31 尾巴衰减得更快，也不一定有有限矩（对数边界） · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

上一页说： $E ∣ X ∣^{p} < \infty$ ⇒ $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \to 0 。$ 这一页说明反过来不成立：构造一个随机变量 $V_{p} ，$ 它的尾巴是 $\frac{e ^{p}}{t ^{p} l o g t} ，$ 比 $t^{- p}$ 还小一个 $lo g t$ 因子，所以 $t^{p} P (V_{p} > t) \to 0 ；$ 但它的 $p$ 阶矩仍然是 $+ \infty 。$

位置：第 5 部分，紧跟第 30 页的命题 28，回答「这个必要条件是不是也充分」——不是。
为什么叫「对数边界」（logarithmic boundary case）：尾巴 $t^{- p}$ 恰好处在「 $p$ 阶矩有限」的边界上（Pareto，第 16 页）。乘上一个衰减得极慢的 $\frac{1}{l o g t} ，$ 尾巴变小了一点点，但还不足以让积分收敛。这个例子精确地站在边界上。
用到的工具：矩–尾恒等式 $E X^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (X > t) d t$ （第 21 页）。

先补基础

基础补课对数函数的增长有多慢

$lo g t$ （自然对数）趋于无穷，但比任何正幂次都慢：对任意 $a > 0 ，$ $\frac{l o g t}{t ^{a}} \to 0 。$ 所以 $\frac{1}{t ^{p} l o g t}$ 比 $t^{- p}$ 小，却比 $t^{- p - a}$ 大（对任意 $a > 0 ）$ ——它夹在所有「更快的幂次」和 $t^{- p}$ 之间。

基础补课一个发散的积分：

\int_{e}^{\infty} \frac{d t}{t l o g t}

令 $u = lo g t ，$ $d u = \frac{d t}{t} ，$ $t = e$ 时 $u = 1 ：$

\int_{e}^{T} \frac{d t}{t lo g t} = \int_{1}^{l o g T} \frac{d u}{u} = lo g lo g T T \to \infty \infty.

它发散得极慢（ $T = e^{e^{10}}$ 时才到 10），但确实发散。

基础补课用尾函数定义一个分布

函数 $G (t)$ 能当某个随机变量 $V$ 的尾概率 $P (V > t) ，$ 只要 $1 - G$ 是一个 CDF： $G$ 单调不增、右连续、 $t \to - \infty$ 时 $\to 1 、$ $t \to \infty$ 时 $\to 0 。$ 然后由逆变换法（第 14 页）就能造出这样的 $V 。$

课件原文逐句精读

课件原文Faster tail decay alone need not give a finite moment

Counterexample 29 (The logarithmic boundary case) Fix $p > 0$ . Define a law by its tail

P (V_{p} > t) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, \frac{e ^{p}}{t ^{p} lo g t}, t < e, t \geq e .

中文翻译

蓝条标题：仅仅尾部衰减得更快，不足以保证矩有限。

反例 29（对数边界情形） 固定 $p > 0 。$ 用尾概率来定义一个分布： $t < e$ 时 $P (V_{p} > t) = 1 ；$ $t \geq e$ 时 $P (V_{p} > t) = \frac{e ^{p}}{t ^{p} lo g t} 。$

（后面的验证课件留白，见下一节。）

Define a law by its tail：不说 $V_{p}$ 是什么函数，直接规定它的尾概率。由第 8 页，尾概率（等价地 CDF）决定整个分布。
分段的含义： $t < e$ 时尾概率为 1，说明 $V_{p} \geq e$ 几乎必然； $t \geq e$ 后按公式衰减。
$e^{p}$ 这个常数是为了让两段在 $t = e$ 处接上： $\frac{e ^{p}}{e ^{p} l o g e} = 1 。$

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

例子反例 29（对数边界情形）：完整结论

上述函数是一个合法的尾函数，所以存在随机变量 $V_{p}$ 以它为尾概率。
$t^{p} P (V_{p} > t) = \frac{e ^{p}}{lo g t} \to 0 ：$ 满足第 30 页命题 28 的必要条件。
但 $E V_{p}^{p} = + \infty 。$
对每个 $0 < q < p ，$ $E V_{p}^{q} < \infty ：$ 所有低于 $p$ 的矩都有限，恰好在 $p$ 处失效。

推导证明思路

第 1 条逐项检查尾函数的条件；第 2 条直接代入；第 3、4 条都用矩–尾恒等式，把矩化成关于尾概率的积分，再用「先补基础」里的两个积分判断收敛或发散。

第 1 步（合法的尾函数）：记 $G (t)$ 为题中函数。

$t < e$ 时 $G = 1 。$ $t \geq e$ 时 $G (t) = \frac{e ^{p}}{t ^{p} l o g t} ，$ 分母 $t^{p} lo g t$ 是两个正的递增函数之积，递增，所以 $G$ 递减。
在 $t = e$ 处 $G (e) = \frac{e ^{p}}{e ^{p} \cdot 1} = 1 ，$ 与左边接上， $G$ 连续（当然右连续）。
$t \to \infty$ 时 $G (t) \to 0 ；$ $t \to - \infty$ 时 $G = 1 。$
所以 $1 - G$ 是一个 CDF，由逆变换法存在 $V_{p}$ 使 $P (V_{p} > t) = G (t) ；$ 并且 $V_{p} \geq e$ 几乎必然。

第 2 步（满足必要条件）： $t \geq e$ 时 $t^{p} P (V_{p} > t) = t^{p} \cdot \frac{e ^{p}}{t ^{p} l o g t} = \frac{e ^{p}}{l o g t} \to 0 。$

第 3 步（ $p$ 阶矩无穷）： $V_{p} \geq 0 ，$ 由矩–尾恒等式（第 21 页），

E V_{p}^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (V_{p} > t) d t \geq \int_{e}^{\infty} p t^{p - 1} \cdot \frac{e ^{p}}{t ^{p} lo g t} d t = p e^{p} \int_{e}^{\infty} \frac{d t}{t lo g t} = + \infty.

（只保留 $t \geq e$ 那一段，被积函数非负，所以是 $\geq 。）$

第 4 步（低阶矩有限）： $0 < q < p$ 时

E V_{p}^{q} = \int_{0}^{e} q t^{q - 1} d t + \int_{e}^{\infty} q t^{q - 1} \frac{e ^{p}}{t ^{p} lo g t} d t \leq e^{q} + q e^{p} \int_{e}^{\infty} t^{- (1 + p - q)} d t < \infty,

因为 $t \geq e$ 时 $lo g t \geq 1 ，$ 并且指数 $1 + (p - q) > 1 ，$ 积分收敛（第 16 页的「先补基础」）。 $■$

例子

例 1：取

p = 1 ，

看一个没有均值的随机变量

$V_{1} ：$ $P (V_{1} > t) = \frac{e}{t l o g t}$ （ $t \geq e ），$ 于是 $t \cdot P (V_{1} > t) = \frac{e}{l o g t} 。$

$t$	$P (V_{1} > t)$	$t \cdot P (V_{1} > t) = e / lo g t$
$100$	$\approx 5.9 \times 1 0^{- 3}$	$\approx 0.59$
$1 0^{6}$	$\approx 2.0 \times 1 0^{- 7}$	$\approx 0.197$
$1 0^{100}$	$\approx 1.2 \times 1 0^{- 102}$	$\approx 0.0118$

最后一列确实趋于 0，但慢得惊人： $t$ 从 $100$ 涨到 $1 0^{100} ，$ 它才缩小 50 倍。
而 $E V_{1} = \int_{0}^{\infty} P (V_{1} > t) d t = e + \int_{e}^{\infty} \frac{e}{t l o g t} d t = \infty ：$ 这个随机变量没有均值。
直观理解：把横轴切成 $[e, e^{e}] 、$ $[e^{e}, e^{e^{2}}] 、$ $[e^{e^{2}}, e^{e^{3}}] \dots\dots$ 因为 $\int \frac{e d t}{t l o g t} = e lo g lo g t ，$ 尾概率曲线（第 12 页）在每一段下的面积都恰好是 $e 。$ 段越来越长、曲线越来越低，但无穷多个 $e$ 加起来还是无穷。

例 2：对比 Pareto——边界的两侧

尾概率（ $t$ 大时）	$t^{p} P (\cdot > t)$	$p$ 阶矩
$t^{- p}$ （Pareto， $α = p ）$	$= 1 ，$ 不趋于 0	$\infty$
$\frac{1}{t ^{p} lo g t}$ （本页）	$\to 0$	$\infty$
$\frac{1}{t ^{p} ( lo g t ) ^{2}}$	$\to 0$	有限（ $\int_{e}^{\infty} \frac{d t}{t ( l o g t ) ^{2}} = 1 ）$
$t^{- p - 0.1}$	$\to 0$	有限

第三行说明：只要多一个 $lo g t$ 因子，积分就收敛了。所以本页的例子恰好卡在「有限」和「无限」的分界线上。

拓展延伸

V₁ 的独立复制：弱大数定律成立，强大数定律失败

取 $p = 1 ，$ 设 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 是 $V_{1}$ 的独立复制， $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} 。$ 这个看似人工的例子，正好把作业里的几个结论串在一起：

强大数定律失败： $\sum_{n} P (X_{n} > n) = \sum_{n \geq 3} \frac{e}{n l o g n} = \infty$ （与 $\int \frac{d t}{t l o g t} = \infty$ 同理，也与第 3 讲第 12 页的尾积分判别 $E V_{1} = \infty$ 一致）。由第二 Borel–Cantelli 引理， $X_{n} > n$ 无穷多次发生；作业 1 第 3 题由此推出 $\frac{S _{n}}{n}$ 几乎必然没有有限极限。
弱大数定律的一种形式仍成立： $t P (V_{1} > t) \to 0$ 正是上一页「拓展延伸」中所说的条件，所以 $\frac{S _{n}}{n} - μ_{n} \to 0$ 依概率，其中截断均值 $μ_{n} = E [V_{1}; V_{1} \leq n] = e + e lo g lo g n - \frac{e}{l o g n} 。$ 它增长得极慢： $n = 1 0^{3}, 1 0^{6}, 1 0^{12}$ 时约为 $7.58 、$ $9.66 、$ $11.64 。$
几乎必然的增长速度：作业 2 第 5 题的判据说， $lim sup \frac{S _{n}}{a _{n}}$ 是 0 还是 $\infty ，$ 取决于 $\sum P (X_{1} \geq a_{n})$ 是否有限。取 $a_{n} = n lo g n ，$ $P (X_{1} \geq a_{n}) \approx \frac{e}{n ( l o g n ) ^{2}} ，$ 和有限，所以 $\frac{S _{n}}{n l o g n} \to 0$ 几乎必然；取 $a_{n} = n lo g lo g n ，$ $P (X_{1} \geq a_{n}) \approx \frac{e}{n l o g n l o g l o g n} ，$ 和发散，所以 $lim sup \frac{S _{n}}{n l o g l o g n} = \infty$ 几乎必然——尽管依概率 $\frac{S _{n}}{n l o g l o g n} \to e 。$

常见疑问与易错点

易错点问：那到底怎样的尾巴才能保证 p 阶矩有限？

答：充要条件就是矩–尾恒等式本身： $E X^{p} < \infty ⟺ \int_{0}^{\infty} t^{p - 1} P (X > t) d t < \infty 。$ 像「 $t^{p} P (X > t) \to 0 」$ 这样只看尾概率大小的条件不够精确；一个够用的充分条件是 $P (X > t) \leq C t^{- p - a}$ （对某个 $a > 0 ）。$

易错点问：为什么要专门构造这种「卡在边界上」的例子？

答：数学里判断一个定理「还能不能再加强」，最有效的办法之一，就是去找恰好卡在边界上的例子。这个例子一次说明了两件事：命题 28 的必要条件不能升级成充要条件；尾巴从 $t^{- p}$ 变成 $\frac{1}{t ^{p} l o g t}$ 仍然不够，要再多一个 $lo g t$ 因子（例 2 第三行）矩才有限。拓展延伸里还会看到，「均值无穷、尾巴却是 $o (\frac{1}{t}) 」$ 的变量，正是区分弱大数定律与强大数定律的试金石。

易错点问：为什么 ∫ dt/(t log t) 发散，而 ∫ dt/(t (log t)²) 收敛？

答：换元 $u = lo g t$ 后，前者变成 $\int \frac{d u}{u}$ （发散，对数型），后者变成 $\int \frac{d u}{u ^{2}}$ （收敛）。和 $\int \frac{d t}{t}$ 发散、 $\int \frac{d t}{t ^{2}}$ 收敛是同一个道理，只是「慢了一层对数」。

小结与自测

小结本页小结

反例 29： $P (V_{p} > t) = \frac{e ^{p}}{t ^{p} l o g t}$ （ $t \geq e ）$ 是合法尾函数。
$t^{p} P (V_{p} > t) = \frac{e ^{p}}{l o g t} \to 0$ （满足必要条件），但 $E V_{p}^{p} = p e^{p} \int_{e}^{\infty} \frac{d t}{t l o g t} = \infty 。$
低于 $p$ 的矩都有限：这个例子恰好在 $p$ 处卡住。
结论：「尾巴比 $t^{- p}$ 衰减得快」不足以保证 $p$ 阶矩有限；精确的判据是矩–尾积分。

自测

1. 验证 $P (V_{p} > t)$ 在 $t = e$ 处连续，并说明为什么 $V_{p} \geq e$ 几乎必然。

点开看答案

$t = e$ 时公式给出 $\frac{e ^{p}}{e ^{p} l o g e} = 1 ，$ 与 $t < e$ 时的值 1 相同，所以连续。 $P (V_{p} > t) = 1$ 对所有 $t < e$ 成立，令 $t ↑ e$ （从下连续 / 从上连续）， $P (V_{p} \geq e) = 1 。$

2. 判断：若 $t^{2} P (∣ X ∣ > t) \to 0 ，$ 则 $Var X < \infty 。$

点开看答案

错误。取本页的 $V_{2} ：$ $t^{2} P (V_{2} > t) = \frac{e ^{2}}{l o g t} \to 0 ，$ 但 $E V_{2}^{2} = \infty ，$ 方差不存在。

3. 对 $p = 1 ，$ $V_{1}$ 的 $0.5$ 阶矩 $E V_{1}$ 有限吗？

点开看答案

有限。由第 4 步（ $q = 0.5 < p = 1 ），$ $E V_{1}^{1/2} \leq e^{1/2} + \frac{1}{2} e \int_{e}^{\infty} t^{- 1.5} d t < \infty 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
阶矩	moment	E[\|X\|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
逆变换法	inverse transform method	U 服从 (0,1) 上的均匀分布时，Q(U) 的分布函数恰好是 F，用来生成任意分布。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
强大数定律	strong law of large numbers (SLLN)	独立同分布且 E\|X₁\| < ∞ 时，样本均值 Sₙ/n 几乎必然收敛到 E X₁。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
弱大数定律	weak law of large numbers (WLLN)	样本均值依概率收敛到真实均值：对每个 ε > 0，P(\|Sₙ/n − μ\| > ε) → 0。方差有限时可由 Chebyshev 不等式直接推出。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。