$ 就得到 $E X^{(a, b)} - a = \int_{a}^{b} P (X > t) d t ，$ 正是推论 10。交换次序要用 Tonelli 定理，第 1 讲没有讲，所以正文用定理 9 证明；这个角度只用来帮助理解「 $1 - F$ 下方的面积」为什么等于期望。

图解

图解：期望是 F 上方的一块面积

课件这里没有图，可以这样画：

画坐标系，横轴是 $x ，$ 纵轴是概率 $[0, 1] 。$ 在横轴上标出 $a 、$ $b ，$ 在高度 1 处画一条水平虚线。
画出 $F$ 在 $[a, b]$ 上的图像，它从 $F (a)$ 单调地升到 $F (b) ，$ 中间可以有跳跃和平台。
竖线 $x = a 、$ $x = b 、$ 横线 $y = 0 、$ $y = 1$ 围成一个宽 $b - a 、$ 高 1 的矩形，面积 $b - a 。$ 曲线 $F$ 把它分成上下两块：
- 下块（ $F$ 下方）面积 $\int_{a}^{b} F d x ；$
- 上块（ $F$ 与 $y = 1$ 之间）面积 $\int_{a}^{b} (1 - F) d x 。$
推论 10 说： $E X^{(a, b)}$ 到左端 $a$ 的距离等于上块面积，到右端 $b$ 的距离等于下块面积。

两种写法其实是同一句话：上块 + 下块 $= b - a 。$ $X$ 越偏向大值， $F$ 在 $[a, b]$ 上越低，上块越大，期望越靠近 $b ；$ 反之越靠近 $a 。$ 下一页把这个矩形的左右边界推到无穷远，就得到定理 11 的「两块尾部面积」。

例子

例 1：均匀分布截到 [0.2, 0.5]

$U \sim Unif (0, 1) ，$ 在 $[0, 1]$ 上 $F (x) = x 。$ 取 $a = 0.2 、$ $b = 0.5 。$

用推论 10： $E U^{(0.2, 0.5)} = 0.5 - \int_{0.2}^{0.5} x d x = 0.5 - \frac{0. 5 ^{2} - 0. 2 ^{2}}{2} = 0.5 - \frac{0.25 - 0.04}{2} = 0.5 - 0.105 = 0.395 。$
直接算： $U \leq 0.2$ 的概率是 $0.2 ，$ 此时值为 $0.2 ；$ $U > 0.5$ 的概率是 $0.5 ，$ 此时值为 $0.5 ；$ 中间一段用密度 1 积分。 $E U^{(0.2, 0.5)} = 0.2 \times 0.2 + \int_{0.2}^{0.5} u d u + 0.5 \times 0.5 = 0.04 + 0.105 + 0.25 = 0.395.$

两种方法一致。

例 2：掷骰子截到 [2, 4.5]——F 是台阶也照样算

$X$ 等可能地取 $1, \dots, 6 。$ 截断后： $1 \mapsto 2 ，$ $2 \mapsto 2 ，$ $3 \mapsto 3 ，$ $4 \mapsto 4 ，$ $5 \mapsto 4.5 ，$ $6 \mapsto 4.5 。$

直接算： $E X^{(2, 4.5)} = \frac{2 + 2 + 3 + 4 + 4.5 + 4.5}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} 。$
用推论 10：在 $[2, 3)$ 上 $F = \frac{2}{6} ，$ 在 $[3, 4)$ 上 $F = \frac{3}{6} ，$ 在 $[4, 4.5]$ 上 $F = \frac{4}{6} 。$ 所以 $\int_{2}^{4.5} F (x) d x = 1 \cdot \frac{2}{6} + 1 \cdot \frac{3}{6} + 0.5 \cdot \frac{4}{6} = \frac{2 + 3 + 2}{6} = \frac{7}{6}, E X^{(2, 4.5)} = 4.5 - \frac{7}{6} = \frac{27 - 7}{6} = \frac{10}{3} .$

一致。公式里没有出现「跳跃」，跳跃的信息全藏在 $F$ 的台阶高度里。

例 3：有赔付上限的保险——指数分布截到 [0, b]

设损失 $X \sim exp (λ) ，$ 保险公司最多赔 $b ，$ 实际赔付是 $min (X, b) 。$ 因为 $X \geq 0 ，$ $max (X, 0) = X ，$ 所以 $min (X, b) = X^{(0, b)} 。$ $x \geq 0$ 时 $1 - F (x) = e^{- λ x} ，$ 用第一种写法：

E min (X, b) = 0 + \int_{0}^{b} e^{- λ x} d x = \frac{1 - e ^{- λb}}{λ} .

例如 $λ = 1 、$ $b = 2 ：$ 平均赔付 $1 - e^{- 2} \approx 0.865 ，$ 比不设上限时的平均损失 $1$ 少了约 $0.135 。$ $b \to \infty$ 时它趋于 $\frac{1}{λ} ，$ 这正是下一页与第 15 页要严格推出的指数分布均值。

例 4（反例的作用）：期望不存在的柯西分布，截断后照样能算

柯西分布 $F (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} arctan x ，$ $E X$ 不存在（第 5 页）。但取 $a = - 1 、$ $b = 1 ：$

\int_{- 1}^{1} F (x) d x = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{2} d x + \frac{1}{π} \int_{- 1}^{1} arctan x d x = 1 + 0 = 1,

其中 $arctan$ 是奇函数，在对称区间上的积分为 0。所以 $E X^{(- 1, 1)} = 1 - 1 = 0 ，$ 与分布关于 0 对称的直觉一致。截断变量的期望总是存在的；但 $a \to - \infty 、$ $b \to \infty$ 时能不能收敛到一个有意义的「 $E X 」，$ 要看下一页的条件。

常见疑问与易错点

易错点问：「截断」不是把 [a, b] 以外的部分直接扔掉吗？

答：教材里「截断」有两种不同的意思，要分清：

夹住（本页）： $X^{(a, b)} = min (max (X, a), b) ，$ 越界的值改成端点值，概率质量被「堆」到端点上，不丢失。
砍掉： $X 1_{{a < X \leq b}} ，$ 越界的值改成 0（第 10 页定理 9 的左边就是这种）。

两者的期望不同：例 2 里砍掉版本是 $E [X 1_{{2 < X \leq 4.5}}] = \frac{3 + 4}{6} = \frac{7}{6} ，$ 夹住版本是 $\frac{10}{3} 。$ 本页选「夹住」，是因为它关于 $a 、$ $b$ 单调： $b$ 增大时 $X^{(a, b)}$ 不减， $a$ 减小时 $X^{(a, b)}$ 不增，下一页正好可以用单调收敛定理。

易错点问：积分是 ∫ₐᵇ，不用管区间开闭吗？

答：不用。这里是对勒贝格测度 $d x$ 的普通积分，单点的长度为 0， $\int_{[a, b]} 、$ $\int_{(a, b)}$ 结果一样。要小心开闭的是对 $d F$ 的积分（第 9 页），因为那里单点可以有正的概率。本页的公式里已经没有 $d F$ 了。

易错点问：X 在端点 a 或 b 处有原子（正概率）时，公式还对吗？

答：对。上一页的定理 9 要小心 $F (a)$ 与 $F (a -)$ 的区别，是因为它的左边 $E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}]$ 不包含 $X = a$ 的情形。截断变量没有这个问题： $X = a$ 时 $X^{(a, b)} = a ，$ $X = b$ 时 $X^{(a, b)} = b ，$ 取的都是端点值本身，不管原子划到哪一块，贡献都一样。证明第 1 步里， $X = a$ 的概率被算进了 $a F (a)$ （因为 $F (a) = P (X \leq a)$ 包含 $X = a ），$ $X = b$ 的概率被算进了中间一块。最后的公式只含 $d x$ 积分，单点不影响。例： $X \equiv 1 ，$ $[a, b] = [1, 3] ，$ $X^{(1, 3)} \equiv 1 ；$ 公式给出 $3 - \int_{1}^{3} F d x = 3 - \int_{1}^{3} 1 d x = 3 - 2 = 1 ，$ 正确。

易错点问：既然截断变量总有期望，为什么还要研究 𝔼X 存不存在？

答：截断变量是「人为修改过」的 $X ，$ 它的期望依赖于 $a 、$ $b$ 的选取。我们真正关心的是 $X$ 本身。下一页会说明： $a \to - \infty 、$ $b \to \infty$ 时， $E X^{(a, b)}$ 的两部分分别收敛到 $- E X^{-}$ 和 $E X^{+} ；$ 只有两者不同时为无穷， $E X$ 才有定义。例 4 的柯西分布两部分都是无穷，所以 $E X$ 不存在，即使每个截断的期望都存在。

小结与自测

小结本页小结

截断变量 $X^{(a, b)} = min (max (X, a), b) ：$ 小于 $a$ 改成 $a ，$ 大于 $b$ 改成 $b ，$ 取值在 $[a, b] ，$ 期望总是有限。
推论 10： $E X^{(a, b)} = a + \int_{a}^{b} (1 - F) d x = b - \int_{a}^{b} F d x ，$ 对任何实值 $X$ 成立。
证明：按 ${X \leq a} 、$ ${a < X \leq b} 、$ ${X > b}$ 拆三块，中间一块用定理 9（ $g (x) = x ），$ 端点项抵消。
图像：在 $[a, b] \times [0, 1]$ 的矩形里， $F$ 上方的面积是 $E X^{(a, b)} - a ，$ 下方的面积是 $b - E X^{(a, b)} 。$

自测

1. $X$ 服从伯努利分布， $P (X = 1) = p ，$ $P (X = 0) = 1 - p 。$ 取 $a = - 1 、$ $b = 2 ，$ 用推论 10 计算 $E X^{(- 1, 2)} ，$ 并说明结果为什么等于 $E X 。$

点开看答案

$F$ 在 $[- 1, 0)$ 上为 0，在 $[0, 1)$ 上为 $1 - p ，$ 在 $[1, 2]$ 上为 1，所以 $\int_{- 1}^{2} F d x = 0 + (1 - p) + 1 = 2 - p ，$ $E X^{(- 1, 2)} = 2 - (2 - p) = p 。$ 因为 $X$ 只取 0、1，都在 $[- 1, 2]$ 里，截断不改变任何值， $X^{(- 1, 2)} = X ，$ 所以结果就是 $E X = p 。$

2. $U \sim Unif (0, 1) ，$ 求 $E min (U, \frac{1}{2}) 。$

点开看答案

$U \geq 0 ，$ 所以 $min (U, \frac{1}{2}) = U^{(0, 1/2)} 。$ 用第一种写法： $\int_{0}^{1/2} (1 - x) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} 。$ 直接验证： $\int_{0}^{1/2} u d u + \frac{1}{2} \cdot P (U > \frac{1}{2}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} 。$

3. 判断：「若 $E X$ 不存在，则 $E X^{(a, b)}$ 也不存在。」

点开看答案

错。 $X^{(a, b)}$ 取值在 $[a, b]$ 里，是有界随机变量，正部和负部的期望都有限，所以 $E X^{(a, b)}$ 总是有限实数。例 4 的柯西分布就是例子： $E X$ 不存在，但 $E X^{(- 1, 1)} = 0 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
分部积分	integration by parts	∫ₐᵇ u v′ dx = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v dx：把求导从一个函数挪到另一个函数上。由乘积求导法则 (uv)′ = u′v + uv′ 两边积分得到。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
指数分布	exponential distribution	P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。