16 分位数能准确看出哪些矩存在（Pareto 分布） · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

在 $(0, 1)$ 上取均匀随机数 $U ，$ 令 $X_{α} = (1 - U)^{- 1/ α} 。$ 它的尾巴是 $P (X_{α} > t) = t^{- α}$ （ $t \geq 1 ），$ 它的 $p$ 阶矩是一个只含 $u$ 的积分：

E X_{α}^{p} = \int_{0}^{1} (1 - u)^{- p / α} d u = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{α}{α - p}, + \infty, 0 < p < α, p \geq α .

看分位数函数在 $u \to 1$ 时「冲向无穷」有多快，就能准确读出哪些矩存在。

位置：第 2 部分「用 CDF 计算期望」里「分位数三页」的最后一页。第 14 页定义了广义分位数 $Q_{F} ，$ 并给出逆变换法： $U \sim Unif (0, 1)$ 时 $Q_{F} (U)$ 的 CDF 就是 $F ；$ 第 15 页用它造出指数分布并计算期望。本页换一个分位数函数——它在 $u \to 1$ 时像幂函数一样爆炸——得到著名的 Pareto 分布。
要解决的问题：一个随机变量每个取值都是有限数，它的均值、方差却可能是无穷大。到底哪些矩有限？本页给出一个能精确到临界点的例子： $p < α$ 时有限， $p \geq α$ 时无穷。
后面怎么用：第 21 页的矩–尾恒等式会从尾概率 $t^{- α}$ 出发再算一遍（那里的例 4）；第 25 页的 $L^{p}$ 单调性、第 30 页–第 31 页的「有限矩与尾部衰减」都拿它当标准例子。下一页第 17 页转向另一个问题：什么时候有密度。

先补基础

基础补课分位数与逆变换（回顾第 14 页）

对一个 CDF $F$ （单调不减、右连续、两端极限为 0 和 1），广义分位数是 $Q_{F} (u) = in f {x \in R : F (x) \geq u}, u \in (0, 1),$ 意思是「累积概率第一次达到 $u$ 的位置」。关键等价： $Q_{F} (u) \leq x ⟺ u \leq F (x) 。$
逆变换法：若 $U \sim Unif (0, 1) ，$ 则 $Q_{F} (U)$ 的 CDF 恰好是 $F 。$
若 $F$ 在取值范围内连续且严格递增， $Q_{F}$ 就是普通的反函数：解方程 $F (x) = u$ 得 $x = Q_{F} (u) 。$ 例：指数分布 $F (x) = 1 - e^{- λ x}$ 解出 $Q_{F} (u) = - ln (1 - u) / λ$ （第 15 页）。

基础补课负指数幂与不等号的方向

$y^{- a} = \frac{1}{y ^{a}}$ （ $y > 0 ）。$ 例： $4^{- 1/2} = \frac{1}{2} ，$ $0.2 5^{- 1/2} = 2 ，$ $0.0 1^{- 1/2} = 10 。$
对 $a > 0 ，$ $y \mapsto y^{a}$ 在 $(0, \infty)$ 上严格递增， $y \mapsto y^{- a}$ 严格递减。所以两边都是正数时，同取正次方，不等号方向不变；同取负次方，不等号反向： $y < z ⟺ y^{- a} > z^{- a} 。$ 例： $2 < 3 ，$ 而 $2^{- 1} = \frac{1}{2} > \frac{1}{3} = 3^{- 1} 。$
指数运算法则 $(y^{b})^{c} = y^{b c} ，$ 例如 $((1 - u)^{- 1/ α})^{- α} = 1 - u 。$

基础补课被积函数无界时怎么积分

$\int_{0}^{1} (1 - u)^{- r} d u$ （ $r > 0 ）$ 的被积函数在 $u \to 1$ 时趋于无穷。中学的定积分（黎曼积分）只处理有界函数，不能直接用。
勒贝格积分没有这个限制：被积函数非负可测，积分就有定义（可能是 $+ \infty ）。$ 计算方法是截断再取极限：在 $[0, 1 - \frac{1}{n}]$ 上被积函数连续且有界，用微积分算出积分；再让 $n \to \infty ，$ 由单调收敛定理（MCT）得到整个区间上的积分。这就是微积分里「广义积分」的严格版本。
要记住的两个结论（第一个的证明见下一节第 4 步，第二个同样可以用原函数 $\frac{t ^{1 - q}}{1 - q} 、$ $ln t$ 验证）： $\int_{0}^{1} s^{- r} d s < \infty ⟺ r < 1, \int_{1}^{\infty} t^{- q} d t < \infty ⟺ q > 1.$ 临界情形 $r = 1 、$ $q = 1$ 都是对数型发散： $\int_{ε}^{1} s^{- 1} d s = ln \frac{1}{ε} \to \infty$ （ $ε \to 0 ）。$

基础补课矩（回顾）

$p > 0$ 时 $E X^{p}$ 叫 $X$ 的 $p$ 阶矩： $p = 1$ 是均值， $p = 2$ 是二阶矩，方差 $Var X = E X^{2} - (E X)^{2}$ （要求 $E X^{2} < \infty ）。$ $X \geq 0$ 时 $X^{p} \geq 0 ，$ 期望总有定义，可能是 $+ \infty$ （第 5 页）。本页说「矩存在」「矩有限」都指 $E X^{p} < \infty 。$

课件原文逐句精读

课件原文A quantile can reveal exactly which moments exist

Example 15 (A Pareto variable) On $(Ω, F, P) = ((0, 1), B ((0, 1)), Leb)$ , set $U (ω) = ω$ and, for $α > 0$ ,

X_{α} = (1 - U)^{- 1/ α} .

中文翻译

蓝条标题：一个分位数函数能准确揭示哪些矩存在。

例 15（Pareto 随机变量） 在 $(Ω, F, P) = ((0, 1), B ((0, 1)), Leb)$ 上，令 $U (ω) = ω ，$ 并对 $α > 0$ 令

X_{α} = (1 - U)^{- 1/ α} .

（后面的计算课件留白，见下一节。）

On (Ω, 𝓕, ℙ) = ((0,1), 𝓑((0,1)), Leb)｜舞台：用长度当概率

$Ω = (0, 1) ：$ 一个样本点就是 0 和 1 之间的一个数 $ω 。$
$F = B ((0, 1)) ：$ $(0, 1)$ 里的博雷尔集，也就是「允许谈概率的子集」。
$P = Leb ：$ 一个事件的概率就是它的长度（勒贝格测度）。例如 $P ((0.2, 0.5]) = 0.3 。$
这是逆变换法的标准舞台（第 14 页）：在它上面可以造出任何实值分布。

set U(ω) = ω｜U 就是均匀随机数

$U$ 是「把样本点原样读出来」的恒等映射。对 $0 < u < 1 ，$ $P (U \leq u) = Leb ((0, u]) = u ，$ 所以 $U \sim Unif (0, 1) 。$
于是「随机抽一个样本点 $ω 」$ 和「随机抽一个均匀数 $U 」$ 是同一件事。下面 $X_{α}$ 的一切性质都从 $U$ 的均匀性推出。

for α > 0, X_α = (1 − U)^{−1/α}｜用一个公式造出 Pareto 变量

$α > 0$ 是参数，叫尾指数（tail index）。后面会看到： $α$ 越小，尾巴越重。
取值范围：对每个 $ω \in (0, 1) ，$ $1 - ω \in (0, 1) ，$ 所以 $(1 - ω)^{1/ α} \in (0, 1) ，$ 取倒数得 $X_{α} (ω) = (1 - ω)^{- 1/ α} \in (1, \infty) 。$ 每个取值都是一个有限的、大于 1 的数。
形状： $ω$ 越接近 1， $1 - ω$ 越接近 0， $X_{α}$ 越大， $ω \to 1$ 时趋于 $+ \infty 。$ 例如 $α = 2 ：$ $ω = 0.75$ 时 $X_{2} = 0.2 5^{- 1/2} = 2 ；$ $ω = 0.99$ 时 $X_{2} = 10 ；$ $ω = 0.9999$ 时 $X_{2} = 100 。$
是随机变量： $X_{α} = h (U) ，$ 其中 $h (u) = (1 - u)^{- 1/ α}$ 在 $(0, 1)$ 上连续；连续函数与随机变量的复合仍是随机变量（第 4 页）。
名字：来自经济学家 Pareto（帕累托）。他用这类分布描述财富：大多数人不富，但极少数人极其富有，而且「富到超过 $t 」$ 的概率只按幂函数 $t^{- α}$ 的速度减小。

A quantile can reveal exactly which moments exist｜标题为什么说「分位数」

下面会证明： $h (u) = (1 - u)^{- 1/ α}$ 正是 Pareto 分布的分位数函数 $Q_{F} ，$ 所以 $X_{α} = Q_{F} (U)$ 是逆变换法的一个实例。
一般地，对任何实值随机变量 $X ，$ $Q_{X} (U)$ 与 $X$ 同分布（逆变换法），而期望只依赖分布（第 7 页的 LOTUS），所以 $E ∣ X ∣^{p} = E ∣ Q_{X} (U) ∣^{p} = \int_{0}^{1} ∣ Q_{X} (u) ∣^{p} d u .$ 矩是否有限，就是函数 $∣ Q_{X} ∣^{p}$ 在 $u \to 0$ 和 $u \to 1$ 两端能不能积分。
exactly（准确地）：对 Pareto 分布，这个判断能精确到临界点 $p = α 。$

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

例 15（Pareto 随机变量）：完整结论

设定如课件： $(Ω, F, P) = ((0, 1), B ((0, 1)), Leb) ，$ $U (ω) = ω ，$ $α > 0 ，$ $X_{α} = (1 - U)^{- 1/ α} 。$ 则：

尾概率： $P (X_{α} > t) = t^{- α}$ （ $t \geq 1 ）；$ $P (X_{α} > t) = 1$ （ $t < 1 ）。$
CDF 与分位数： $F_{α} (t) = 1 - t^{- α}$ （ $t \geq 1 ），$ $F_{α} (t) = 0$ （ $t < 1 ）。$ 它的广义分位数是 $Q_{F_{α}} (u) = (1 - u)^{- 1/ α} ，$ 所以 $X_{α} = Q_{F_{α}} (U) 。$
密度： $f_{α} (t) = α t^{- α - 1} 1_{{t > 1}} 。$
矩：对 $p > 0 ，$ $E X_{α}^{p} = \int_{0}^{1} (1 - u)^{- p / α} d u = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{α}{α - p}, + \infty, p < α, p \geq α .$
数值例子： $α = 2$ 时 $E X_{2} = 2 ，$ 但 $E X_{2}^{2} = + \infty ，$ 方差是无穷大； $α = 3$ 时 $E X_{3} = \frac{3}{2} ，$ $E X_{3}^{2} = 3 ，$ $Var X_{3} = 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4} 。$

推导证明思路

尾概率：把事件 ${X_{α} > t}$ 翻译成「 $U$ 落在某个区间」，量长度即可。分位数：直接按定义解不等式 $F_{α} (x) \geq u 。$ 矩： $X_{α}^{p}$ 是 $Ω = (0, 1)$ 上的一个具体函数，它的期望就是一个关于 $u$ 的积分；被积函数在 $u \to 1$ 时无界，先截断到 $[0, 1 - \frac{1}{n}]$ 用微积分算，再用单调收敛定理取极限。

第 1 步：尾概率。 取 $t \geq 1 。$ 对每个 $ω \in (0, 1) ，$

X_{α} (ω) > t ⟺ (1 - ω)^{- 1/ α} > t ⟺ 1 - ω < t^{- α} ⟺ ω > 1 - t^{- α} .

第二个等价号：两边都是正数，同取 $- α$ 次方，不等号反向，而 $((1 - ω)^{- 1/ α})^{- α} = 1 - ω 。$ 因为 $t \geq 1 ，$ $0 \leq 1 - t^{- α} < 1 ，$ 所以

{X_{α} > t} = (1 - t^{- α}, 1), P (X_{α} > t) = Leb ((1 - t^{- α}, 1)) = t^{- α} .

若 $t < 1 ：$ $X_{α}$ 总大于 $1 > t ，$ 事件是整个 $Ω ，$ 概率为 1。

感受一下这条尾巴： $P (X_{2} > 10) = \frac{1}{100} ，$ $P (X_{2} > 100) = \frac{1}{1 0 ^{4}} 。$ 对比指数分布 $P (Y > t) = e^{- t} ：$ $e^{- 10} \approx 4.5 \times 1 0^{- 5} ，$ $e^{- 100}$ 更是小到可以忽略。幂函数衰减得慢得多，所以叫重尾（heavy tail）。

第 2 步：CDF 与分位数。 $F_{α} (t) = 1 - P (X_{α} > t) ，$ 由第 1 步得到结论 2 的公式。它确实是一个 CDF：在 $t = 1$ 处 $1 - 1^{- α} = 0 ，$ 与左边接得上，处处连续；单调不减； $t \to \infty$ 时趋于 1。

再求分位数。固定 $u \in (0, 1) 。$ $x < 1$ 时 $F_{α} (x) = 0 < u ，$ 不满足 $F_{α} (x) \geq u ；$ $x \geq 1$ 时，

F_{α} (x) \geq u ⟺ 1 - x^{- α} \geq u ⟺ x^{- α} \leq 1 - u ⟺ x \geq (1 - u)^{- 1/ α},

最后一步同取 $- 1/ α$ 次方，不等号反向。又因为 $(1 - u)^{- 1/ α} > 1 ，$ 满足条件的 $x$ 自动大于 1。所以 ${x : F_{α} (x) \geq u} = [(1 - u)^{- 1/ α}, \infty) ，$ 它的下确界就是左端点：

Q_{F_{α}} (u) = (1 - u)^{- 1/ α}, X_{α} = Q_{F_{α}} (U) .

这说明例 15 就是逆变换法：把 Pareto 分布的分位数函数作用在均匀数上。第 1 步的尾概率也可以直接由第 14 页的逆变换法得到，两条路结论一致。

第 3 步：密度（预告第 17 页）。 在 $(1, \infty)$ 上 $F_{α}$ 可导， $F_{α}^{'} (t) = α t^{- α - 1} ；$ 在 $(- \infty, 1)$ 上 $F_{α}^{'} = 0 ；$ 在 $t = 1$ 这一个点不可导（左导数 0，右导数 $α ），$ 单点是零测集，不影响积分。对 $x \geq 1 ，$

\int_{(- \infty, x]} f_{α} (t) d t = \int_{1}^{x} α t^{- α - 1} d t = [- t^{- α}]_{1}^{x} = 1 - x^{- α} = F_{α} (x),

$x < 1$ 时两边都是 0。于是概率测度 $B \mapsto \int_{B} f_{α}$ 与 $X_{α}$ 的分布在所有半直线 $(- \infty, x]$ 上相等，由第 8 页的定理 C（π 系唯一性），它们在所有博雷尔集上相等： $P (X_{α} \in B) = \int_{B} f_{α} (t) d t 。$ 这正是第 17 页「密度」的含义。

第 4 步：矩。 固定 $p > 0 ，$ 记 $r = p / α > 0 。$ $X_{α}^{p} = (1 - U)^{- r}$ 是 $Ω = (0, 1)$ 上的非负函数，由期望的定义（第 5 页， $P = Leb ），$

E X_{α}^{p} = \int_{(0, 1)} (1 - ω)^{- r} d Leb (ω) .

截断：对 $n \geq 2$ 令 $g_{n} (ω) = (1 - ω)^{- r} 1_{(0, 1 - 1/ n]} (ω) 。$ 每个 $ω < 1$ 最终都满足 $ω \leq 1 - \frac{1}{n} ，$ 所以 $g_{n} ↑ (1 - ω)^{- r} ，$ 由 MCT， $\int g_{n} d Leb ↑ E X_{α}^{p} 。$
在截断区间上用微积分：在闭区间 $[0, 1 - \frac{1}{n}]$ 上 $1 - u \geq \frac{1}{n} ，$ 被积函数连续且不超过 $n^{r} ，$ 所以勒贝格积分等于黎曼积分（第 27 页；左端点 0 是单点，不影响积分）。原函数： $r \neq = 1$ 时 $G (u) = - \frac{( 1 - u ) ^{1 - r}}{1 - r} ，$ 求导得 $G^{'} (u) = (1 - u)^{- r}$ （链式法则）； $r = 1$ 时 $G (u) = - ln (1 - u) 。$ 于是 $\int_{0}^{1 - 1/ n} (1 - u)^{- r} d u = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1 - n ^{r - 1}}{1 - r}, ln n, r \neq = 1, r = 1.$
取极限，分三种情形：
1. $r < 1$ （即 $p < α ）：$ $n^{r - 1} \to 0 ，$ 极限是 $\frac{1}{1 - r} = \frac{1}{1 - p / α} = \frac{α}{α - p} ；$
2. $r = 1$ （即 $p = α ）：$ $ln n \to \infty ；$
3. $r > 1$ （即 $p > α ）：$ $\frac{1 - n ^{r - 1}}{1 - r} = \frac{n ^{r - 1} - 1}{r - 1} \to \infty 。$

这就是结论 4。临界点 $p = α$ 本身属于「无穷」那一边，因为那里是对数型发散。

第 5 步：数值与方差。 代入结论 4： $α = 2 、$ $p = 1$ 得 $E X_{2} = \frac{2}{2 - 1} = 2 ；$ $p = 2 \geq α$ 得 $E X_{2}^{2} = \infty 。$ $α = 3$ 时 $E X_{3} = \frac{3}{2} ，$ $E X_{3}^{2} = \frac{3}{3 - 2} = 3 ，$ 方差 $3 - (\frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{4} 。$ 一般地 $α > 2$ 时

Var X_{α} = \frac{α}{α - 2} - \frac{α ^{2}}{( α - 1 ) ^{2}} = \frac{α [ ( α - 1 ) ^{2} - α ( α - 2 ) ]}{( α - 2 ) ( α - 1 ) ^{2}} = \frac{α}{( α - 1 ) ^{2} ( α - 2 )},

中括号里展开后 $α^{2} - 2 α + 1 - α^{2} + 2 α = 1 。$

$α$	有限的矩	均值 $E X_{α}$	方差
$0.5$	$p < 0.5$	$\infty$	$\infty$
$1$	$p < 1$	$\infty$	$\infty$
$1.5$	$p < 1.5$	$3$	$\infty$
$2$	$p < 2$	$2$	$\infty$
$3$	$p < 3$	$1.5$	$0.75$
$5$	$p < 5$	$1.25$	$5/48 \approx 0.104$

三种算法互相核对

用密度（第 7 页推论）： $p < α$ 时 $E X_{α}^{p} = \int_{1}^{\infty} t^{p} \cdot α t^{- α - 1} d t = α \int_{1}^{\infty} t^{p - α - 1} d t = α \cdot \frac{1}{α - p} ，$ 因为指数 $p - α - 1 < - 1 。$
用尾概率（第 12 页）： $α > 1$ 时 $E X_{α} = \int_{0}^{\infty} P (X_{α} > t) d t = \int_{0}^{1} 1 d t + \int_{1}^{\infty} t^{- α} d t = 1 + \frac{1}{α - 1} = \frac{α}{α - 1} 。$ 一般的 $p$ 用第 21 页的矩–尾恒等式，那里的例 4 算的正是这个。
用分位数：就是上面的第 4 步。三条路给出同一个答案，这也印证了「期望只依赖分布」。

图解

图解：分位数函数「爆炸」的速度决定矩

课件这里没有图，可以这样画：

横轴是 $u \in (0, 1) ，$ 纵轴是 $Q (u) = (1 - u)^{- 1/ α} 。$ 分别画 $α = 1, 2, 3$ 三条曲线：它们都从 $u = 0$ 处的高度 1 出发，在 $u \to 1$ 时冲向无穷； $α$ 越小，冲得越猛。
$E X_{α}^{p}$ 就是曲线 $u \mapsto Q (u)^{p} = (1 - u)^{- p / α}$ 下方的面积。面积会不会有限，只看靠近 $u = 1$ 的那一小段。
令 $s = 1 - u$ （离右端的距离），这段曲线就是 $s^{- p / α} ，$ $s \to 0 。$ 由「先补基础」里的结论， $s^{- r}$ 在 0 附近的面积有限当且仅当 $r < 1 ，$ 即 $p < α 。$
对比指数分布的分位数 $- ln (1 - u) ：$ 它也冲向无穷，但只按对数速度，比任何幂函数都慢，所以它的每个矩都有限（见例 2）。

一句话：分位数在 $u \to 1$ 处爆炸得越快，尾巴越重，能有限的矩就越少。

动手试一试逆变换：看分位数在 u → 1 时怎么增长

选「指数分布 exp(1)」，把 $u$ 拖到 0.9、0.99，落点 $Q (u) = - ln (1 - u)$ 只有约 2.3、4.6，长得很慢。演示里没有 Pareto，可以对照这组数：同样 $u = 0.99 ，$ Pareto 的 $α = 2$ 给出 $Q = 10 ，$ $α = 1$ 给出 $Q = 100 。$

例子

例 1：α = 2——每个「十倍区间」对二阶矩的贡献一样多

$E X_{2}^{2} = \int_{0}^{1} \frac{d u}{1 - u} 。$ 把 $(0, 1)$ 切成 $[0, 0.9] 、$ $[0.9, 0.99] 、$ $[0.99, 0.999] \dots\dots$ 第 $k$ 段是 $u \in [1 - 1 0^{- k}, 1 - 1 0^{- (k + 1)}]$ （ $k = 0, 1, 2, \dots ），$ 对应 $X_{2} = (1 - u)^{- 1/2}$ 从 $1 0^{k /2}$ 增长到 $1 0^{(k + 1) /2} 。$ 这一段的贡献是

\int_{1 - 1 0^{- k}}^{1 - 1 0^{- (k + 1)}} \frac{d u}{1 - u} = [- ln (1 - u)]_{1 - 1 0^{- k}}^{1 - 1 0^{- (k + 1)}} = ln 1 0^{k + 1} - ln 1 0^{k} = ln 10 \approx 2.303.

每一段都贡献 $ln 10 ，$ 而段数无穷多，所以 $E X_{2}^{2} = \infty 。$

再看均值 $E X_{2} = \int_{0}^{1} (1 - u)^{- 1/2} d u ：$ 第 $k$ 段贡献 $[- 2 (1 - u)^{1/2}] = 2 \cdot 1 0^{- k /2} (1 - 1 0^{- 1/2}) ，$ 是公比为 $1 0^{- 1/2} \approx 0.316$ 的等比数列，总和 $\frac{2 ( 1 - 1 0 ^{- 1/2} )}{1 - 1 0 ^{- 1/2}} = 2 ，$ 与结论一致。

直观：对均值，越极端的值贡献越小，缩小得像等比数列；对二阶矩，每个数量级都贡献同样多——极端值虽然越来越罕见，但「罕见」抵不过「巨大」，于是加到无穷。

例 2：对比指数分布——分位数只按对数增长，所有矩都有限

$Y \sim exp (1) ，$ $Q (u) = - ln (1 - u)$ （第 15 页）。令 $s = 1 - u$ （ $U$ 与 $1 - U$ 同分布，第 8 页例 4，所以积分不变）：

E Y^{p} = \int_{0}^{1} (- ln (1 - u))^{p} d u = \int_{0}^{1} (ln \frac{1}{s})^{p} d s .

$p = 1 ：$ 原函数 $s - s ln s$ 的导数是 $1 - ln s - 1 = - ln s ；$ 在 $[ε, 1]$ 上积分得 $1 - (ε - ε ln ε) \to 1$ （ $ε ln ε \to 0 ），$ 所以 $E Y = 1 ，$ 与第 15 页一致。
任意 $p > 0$ 都有限：令 $s = e^{- y} ，$ $s^{1/2} (ln \frac{1}{s})^{p} = e^{- y /2} y^{p} ，$ 当 $y \to \infty$ （即 $s \to 0 ）$ 时趋于 0（指数衰减压过任何多项式增长）。所以函数 $s^{1/2} (ln \frac{1}{s})^{p}$ 在 $(0, 1]$ 上有界，记上界为 $C_{p} ，$ 于是 $(ln \frac{1}{s})^{p} \leq C_{p} s^{- 1/2} ，$ 而 $\int_{0}^{1} s^{- 1/2} d s = 2 。$ 因此 $E Y^{p} \leq 2 C_{p} < \infty 。$

对比 Pareto： $Q (u) = (1 - u)^{- 1/ α}$ 是幂函数型的爆炸， $p$ 次方后仍是幂函数 $(1 - u)^{- p / α} ，$ 只有指数 $p / α < 1$ 时才可积。

例 3：α = 1——每个值都有限，均值却是无穷大

$X_{1} = \frac{1}{1 - U} ，$ $P (X_{1} > t) = \frac{1}{t}$ （ $t \geq 1 ）。$

$E X_{1} = \int_{0}^{1} \frac{d u}{1 - u} = \infty$ （第 4 步 $r = 1$ 的情形）。用第 12 页的尾部公式也一样： $E X_{1} = \int_{0}^{\infty} P (X_{1} > t) d t = 1 + \int_{1}^{\infty} \frac{d t}{t} = \infty 。$
可是 $E X_{1}^{1/2} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ 有限。

所以「矩存不存在」要说清楚是哪一阶：同一个随机变量， $p = \frac{1}{2}$ 阶有限， $p = 1$ 阶无穷。

补充：「二八定律」里的 α

在 Pareto 分布里，取值最大的那一部分样本占总量多少？对 $α > 1$ 和阈值 $t \geq 1 ，$ 由密度

E [X_{α} 1_{{X_{α} > t}}] = \int_{t}^{\infty} x \cdot α x^{- α - 1} d x = \frac{α}{α - 1} t^{1 - α},

除以 $E X_{α} = \frac{α}{α - 1} ，$ 得占比 $t^{1 - α} 。$ 取 $t$ 使 $P (X_{α} > t) = t^{- α} = q$ （最大的 $q$ 比例），即 $t = q^{- 1/ α} ，$ 占比 $= q^{(α - 1) / α} 。$ 要「最大的 20% 占 80%」，解 $0. 2^{(α - 1) / α} = 0.8$ 得 $α \approx 1.16 。$ 这时均值有限，方差却是无穷——这类重尾现象正是研究有限矩的动机之一。

常见疑问与易错点

易错点问：X_α 的每个取值都是有限数，期望怎么会是无穷？

答：期望是加权平均，不是某一个取值。每个 $ω$ 给出的 $X_{α} (ω)$ 都有限，但大值出现的概率下降得不够快，积分 $\int_{0}^{1} (1 - u)^{- p / α} d u$ 加起来发散。「随机变量处处有限」和「期望有限」是两回事：前者说每个结局，后者说整体平均。

易错点问：均值有限，方差一定有限吗？

答：不一定。 $1 < α \leq 2$ 时（例如 $α = 1.5$ 或 $α = 2 ），$ $E X_{α} < \infty ，$ 但 $E X_{α}^{2} = \infty ，$ 方差是无穷大。反过来是对的：在概率空间上， $E X^{p} < \infty$ 推出 $E X^{q} < \infty$ （ $0 < q < p ，$ $X \geq 0 ）。$ 理由： $x \in [0, 1]$ 时 $x^{q} \leq 1 ，$ $x > 1$ 时 $x^{q} \leq x^{p} ，$ 所以 $x^{q} \leq 1 + x^{p} ，$ 取期望得 $E X^{q} \leq 1 + E X^{p} 。$ 因此「有限的阶」总是从 0 开始的一整段，Pareto 恰好是 $(0, α) 。$ 第 25 页会把这件事写成 $L^{p}$ 空间的单调性。

易错点问：为什么临界点 p = α 算「无穷」？

答： $p = α$ 时被积函数恰好是 $(1 - u)^{- 1} ，$ 积分 $\int_{0}^{1 - 1/ n} \frac{d u}{1 - u} = ln n \to \infty 。$ 从尾巴看也一样： $p t^{p - 1} \cdot t^{- α} = α t^{- 1} ，$ 而 $\int_{1}^{\infty} \frac{d t}{t} = \infty$ （第 21 页）。所以 $p < α$ 是严格不等号，不能写成 $p \leq α 。$

易错点问：为什么用 1 − U，而不直接用 U^{−1/α}？

答：两者同分布（ $U$ 与 $1 - U$ 同分布），所以 $U^{- 1/ α}$ 也服从 Pareto 分布，矩完全一样。用 $1 - U$ 是为了让公式关于 $U$ 递增，恰好等于分位数函数 $Q_{F} (U) ，$ 与第 14 页的逆变换法对上。两种写法只在「每个 $ω$ 上取什么值」不同（ $U^{- 1/ α} = Q_{F} (1 - U) ），$ 分布没有区别。

小结与自测

小结本页小结

例 15： $X_{α} = (1 - U)^{- 1/ α}$ 在 $(1, \infty)$ 上取值， $P (X_{α} > t) = t^{- α}$ （ $t \geq 1 ），$ $F_{α} (t) = 1 - t^{- α} ，$ 密度 $α t^{- α - 1}$ （ $t > 1 ）。$
公式里的函数 $(1 - u)^{- 1/ α}$ 就是 Pareto 分布的分位数： $X_{α} = Q_{F_{α}} (U) 。$
矩： $E X_{α}^{p} = \int_{0}^{1} (1 - u)^{- p / α} d u = \frac{α}{α - p}$ （ $p < α ），$ $p \geq α$ 时为 $\infty ；$ 临界点属于无穷。
一般原则： $E ∣ X ∣^{p} = \int_{0}^{1} ∣ Q_{X} (u) ∣^{p} d u ，$ 分位数在两端爆炸得越快，有限的矩越少；幂型爆炸有临界阶，对数型爆炸（指数分布）所有矩都有限。

自测

1. 取 $α = 4 。$ 哪些 $p > 0$ 使 $E X_{4}^{p} < \infty ？$ 求 $E X_{4} 、$ $E X_{4}^{2}$ 和 $Var X_{4} 。$

点开看答案

恰好是 $p < 4 。$ $E X_{4} = \frac{4}{4 - 1} = \frac{4}{3} ，$ $E X_{4}^{2} = \frac{4}{4 - 2} = 2 ，$ $Var X_{4} = 2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9} 。$ 也可以用公式 $\frac{α}{( α - 1 ) ^{2} ( α - 2 )} = \frac{4}{9 \cdot 2} = \frac{2}{9}$ 核对。

2. 令 $Y = X_{3} - 1 。$ 求 $P (Y > t)$ （ $t \geq 0 ），$ 并说明它与第 21 页自测第 2 题的关系。

点开看答案

$P (Y > t) = P (X_{3} > 1 + t) = (1 + t)^{- 3} ，$ 因为 $1 + t \geq 1 ，$ 可以用第 1 步的公式。这正是第 21 页自测第 2 题给出的尾巴，那里的结论「 $E Y^{p} < \infty ⟺ p < 3 」$ 与本页 $α = 3$ 的结论一致： $Y = X_{3} - 1$ 与 $X_{3}$ 只差常数 1，而 $X_{3} \geq 1 、$ $Y \geq 0$ 时， $E Y^{p} < \infty ⟺ E X_{3}^{p} < \infty$ （因为 $Y \leq X_{3} \leq 2 max (Y, 1) ）。$

3. 判断：「若 $E X_{α} < \infty ，$ 则 $E X_{α}^{2} < \infty 。」$

点开看答案

错。取 $α = 1.5 ：$ $E X_{1.5} = \frac{1.5}{0.5} = 3 < \infty ，$ 但 $p = 2 \geq 1.5 ，$ 所以 $E X_{1.5}^{2} = \infty 。$ 均值有限只说明 $α > 1 ，$ 方差有限需要 $α > 2 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
阶矩	moment	E[\|X\|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
分位数	quantile	Q(u) = inf{x : F(x) ≥ u}，是 CDF 的「广义反函数」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
逆变换法	inverse transform method	U 服从 (0,1) 上的均匀分布时，Q(U) 的分布函数恰好是 F，用来生成任意分布。
指数分布	exponential distribution	P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
反函数	inverse function	f 把不同的输入送到不同的输出时，反函数 f⁻¹ 把输出送回原来的输入：f⁻¹(f(x)) = x。例：ln 是 eˣ 的反函数。注意：集合的原像 f⁻¹(D) 不需要反函数存在。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
无意识统计学家定律	law of the unconscious statistician (LOTUS)	求 g(X) 的期望，不必先求出 g(X) 的分布，直接把 g 对 X 的分布 𝓛(X) 积分；X 有密度 f 时就是 E g(X) = ∫ g(x) f(x) dx。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。