02 本讲目标：学完要会什么 · 第2讲

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三个目标：懂定义（期望和 CDF 到底是什么）、会估计（用不等式给概率和期望画上限）、会判断矩（一个随机变量的 $E ∣ X ∣^{p}$ 有没有限，以及有限时能推出什么）。

这一页列出第 2 讲结束时你应该掌握的三件事。它们分别对应本讲五个部分中的不同部分（见下面的对照表），可以当作复习时的「验收清单」。

基础补课两个新词：CDF 与「矩」

CDF（cumulative distribution function，累积分布函数）：对实值随机变量 $X ，$ $F_{X} (x) = P (X \leq x) ，$ 即「 $X$ 不超过 $x$ 的概率」，随 $x$ 从左往右累积。例：公平硬币 $X \in {0, 1} ，$ 则 $x < 0$ 时 $F_{X} (x) = 0 ，$ $0 \leq x < 1$ 时 $F_{X} (x) = \frac{1}{2} ，$ $x \geq 1$ 时 $F_{X} (x) = 1 。$ 正式定义在第 8 页。
矩（moment）： $E X^{p}$ 叫 $X$ 的 $p$ 阶矩， $E ∣ X ∣^{p}$ 叫 $p$ 阶绝对矩。一阶矩就是均值，二阶矩和方差有关（ $Var X = E X^{2} - (E X)^{2} ）。$ 「有限矩条件」（finite moment condition）指的是像 $E ∣ X ∣^{p} < \infty$ 这样的假设。
界（bound）：对一个算不准的量给出「最多是多少 / 至少是多少」。例如「 $P (X \geq 10) \leq 0.3 」$ 就是一个概率上界。

课件原文Through this topic, you should...

中文翻译

通过这一讲，你应该：

这里的关键词是 definition（定义）。中学的期望公式「 $\sum x p (x) 」$ 和「 $\int x f (x) d x 」$ 是两个计算公式，不是定义；本讲的定义是「 $E X = \int_{Ω} X d P 」$ （第 5 页），两个中学公式都是它的特例。
名称提醒：课件这里写的是 cumulative density function，标准叫法是 cumulative distribution function（第 8 页的定义标题用的就是标准叫法）。CDF 不是「密度」：很多随机变量根本没有密度（第 19 页的康托尔分布），但每个实值随机变量都有 CDF。

Manage 的意思是「会用、会选」：看到一个问题，知道该用哪个不等式，并能检查它的假设（非负？方差有限？凸函数？）。
本讲的不等式分两类：估计期望的（Jensen、Hölder、Minkowski，第 23–27 页）和估计概率的（Markov 及其推广、Cantelli，第 28–32 页）。

典型问题：已知 $E ∣ X ∣^{2} < \infty ，$ 能不能推出 $E ∣ X ∣ < \infty ？$ （能，第 25 页。）已知 $E ∣ X ∣^{p} < \infty ，$ 尾概率 $P (∣ X ∣ > t)$ 衰减得多快？（比 $t^{- p}$ 还快，第 30 页。）反过来呢？（不一定，第 31 页的反例。）
工具是第 21 页的「矩–尾恒等式」：矩可以写成尾概率的积分，于是「矩有限」和「尾巴够细」可以互相翻译。

目标	主要在哪几页	核心结论
① 期望与 CDF 的定义	第 1 部分（4–7 页）、第 2 部分（8–20 页）	期望是积分；CDF 决定整个分布；用 CDF 直接算期望
② 概率不等式与概率界	第 4 部分（23–27 页）、第 5 部分（28–32 页）	Jensen、Hölder、Minkowski；Markov、Chebyshev、Cantelli
③ 有限矩条件与界	第 3 部分（21–22 页）、第 5 部分（30–31 页）	矩–尾恒等式； $L^{p}$ 空间；有限矩推出尾部衰减，反之不成立

小结本页小结

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
阶矩	moment	E[\|X\|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
凸函数	convex function	图像上任意两点连线都在图像上方的函数，例如 x²、eˣ。
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。