30 有一个有限矩，尾巴就衰减得更快 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

如果 $E ∣ X ∣^{p} < \infty ，$ 那么尾概率 $P (∣ X ∣ > t)$ 不仅不超过 $E ∣ X ∣^{p} / t^{p}$ （这是 Markov），而且比 $t^{- p}$ 衰减得还快： $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \to 0 。$

位置：第 5 部分第三页。上一页（第 29 页）的 $p$ 阶矩版 Markov 给出 $P (∣ X ∣ > t) \leq E ∣ X ∣^{p} / t^{p} ，$ 即「 $t^{p} P (∣ X ∣ > t)$ 有界」。这一页改进成「 $t^{p} P (∣ X ∣ > t)$ 趋于 0」。
为什么值得一页：它给出一个必要条件：要想 $E ∣ X ∣^{p} < \infty ，$ 尾巴必须比 $t^{- p}$ 衰减得更快。用它可以快速判断某些矩不存在（例 2）。
反方向不成立：下一页（第 31 页）会给出一个尾巴比 $t^{- p}$ 衰减得快、 $p$ 阶矩却仍然无穷的反例。

先补基础

基础补课「趋于 0」比「有界」更强

$t^{p} P (∣ X ∣ > t) \leq C$ （有界）：尾概率最多像 $C / t^{p}$ 那样衰减，记作 $O (t^{- p}) 。$
$t^{p} P (∣ X ∣ > t) \to 0 ：$ 尾概率比 $t^{- p}$ 还小一截，记作 $o (t^{- p})$ （「小 o」）。
例： $t^{- 3}$ 是 $o (t^{- 2}) ，$ 因为 $t^{2} \cdot t^{- 3} = 1/ t \to 0 ；$ 而 $t^{- 2}$ 是 $O (t^{- 2})$ 但不是 $o (t^{- 2}) 。$

基础补课控制收敛定理（回顾第 44 页）

若 $Y_{n} \to Y$ 几乎处处， $∣ Y_{n} ∣ \leq Z ，$ $E Z < \infty ，$ 则 $E Y_{n} \to E Y 。$ 参数是连续变量 $t \to \infty$ 时，对任意一列 $t_{n} \to \infty$ 用 DCT 即可（极限对每一列都一样，就是连续意义下的极限）。

课件原文逐句精读

课件原文Finite moments

Proposition 28 (Tail decay for one integrable moment) If $X \in L^{p}$ for some $p > 0$ , then（留白）

中文翻译

蓝条标题：有限矩。

命题 28（一个可积矩带来的尾部衰减） 若对某个 $p > 0$ 有 $X \in L^{p} ，$ 则（课件留白，见下一节。）

one integrable moment：只需要一个矩（某个 $p ）$ 有限，不需要所有矩。
$X \in L^{p}$ 就是 $E ∣ X ∣^{p} < \infty$ （第 22 页）。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

命题 28（一个可积矩带来的尾部衰减）

若 $X \in L^{p}$ （ $p > 0 ），$ 则

t^{p} P (∣ X ∣ > t) \leq E [∣ X ∣^{p} 1_{{∣ X ∣ > t}}] t \to \infty 0.

特别地， $P (∣ X ∣ > t) = o (t^{- p}) 。$

推导证明思路

在事件 ${∣ X ∣ > t}$ 上， $t < ∣ X ∣ ，$ 所以 $t^{p} \leq ∣ X ∣^{p}$ ——但这次不扔掉事件，保留示性函数，得到一个比 Markov 更细的界。然后用 DCT 说明它趋于 0。

第 1 步（逐点不等式）：在 ${∣ X ∣ > t}$ 上， $t^{p} < ∣ X ∣^{p} ；$ 在事件外两边都是 0。所以

t^{p} 1_{{∣ X ∣ > t}} \leq ∣ X ∣^{p} 1_{{∣ X ∣ > t}} .

第 2 步（取期望）： $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \leq E [∣ X ∣^{p} 1_{{∣ X ∣ > t}}] 。$

第 3 步（右边趋于 0，用 DCT）：令 $Y_{t} = ∣ X ∣^{p} 1_{{∣ X ∣ > t}} 。$

逐点极限： $E ∣ X ∣^{p} < \infty$ 推出 $∣ X ∣ < \infty$ 几乎必然（否则在正概率事件上 $∣ X ∣^{p} = \infty ，$ 期望也是 $\infty ）。$ 对这样的 $ω ，$ 只要 $t > ∣ X (ω) ∣ ，$ 就有 $Y_{t} (ω) = 0 。$ 所以 $Y_{t} \to 0$ 几乎必然。
控制： $0 \leq Y_{t} \leq ∣ X ∣^{p} ，$ 且 $E ∣ X ∣^{p} < \infty 。$

DCT ⇒ $E Y_{t} \to 0 。$ 所以 $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \to 0 。$ $■$

人话版和 Markov 的区别在哪里

Markov： $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \leq E ∣ X ∣^{p}$ ——把整个期望都拿来当上界。本命题： $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \leq E [∣ X ∣^{p}; ∣ X ∣ > t]$ ——只用尾部那一块期望。 $t$ 越大，尾部那一块越小（被「挤」到 0），所以得到的不仅是有界，而且趋于 0。

图解

图解：被挤到 0 的「尾部面积」

以 $p = 1 、$ $X \geq 0$ 为例。由第 12 页， $E X = \int_{0}^{\infty} P (X > s) d s$ 是尾概率曲线下的总面积，它有限。

把横轴在 $t$ 处切一刀， $t$ 右边的那块面积 $\int_{t}^{\infty} P (X > s) d s$ 是一个有限积分的「尾巴」，所以 $t \to \infty$ 时它趋于 0。
同时， $E [X 1_{{X > t}}] = t P (X > t) + \int_{t}^{\infty} P (X > s) d s$ （把 $X 1_{{X > t}}$ 的尾概率曲线画出来就能看出：它在 $[0, t)$ 上是常数 $P (X > t) ，$ 在 $[t, \infty)$ 上和原曲线一样）。
所以 $t P (X > t) \leq E [X 1_{{X > t}}] ，$ 右边是「尾部的期望」，随 $t$ 增大被挤向 0。

直观地说：面积有限的曲线，尾巴不能太「胖」。如果 $P (X > t)$ 一直像 $c / t$ 那么大，曲线下面积就是 $\int c / t d t = \infty ，$ 与 $E X < \infty$ 矛盾。

例子

例 0：具体算一遍——

P (X > t) = t^{- 3}

（

t \geq 1 ）

这是 $α = 3$ 的 Pareto 分布（第 16 页），密度 $f (x) = 3 x^{- 4}$ （ $x \geq 1 ）。$ 取 $p = 2 ：$

矩有限： $E X^{2} = \int_{1}^{\infty} x^{2} \cdot 3 x^{- 4} d x = 3 \int_{1}^{\infty} x^{- 2} d x = 3 。$
命题中的上界：对 $t \geq 1 ，$ $E [X^{2} 1_{{X > t}}] = \int_{t}^{\infty} x^{2} \cdot 3 x^{- 4} d x = 3 \int_{t}^{\infty} x^{- 2} d x = \frac{3}{t} \to 0.$
左边： $t^{2} P (X > t) = t^{2} \cdot t^{- 3} = \frac{1}{t} \to 0 ，$ 并且确实 $\frac{1}{t} \leq \frac{3}{t} 。$
对比 Markov：Markov 只给出 $t^{2} P (X > t) \leq E X^{2} = 3 ，$ 看不出趋于 0；命题 28 的界 $\frac{3}{t}$ 会随 $t$ 消失。

例 1：指数分布——所有矩都有限，尾巴衰减得极快

$X \sim exp (1) ：$ $P (X > t) = e^{- t} 。$ 对任意 $p > 0 ，$ $t^{p} e^{- t} \to 0$ （指数衰减比任何幂次都快）。和命题 28 一致：所有 $E X^{p}$ 都有限。

例 2：用逆否命题判断矩不存在——Pareto

第 16 页的 Pareto 变量： $P (X_{α} > t) = t^{- α}$ （ $t \geq 1 ）。$

$p < α ：$ $t^{p} \cdot t^{- α} = t^{p - α} \to 0 ，$ 与 $E X_{α}^{p} < \infty$ 一致。
$p = α ：$ $t^{α} \cdot t^{- α} = 1 \neq \to 0 。$ 由命题 28 的逆否命题（若 $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \neq \to 0 ，$ 则 $X \in / L^{p} ），$ $E X_{α}^{α} = \infty 。$ 这与第 16 页直接计算的结果一致，但这里不用算积分。

例 3：标准柯西分布没有均值

柯西分布的尾巴 $P (∣ X ∣ > t) \approx \frac{2}{π t}$ （ $t$ 很大时）。取 $p = 1 ：$ $t \cdot \frac{2}{π t} = \frac{2}{π} \neq \to 0 ，$ 所以 $E ∣ X ∣ = \infty ，$ 柯西分布没有均值。

拓展延伸

「尾部期望趋于 0」以后会反复出现

证明里的关键量 $E [∣ X ∣^{p} 1_{{∣ X ∣ > t}}] \to 0$ （ $p = 1$ 时就是 $E [∣ X ∣; ∣ X ∣ > t] \to 0 ）$ 本身就很有用：

它说的是单个可积变量的「尾巴期望」会变小。要求一族变量的尾巴期望一起变小，就是「一致可积」的定义（小测 2 第 2 题），它是「依概率收敛 ⇒ 期望收敛」的关键条件。
作业 1 第 8 题（小集合上的积分一定小）的第二种证法，用的正是同一个 DCT 论证：先把 $∣ X ∣$ 截成「 $\leq n 」$ 和「 $> n 」$ 两部分，后一部分的积分趋于 0。

p = 1 时：这正是弱大数定律需要的条件

设 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 独立同分布， $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n} 。$ 概率论中有一个经典结论（Durrett《Probability: Theory and Examples》第 2.2 节，这里作为已知结论介绍）：若 $t P (∣ X_{1} ∣ > t) \to 0 ，$ 则 $\frac{S _{n}}{n} - μ_{n} \to 0$ 依概率，其中 $μ_{n} = E [X_{1}; ∣ X_{1} ∣ \leq n] ；$ 反过来，这个条件也是必要的。

$E ∣ X_{1} ∣ < \infty$ 时，由本页命题（ $p = 1 ）$ 条件自动成立，并且 $μ_{n} \to E X_{1} ，$ 于是得到通常的弱大数定律 $\frac{S _{n}}{n} \to E X_{1}$ 依概率。
条件比 $E ∣ X_{1} ∣ < \infty$ 弱。下一页第 31 页的变量（ $p = 1 ）$ 再配上随机的正负号（各以概率 $\frac{1}{2} ），$ 得到对称的 $X ：$ $P (∣ X ∣ > t) = \frac{e}{t l o g t}$ （ $t \geq e ），$ $E ∣ X ∣ = \infty ，$ 但 $t P (∣ X ∣ > t) = \frac{e}{l o g t} \to 0 ，$ 由对称性 $μ_{n} = 0 ，$ 所以 $\frac{S _{n}}{n} \to 0$ 依概率。
然而几乎必然收敛失败： $E ∣ X ∣ = \infty$ 时 $\frac{S _{n}}{n}$ 几乎必然没有有限极限（作业 1 第 3 题）。这是「依概率收敛但不几乎必然收敛」的一个自然例子。

常见疑问与易错点

易错点问：既然 t^p P(|X| > t) → 0 是必要条件，它是不是也是充分条件？

答：不是。下一页（第 31 页）构造了 $P (V_{p} > t) = \frac{e ^{p}}{t ^{p} l o g t} ：$ $t^{p} P (V_{p} > t) = \frac{e ^{p}}{l o g t} \to 0 ，$ 满足必要条件，但 $E V_{p}^{p} = \infty 。$ 对数因子 $lo g t$ 增长得太慢，救不了积分的发散。

易错点问：命题 28 比 Markov 强，那以后只用命题 28 就够了吗？

答：不是，两者各有用处。Markov 给出定量的界：对每一个具体的 $t ，$ 都能算出 $P (∣ X ∣ > t)$ 最多是多少（例 0 中 $t = 10$ 时 $\leq 0.03 ）。$ 命题 28 是定性的：它只说 $t^{p} P (∣ X ∣ > t)$ 最终趋于 0，却没说多快、从哪个 $t$ 开始小于给定的数。要算具体数字用 Markov；要证明极限或判断矩是否存在，用命题 28。

易错点问：第 3 步为什么要先说明 |X| 几乎必然有限？

答：逐点极限「 $Y_{t} \to 0 」$ 需要：对每个 $ω ，$ $t$ 终将超过 $∣ X (ω) ∣ 。$ 如果 $∣ X (ω) ∣ = \infty ，$ $t$ 永远追不上， $Y_{t} (ω) = \infty$ 不趋于 0。 $X \in L^{p}$ 保证这样的 $ω$ 只组成零测集。

小结与自测

小结本页小结

命题 28： $X \in L^{p}$ ⇒ $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \leq E [∣ X ∣^{p} 1_{{∣ X ∣ > t}}] \to 0 ，$ 即尾概率是 $o (t^{- p}) 。$
证明：在尾部事件上 $t^{p} \leq ∣ X ∣^{p} ；$ 尾部期望由 DCT 趋于 0（控制函数 $∣ X ∣^{p} ）。$
逆否命题可以判断矩不存在： $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \neq \to 0$ ⇒ $E ∣ X ∣^{p} = \infty$ （Pareto、柯西）。
但反过来不成立（第 31 页）。

自测

1. 若 $P (∣ X ∣ > t) = t^{- 3}$ （ $t \geq 1 ），$ 哪些 $p$ 使 $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \to 0 ？$ 由此能确定 $E ∣ X ∣^{3}$ 吗？

点开看答案

$t^{p - 3} \to 0$ 当且仅当 $p < 3 。$ $p = 3$ 时 $t^{3} \cdot t^{- 3} = 1 \neq \to 0 ，$ 由逆否命题 $E ∣ X ∣^{3} = \infty 。$ （对 $p < 3 ，$ 命题 28 本身不能断定 $E ∣ X ∣^{p} < \infty ，$ 但直接用矩–尾恒等式第 21 页可以验证它确实有限。）

2. 判断：若 $X \in L^{2} ，$ 则 $P (∣ X ∣ > t) \leq E X^{2} / t^{2} ，$ 并且 $t^{2} P (∣ X ∣ > t) \to 0 。$

点开看答案

正确。前者是二阶矩版 Markov，后者是命题 28（ $p = 2 ）。$

3. 命题 28 的证明用到了第 1 讲的哪个定理？控制函数是什么？

点开看答案

控制收敛定理（DCT）。控制函数是 $∣ X ∣^{p} ，$ 它可积正是因为假设 $X \in L^{p} 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
阶矩	moment	E[\|X\|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
一致可积	uniformly integrable (UI)	一族随机变量的尾部期望一致地变小：supₜ E[\|Xₜ\|; \|Xₜ\| > λ] → 0（λ → ∞）。它是「依概率收敛 ⇒ 期望收敛」的关键条件。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
独立同分布	independent and identically distributed (i.i.d.)	一列随机变量相互独立，并且分布都相同，例如反复独立地掷同一颗骰子。
弱大数定律	weak law of large numbers (WLLN)	样本均值依概率收敛到真实均值：对每个 ε > 0，P(\|Sₙ/n − μ\| > ε) → 0。方差有限时可由 Chebyshev 不等式直接推出。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。