13 混合型 CDF：跳跃与区间积分各贡献一部分 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

课件给出一个分段的 CDF：在 0 处跳一下（一半的概率集中在点 0），在 $[1, 2)$ 上均匀地爬坡（另一半概率摊在区间上）。这样的 $X$ 既不是离散的，也没有密度，中学的两套公式都不能直接用。但用第 12 页的定理 11，只看 $F$ 本身就能算出 $E X = \frac{3}{4} ；$ 再用「跳跃 + 区间积分」分开算，答案一致。

位置：第 2 部分「用 CDF 计算期望」的第 6 页，是第 9–12 页那串公式的第一个完整应用。
课件小标题 Calculate from the CDF without assuming a density（不假设密度，直接从 CDF 计算）点明了目的：前面辛苦推出的公式，正是为这种「既有跳跃又有连续部分」的分布准备的。
后面怎么用：下一页第 14 页的逆变换法、第 20 页的「三种质量」分解，都会回到这个例子。本页末尾的演示也用它。

先补基础

基础补课读 CDF 图像的三条规则（回顾第 8 页）

跳跃 = 原子： $P (X = x) = F (x) - F (x -) ，$ 跳多高，那个点就有多少概率。概率为正的单点叫原子（atom）。
平台 = 没有概率： $F$ 在 $(s, t)$ 上不变，则 $P (s < X < t) = F (t -) - F (s) = 0 。$
斜坡 = 概率连续地摊开：若 $F$ 在 $[s, t]$ 上可导且 $F^{'} = f ，$ 则 $P (s < X \leq t) = F (t) - F (s) = \int_{s}^{t} f (x) d x ，$ $f$ 就是这一段的「概率密度」。

基础补课狄拉克测度与「混合」

狄拉克测度（Dirac measure） $δ_{c} ：$ 把全部质量 1 放在点 $c$ 上， $δ_{c} (B) = 1$ （若 $c \in B ），$ $= 0$ （若 $c \in / B ）。$ 常数随机变量 $X \equiv c$ 的分布就是 $δ_{c} 。$
混合（mixture）：两个概率测度 $μ_{1}, μ_{2}$ 按权重 $w$ 和 $1 - w$ 相加， $μ = w μ_{1} + (1 - w) μ_{2} ，$ 仍是概率测度。可以把它想成「先抛一枚正面概率为 $w$ 的硬币：正面就按 $μ_{1}$ 抽，反面就按 $μ_{2}$ 抽」。
混合的 CDF 也是相应的加权和： $F_{μ} = w F_{μ_{1}} + (1 - w) F_{μ_{2}} ，$ 因为 $μ ((- \infty, x]) = w μ_{1} ((- \infty, x]) + (1 - w) μ_{2} ((- \infty, x]) 。$

基础补课本页要用的三个公式

定理 11（第 12 页）： $X \geq 0$ 时 $E X = \int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x 。$
定理 9（第 10 页）： $g \in C^{1} ([a, b])$ 时 $E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}] = g (b) F (b) - g (a) F (a) - \int_{a}^{b} g^{'} F d x 。$
矩–尾恒等式（第 21 页， $p = 2 ）：$ $X \geq 0$ 时 $E X^{2} = \int_{0}^{\infty} 2 t P (X > t) d t 。$

课件原文逐句精读

课件原文A mixed CDF contributes both a jump and an interval integral

Example 12 (Calculate from the CDF without assuming a density) Suppose the input is

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2}, x /2, 1, x < 0, 0 \leq x < 1, 1 \leq x < 2, x \geq 2.

中文翻译

蓝条标题：混合型 CDF 既贡献一个跳跃，也贡献一个区间上的积分。

例 12（不假设密度，直接从 CDF 计算） 设输入是上面这个 $F 。$ （后面的计算课件留白，见下一节。）

① Suppose the input is F｜「输入」只有 CDF

input（输入）：把定理 11 想成一台机器，输入一个 CDF，输出均值。我们手上只有 $F ，$ 不知道 $X$ 定义在哪个 $Ω$ 上，也不知道它是怎么来的。由第 8 页的定理 C， $F$ 已经决定了整个分布，所以这些信息就够了。
这个 $F$ 分四段。逐段看：
1. $x < 0 ：$ $F = 0 ，$ $X$ 不会取负值；
2. $0 \leq x < 1 ：$ $F = \frac{1}{2} ，$ 是一个平台；从 $0 -$ 的 0 跳到 $0$ 处的 $\frac{1}{2} ，$ 是一个跳跃；
3. $1 \leq x < 2 ：$ $F = \frac{x}{2} ，$ 从 $\frac{1}{2}$ 线性地爬到（接近）1，是一个斜坡，斜率 $\frac{1}{2} ；$
4. $x \geq 2 ：$ $F = 1 ，$ 所有概率都已用完。

② Calculate from the CDF without assuming a density｜为什么强调「不假设密度」

若 $X$ 有密度 $f ，$ 每个单点的概率都是 $\int_{{c}} f d x = 0$ （单点的长度为 0）。可是这里 $P (X = 0) = \frac{1}{2} > 0 ，$ 所以 $X$ 没有密度，「 $E X = \int x f (x) d x 」$ 用不上。
$X$ 也不是离散的： $[1, 2)$ 上的每个单点概率都是 0，概率是连续地摊开的，「 $\sum x_{k} p_{k} 」$ 也用不上。
定理 11 只要 $F ，$ 不管有没有密度、是不是离散，所以能直接算。

③ contributes both a jump and an interval integral｜标题：两种贡献

均值由两部分组成：点 0 处的跳跃贡献「 $0 \times \frac{1}{2} 」，$ $[1, 2)$ 上的斜坡贡献一个区间积分。下面会看到，两部分加起来恰好等于定理 11 给出的「尾部面积」。

人话版一个现实中的模型：保险理赔

某份保险一年内出险的概率是 $\frac{1}{2} 。$ 不出险时理赔额 $X = 0 ；$ 出险时理赔额在 1 到 2（万元）之间，哪个数都同样可能。那么 $X$ 的 CDF 正是课件的 $F ：$ $P (X \leq x)$ 在 $0 \leq x < 1$ 时等于「不出险」的概率 $\frac{1}{2} ；$ 在 $1 \leq x < 2$ 时等于 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (x - 1) = \frac{x}{2} 。$ 现实中这类数据很常见：大量的 0 加上一段连续的正数（理赔额、降雨量、每天的消费额……），它们都是混合型分布，中学的「离散 / 连续」二分法装不下。平均理赔额 $\frac{3}{4}$ 万元，也可以直观地理解为「一半的年份赔 0，另一半的年份平均赔 1.5」。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

例 12（不假设密度，直接从 CDF 计算）：完整结论

对课件给出的 $F ：$

$F$ 是一个合法的 CDF。
分布的结构： $P (X = 0) = \frac{1}{2} ；$ $P (0 < X < 1) = 0 ；$ 对 $1 \leq s < t \leq 2$ 有 $P (s < X \leq t) = \frac{t - s}{2} ；$ $X$ 没有其他原子。也就是 $L (X) = \frac{1}{2} δ_{0} + \frac{1}{2} Unif (1, 2), P (X \in B) = \frac{1}{2} 1_{B} (0) + \int_{B \cap [1, 2]} \frac{1}{2} d x .$
均值： $E X = \frac{3}{4} 。$ 用定理 11（尾部面积）和「跳跃 + 区间积分」两种方法得到同一个值。
二阶矩与方差（补充）： $E X^{2} = \frac{7}{6} ，$ $Var X = \frac{29}{48} 。$

推导计算思路

先逐段检查 $F$ 合法，并用第 8 页命题 B 读出每个点、每段区间的概率。求均值时，方法一完全不看分布结构，直接对 $1 - F$ 分段积分；方法二先把分布拆成「原子 + 斜坡」，各算各的再相加。两条路独立，结果相同，互相验证。

第 1 步： $F$ 是 CDF。

单调不减：每段内部， $0 、$ $\frac{1}{2} 、$ $1$ 是常数， $\frac{x}{2}$ 递增；段与段的交界处 $F (0 -) = 0 \leq F (0) = \frac{1}{2} ，$ $F (1 -) = \frac{1}{2} \leq F (1) = \frac{1}{2} ，$ $F (2 -) = lim_{x ↑ 2} \frac{x}{2} = 1 \leq F (2) = 1 。$
右连续：每段都写成「左闭右开」，交界点 $0, 1, 2$ 都归属右边那一段，所以从右边靠近时 $F$ 的值接得上；段内部是连续函数。
两端极限： $x < 0$ 时为 0， $x \geq 2$ 时为 1。

第 2 步：读出分布。 用 $P (X = x) = F (x) - F (x -) ：$

点 0： $F (0) - F (0 -) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} ，$ 原子，质量 $\frac{1}{2}$ 。
点 1： $F (1) - F (1 -) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 ，$ 没有跳跃。注意 $F$ 在 1 处的公式从 $\frac{1}{2}$ 换成了 $\frac{x}{2} ，$ 但 $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} ，$ 两段接得上。
点 2： $F (2) - F (2 -) = 1 - 1 = 0 ，$ 也没有跳跃。
其他点： $F$ 在那里连续，没有原子。
平台 $(0, 1) ：$ $P (0 < X < 1) = F (1 -) - F (0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 。$
斜坡 $[1, 2] ：$ 对 $1 \leq s < t \leq 2 ，$ $P (s < X \leq t) = F (t) - F (s) = \frac{t}{2} - \frac{s}{2} = \frac{t - s}{2}$ （ $t = 2$ 时用 $F (2) = 1 = \frac{2}{2} ）。$ 这正是「质量 $\frac{1}{2}$ 均匀摊在长度为 1 的区间上」，密度 $\frac{1}{2} 。$
总质量核对： $\frac{1}{2} + P (1 < X \leq 2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 。$

为什么分布就是 $\frac{1}{2} δ_{0} + \frac{1}{2} Unif (1, 2)$ ：这个混合的 CDF 是 $\frac{1}{2} 1_{{x \geq 0}} + \frac{1}{2} G (x) ，$ 其中 $G$ 是 $Unif (1, 2)$ 的 CDF（ $x < 1$ 时 0， $1 \leq x < 2$ 时 $x - 1 ，$ $x \geq 2$ 时 1）。逐段代入： $x < 0$ 时 $0 ；$ $0 \leq x < 1$ 时 $\frac{1}{2} ；$ $1 \leq x < 2$ 时 $\frac{1}{2} + \frac{x - 1}{2} = \frac{x}{2} ；$ $x \geq 2$ 时 $1 。$ 与课件的 $F$ 完全相同。由第 8 页定理 C（CDF 决定分布），二者是同一个分布。

第 3 步：方法一——尾部面积（定理 11）。 $x < 0$ 时 $F = 0 ，$ 所以 $X \geq 0 ，$ $E X = \int_{0}^{\infty} (1 - F) d x 。$ 分段：

$[0, 1)$ 上 $1 - F = \frac{1}{2} ，$ 面积 $\frac{1}{2} ；$
$[1, 2)$ 上 $1 - F = 1 - \frac{x}{2} ，$ 面积 $\int_{1}^{2} (1 - \frac{x}{2}) d x = [x - \frac{x ^{2}}{4}]_{1}^{2} = (2 - 1) - (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} ；$
$[2, \infty)$ 上 $1 - F = 0 ，$ 面积 0。

E X = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 0 = \frac{3}{4} .

第 4 步：方法二——跳跃 + 区间积分。 按第 2 步的结构， $X$ 以概率 $\frac{1}{2}$ 等于 0，以概率 $\frac{1}{2}$ 落在 $[1, 2]$ 上（密度 $\frac{1}{2} ）。$ 把 $Ω$ 分成 ${X = 0}$ 和 ${X \neq = 0}$ 两块，期望可加：

E X = 跳跃的贡献 0 \times P (X = 0) + 区间积分的贡献 \int_{1}^{2} x \cdot \frac{1}{2} d x = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 ^{2} - 1 ^{2}}{2} = \frac{3}{4} .

这一步的依据：由 LOTUS（第 7 页定理 5）， $E X = \int_{R} x d μ_{X} (x) ，$ 而 $μ_{X} = \frac{1}{2} δ_{0} + ν ，$ 其中 $ν (B) = \int_{B \cap [1, 2]} \frac{1}{2} d x 。$ 对两个测度之和积分，等于分别积分再相加：对示性函数 $1_{B}$ 这就是测度相加的定义，再按「简单函数 → 单调收敛定理」推广到非负可测函数，与第 7 页推论的四步论证相同。对 $\frac{1}{2} δ_{0}$ 积分得 $\frac{1}{2} \times 0 ；$ $ν$ 有密度 $\frac{1}{2} 1_{[1, 2]} ，$ 由第 7 页推论，对它积分得 $\int_{1}^{2} x \cdot \frac{1}{2} d x 。$

两种方法都得 $\frac{3}{4} 。$ 方法一完全没有用到「哪里有原子、哪里有密度」，这就是课件小标题 without assuming a density 的意思。

第 5 步（补充）：二阶矩，三种方法。

跳跃 + 区间积分： $E X^{2} = 0^{2} \times \frac{1}{2} + \int_{1}^{2} x^{2} \cdot \frac{1}{2} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{6} 。$
矩–尾恒等式（第 21 页， $p = 2 ）：$ $E X^{2} = \int_{0}^{1} 2 t \cdot \frac{1}{2} d t + \int_{1}^{2} 2 t (1 - \frac{t}{2}) d t = \frac{1}{2} + [t^{2} - \frac{t ^{3}}{3}]_{1}^{2} = \frac{1}{2} + (\frac{4}{3} - \frac{2}{3}) = \frac{7}{6} .$
定理 9（第 10 页， $g (x) = x^{2} ，$ $[a, b] = [- 1, 2] ）：$ $X$ 的值全在 $(- 1, 2]$ 里，所以左边就是 $E X^{2} ；$ 右边 $4 \cdot F (2) - 1 \cdot F (- 1) - \int_{- 1}^{2} 2 x F (x) d x = 4 - 0 - (\int_{0}^{1} 2 x \cdot \frac{1}{2} d x + \int_{1}^{2} 2 x \cdot \frac{x}{2} d x) = 4 - \frac{1}{2} - \frac{7}{3} = \frac{7}{6} .$

方差 $Var X = E X^{2} - (E X)^{2} = \frac{7}{6} - \frac{9}{16} = \frac{56 - 27}{48} = \frac{29}{48} 。$

图解

图解：一个跳跃、一个平台、一个斜坡

课件只印了公式，没有图。可以这样画 $F ：$

横轴标出 $0, 1, 2 ，$ 纵轴标出 $\frac{1}{2}$ 和 $1 。$
$x < 0 ：$ 沿横轴画一条线，高度 0；在 $x = 0$ 处画一个空心点 $(0, 0) 。$
$x = 0$ 处竖直跳到 $\frac{1}{2} ，$ 画一个实心点 $(0, \frac{1}{2})$ （右连续： $F (0) = \frac{1}{2} ）。$ 跳跃高度 $\frac{1}{2}$ 就是原子 $P (X = 0) 。$
$[0, 1) ：$ 高度 $\frac{1}{2}$ 的平台，表示 $(0, 1)$ 里没有概率。
$[1, 2] ：$ 从 $(1, \frac{1}{2})$ 到 $(2, 1)$ 的一条斜线，斜率 $\frac{1}{2} ，$ 表示这一段每单位长度摊着 $\frac{1}{2}$ 的概率。在 $x = 1$ 处平台和斜线接得上，不跳。
$x \geq 2 ：$ 高度 1 的水平线。

按第 12 页的方式涂色： $F$ 上方、 $y = 1$ 下方、 $x \geq 0$ 的区域由两块组成—— $[0, 1]$ 上一个 $1 \times \frac{1}{2}$ 的长方形（面积 $\frac{1}{2} ），$ $[1, 2]$ 上一个三角形（顶点 $(1, \frac{1}{2}) 、$ $(1, 1) 、$ $(2, 1) ，$ 面积 $\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ）。$ 合计 $\frac{3}{4} ，$ 就是均值。不必算积分，数格子就够了。

动手试一试逆变换：从均匀数 u 读出这个混合分布

选「混合型」。把 $u$ 从 0.01 拖到 0.5，落点始终是 0（跳跃处的竖直缺口把它们都送到原子 0）； $u$ 超过 0.5 后，落点直接越过平台 $(0, 1) ，$ 变成 $2 u ，$ 在 $[1, 2]$ 上均匀移动。一半的 $u$ 落到原子上，另一半摊在斜坡上，没有一个落在平台里，这正是第 2 步读出的结构。

演示里的落点公式是 $Q (u) = 0$ （ $u \leq \frac{1}{2} ）、$ $Q (u) = 2 u$ （ $u > \frac{1}{2} ），$ 这是下一页第 14 页要定义的「广义分位数」。用它还能第三次核对均值： $E X = \int_{0}^{1} Q (u) d u = \int_{1/2}^{1} 2 u d u = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} 。$

例子

例 1：原子在右端——min(U, 1/2)

$U \sim Unif (0, 1) ，$ $Y = min (U, \frac{1}{2}) 。$ $U \geq \frac{1}{2}$ 的概率是 $\frac{1}{2} ，$ 这时 $Y = \frac{1}{2} ；$ 否则 $Y = U 。$ 所以

F_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, y, 1, y < 0, 0 \leq y < \frac{1}{2}, y \geq \frac{1}{2} .

结构： $[0, \frac{1}{2})$ 上密度 1（质量 $\frac{1}{2} ），$ $\frac{1}{2}$ 处跳 $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ （原子）。

尾部面积： $E Y = \int_{0}^{1/2} (1 - y) d y = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} 。$
跳跃 + 区间积分： $E Y = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \int_{0}^{1/2} y \cdot 1 d y = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} 。$

一致。与例 12 不同，这里原子在 $\frac{1}{2}$ 而不在 0，它对均值有实实在在的贡献 $\frac{1}{4}$ 。

例 2：负值也有的混合型

$Z$ 以概率 $\frac{1}{3}$ 等于 $- 1 ，$ 以概率 $\frac{2}{3}$ 均匀分布在 $[0, 3]$ （密度 $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} ）。$ CDF： $x < - 1$ 时 0； $- 1 \leq x < 0$ 时 $\frac{1}{3} ；$ $0 \leq x < 3$ 时 $\frac{1}{3} + \frac{2 x}{9} ；$ $x \geq 3$ 时 1。

定理 11：右边一块 $\int_{0}^{3} (\frac{2}{3} - \frac{2 x}{9}) d x = 2 - \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2} = 1 ；$ 左边一块 $\int_{- 1}^{0} \frac{1}{3} d x = \frac{1}{3} 。$ $E Z = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} 。$
跳跃 + 区间积分： $(- 1) \times \frac{1}{3} + \int_{0}^{3} x \cdot \frac{2}{9} d x = - \frac{1}{3} + \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2} = - \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} 。$

一致。左边一块面积 $\frac{1}{3}$ 恰好是 $E Z^{-} = 1 \times \frac{1}{3} 。$

常见疑问与易错点

易错点问：把 F 求导再算 ∫x F′(x)dx 行不行？

答：不行，会漏掉原子。例 12 中 $F^{'}$ 在 $(1, 2)$ 上是 $\frac{1}{2} ，$ 其余地方（除了 $0, 1, 2$ 三点）是 0， $\int x F^{'} d x = \frac{3}{4}$ 碰巧对了，只因为原子在 0，贡献 $0 \times \frac{1}{2} = 0 。$ 换成例 1： $F_{Y}^{'} = 1$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上， $\int y F_{Y}^{'} d y = \frac{1}{8} ，$ 比正确答案 $\frac{3}{8}$ 少了原子的贡献 $\frac{1}{4} 。$ 检查方法： $\int F^{'} d x$ 应当等于 1；例 12 里它只有 $\frac{1}{2} ，$ 说明还有一半质量不在密度里。

易错点问：F 在 x = 1 处换了公式，是不是有跳跃？

答：不一定。跳跃只看 $F (1) - F (1 -)$ 是否大于 0，与公式写法无关。这里 $F (1 -) = \frac{1}{2}$ （平台的值）， $F (1) = \frac{1}{2}$ （ $\frac{x}{2}$ 在 1 处的值），所以不跳， $P (X = 1) = 0 。$ 看分段函数时，要在每个分段点算一下左右两边的值。

易错点问：方法一用的是 1 − F 的积分，跳跃藏在哪里？

答：藏在平台的高度里。 $[0, 1)$ 上 $1 - F = \frac{1}{2} ，$ 而不是 1，正是因为点 0 已经吸收了一半的概率。原子让 $F$ 整体抬高， $1 - F$ 就整体降低，尾部面积相应变小。所以不用单独找跳跃，公式会自动把它算进去。

小结与自测

小结本页小结

例 12 的 $F ：$ 0 处跳 $\frac{1}{2}$ （原子）， $(0, 1)$ 是平台（没有概率）， $[1, 2]$ 上斜率 $\frac{1}{2}$ （密度 $\frac{1}{2} ）；$ 分布是 $\frac{1}{2} δ_{0} + \frac{1}{2} Unif (1, 2) 。$
它既不离散也没有密度，但定理 11 照样能算： $E X = \int_{0}^{\infty} (1 - F) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} 。$
「跳跃 + 区间积分」： $0 \times \frac{1}{2} + \int_{1}^{2} x \cdot \frac{1}{2} d x = \frac{3}{4} ，$ 两种方法互验； $E X^{2} = \frac{7}{6} ，$ $Var X = \frac{29}{48} 。$
只对 $F^{'}$ 积分会漏掉原子；用 $\int F^{'} = 1$ 是否成立来检查有没有漏。

自测

1. 对例 12 的 $F ，$ 求 $P (X \leq 1.5) 、$ $P (X > 1.5) 、$ $P (0 < X \leq 1) 、$ $P (X = 2) 。$

点开看答案

$P (X \leq 1.5) = F (1.5) = 0.75 ；$ $P (X > 1.5) = 1 - 0.75 = 0.25 ；$ $P (0 < X \leq 1) = F (1) - F (0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 ；$ $P (X = 2) = F (2) - F (2 -) = 1 - 1 = 0 。$

2. 用第 11 页的推论 10 求例 12 中 $E max (X, 1) 。$ （提示： $X \leq 2 ，$ 所以 $max (X, 1) = X^{(1, 2)} 。）$

点开看答案

$E X^{(1, 2)} = 2 - \int_{1}^{2} F d x = 2 - \int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} 。$ 直接验证： $X = 0$ （概率 $\frac{1}{2} ）$ 时 $max (X, 1) = 1 ；$ 否则 $X$ 在 $[1, 2]$ 上均匀，平均 $\frac{3}{2} 。$ 所以 $\frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{4} 。$

3. 判断：「 $X$ 没有密度，所以 $E X$ 不能用积分计算。」

点开看答案

错。没有密度只说明不能用 $\int x f (x) d x ；$ 但定理 11 的 $\int_{0}^{\infty} (1 - F) d x$ 是对尾函数的普通积分，对任何分布都能用，例 12 就是这样算出 $\frac{3}{4}$ 的。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
逆变换法	inverse transform method	U 服从 (0,1) 上的均匀分布时，Q(U) 的分布函数恰好是 F，用来生成任意分布。
概率密度	density	满足 P(X ∈ B) = ∫_B f(x) dx 的函数 f；有密度等价于 CDF 绝对连续。
点质量	point mass (Dirac measure)	把全部质量 1 放在一个点上：δ₀(E) = 1 当且仅当 0 ∈ E。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
阶矩	moment	E[\|X\|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
无意识统计学家定律	law of the unconscious statistician (LOTUS)	求 g(X) 的期望，不必先求出 g(X) 的分布，直接把 g 对 X 的分布 𝓛(X) 积分；X 有密度 f 时就是 E g(X) = ∫ g(x) f(x) dx。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
分位数	quantile	Q(u) = inf{x : F(x) ≥ u}，是 CDF 的「广义反函数」。