11 Fubini 定理的证明思路：示性函数 → 简单函数 → 非负函数 → 可积函数 · 第4讲

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Fubini 定理的证明是测度论里的「标准四步」：先对示性函数证明（就是第 8 页的截口公式），再用线性推广到简单函数，再用单调收敛定理推广到所有非负可测函数（这一步得到 Tonelli 定理），最后把可积函数拆成正部减负部。σ-有限用在第一步，可积性用在最后一步。

位置：紧接第 10 页的定理陈述。课件只写了标题 Main idea behind the proof，内容留白。
为什么值得看：这个四步结构在测度论里反复出现：积分的定义（第 30 页–第 33 页）、换测度下的期望公式（第 3 讲第 32 页）都是这样证的。看懂它，就能看出 Fubini 定理的两个条件（σ-有限、可积）各自管哪一步。

先补基础

基础补课简单函数与二进逼近（回顾）

非负简单函数：只取有限个值的非负可测函数，可写成 $s = \sum_{k = 1}^{r} a_{k} 1_{A_{k}}$ （第 30 页）。
二进逼近（第 34 页）：每个非负可测函数 $f$ 都是一列非负简单函数的递增极限， $0 \leq s_{1} \leq s_{2} \leq \dots ，$ $s_{n} ↑ f 。$

基础补课单调收敛定理（MCT，回顾）

$0 \leq f_{n} ↑ f$ 可测 ⇒ $\int f_{n} ↑ \int f$ （第 36 页）。它允许极限是 $+ \infty ，$ 不需要任何可积性。

基础补课积分有限的非负函数几乎处处有限

若 $h \geq 0$ 可测且 $\int h d μ < \infty ，$ 则 $μ ({h = \infty}) = 0 。$

理由：对每个 $n ，$ ${h = \infty} \subseteq {h \geq n} 。$ 由 Markov 不等式（第 2 讲第 29 页，对一般测度同样成立）， $μ (h \geq n) \leq \frac{1}{n} \int h 。$ 令 $n \to \infty ，$ 右边趋于 0。

课件原文逐句精读

课件原文Fubini-Tonelli's theorem

Main idea behind the proof.（以下留白）

中文翻译

蓝条标题：Fubini–Tonelli 定理。

证明的主要思路.（课件留白，见下一节。）

Main idea behind the proof：证明背后的主要想法。下面按四步写出完整的论证，每一步都标明用到了什么。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

设 $(Ω_{i}, F_{i}, μ_{i})$ σ-有限。对 $F_{1} \otimes F_{2}$ -可测的 $f \geq 0 ，$ 要证（Tonelli 的结论）：

(*) g_{f} (ω_{1}) := \int_{Ω_{2}} f_{ω_{1}} d μ_{2} 是 F_{1} - 可测的，并且 \int_{Ω_{1}} g_{f} d μ_{1} = \int_{Ω_{1} \times Ω_{2}} f d (μ_{1} \times μ_{2}) .

另一种顺序完全对称。

第 1 步：示性函数

$f = 1_{A} ，$ $A \in F_{1} \otimes F_{2} 。$ 截口 $(1_{A})_{ω_{1}} = 1_{A_{ω_{1}}} ，$ 所以 $g_{f} (ω_{1}) = μ_{2} (A_{ω_{1}}) 。$ 由第 8 页的截口公式，它可测，并且

\int g_{f} d μ_{1} = \int μ_{2} (A_{ω_{1}}) d μ_{1} (ω_{1}) = (μ_{1} \times μ_{2}) (A) = \int 1_{A} d (μ_{1} \times μ_{2}) .

用到了 σ-有限：截口公式的证明靠乘积测度的唯一性和 π-λ 定理（第 7 页）。

第 2 步：非负简单函数

$s = \sum_{k = 1}^{r} a_{k} 1_{A_{k}} ，$ $a_{k} \geq 0 。$ 积分对非负系数是线性的：

g_{s} (ω_{1}) = \int k \sum a_{k} 1_{(A_{k})_{ω_{1}}} d μ_{2} = k \sum a_{k} μ_{2} ((A_{k})_{ω_{1}}) .

有限个可测函数的非负线性组合可测。两边再积分：

\int g_{s} d μ_{1} = k \sum a_{k} \int μ_{2} ((A_{k})_{ω_{1}}) d μ_{1} = k \sum a_{k} (μ_{1} \times μ_{2}) (A_{k}) = \int s d (μ_{1} \times μ_{2}) .

用到了：第 1 步和积分的线性（非负函数的线性见第 38 页）。

第 3 步：非负可测函数（Tonelli）

$f \geq 0$ 可测。取二进逼近 $0 \leq s_{n} ↑ f 。$

内层：固定 $ω_{1} ，$ 截口 $(s_{n})_{ω_{1}} ↑ f_{ω_{1}} ，$ 由 MCT， $g_{s_{n}} (ω_{1}) ↑ g_{f} (ω_{1}) 。$
可测性：每个 $g_{s_{n}}$ 可测（第 2 步），可测函数的递增极限可测，所以 $g_{f}$ 可测。
外层： $g_{s_{n}} ↑ g_{f}$ 都非负，再用一次 MCT： $\int g_{s_{n}} d μ_{1} ↑ \int g_{f} d μ_{1} 。$
二重积分： $s_{n} ↑ f ，$ 用第三次 MCT： $\int s_{n} d (μ_{1} \times μ_{2}) ↑ \int f d (μ_{1} \times μ_{2}) 。$
第 2 步说 $\int g_{s_{n}} d μ_{1} = \int s_{n} d (μ_{1} \times μ_{2}) ，$ 两边取极限，得到 $(*) 。$

用到了：只有 MCT，没有用到可积性。所以对非负函数，两边可以都是 $+ \infty ，$ 等式照样成立。这就是 Tonelli 定理（第 12 页）。

第 4 步：可积函数（Fubini）

$f$ 可积， $\iint ∣ f ∣ < \infty 。$ 拆成 $f = f^{+} - f^{-} ，$ 其中 $0 \leq f^{\pm} \leq ∣ f ∣ 。$

对 $f^{+} 、$ $f^{-}$ 分别用第 3 步： $G^{\pm} (ω_{1}) := \int (f^{\pm})_{ω_{1}} d μ_{2}$ 可测，且 $\int G^{\pm} d μ_{1} = \iint f^{\pm} \leq \iint ∣ f ∣ < \infty 。$
由「积分有限的非负函数几乎处处有限」，存在零测集 $N ，$ 使 $ω_{1} \in / N$ 时 $G^{+} (ω_{1}) 、$ $G^{-} (ω_{1})$ 都有限。对这些 $ω_{1} ，$ 截口 $f_{ω_{1}} = (f^{+})_{ω_{1}} - (f^{-})_{ω_{1}}$ 可积，并且 $\int f_{ω_{1}} d μ_{2} = G^{+} (ω_{1}) - G^{-} (ω_{1}) 。$ 这就是第 10 页第 1 条「几乎每个截口可积」。
令 $g = G^{+} - G^{-}$ （在 $N$ 上令 $g = 0 ），$ 它是两个可积函数之差，可积（第 10 页第 2 条）。
积分：

\int g d μ_{1} = \int G^{+} d μ_{1} - \int G^{-} d μ_{1} = \iint f^{+} - \iint f^{-} = \iint f .

（ $N$ 是零测集，改动不影响积分。）这就是第 10 页第 3 条。 $■$

用到了可积性：第 1 条保证 $\int G^{\pm}$ 都有限，第 4 条才不会出现「 $\infty - \infty 」。$

图解：四层台阶，每层用什么工具

步骤	函数类	从上一层到这一层靠什么	用到的条件
1	示性函数 $1_{A}$	截口公式（π-λ 定理）	σ-有限
2	非负简单函数	积分的线性	—
3	非负可测函数	二进逼近 + 单调收敛定理（用三次）	—
4	可积函数	$f = f^{+} - f^{-} ，$ 两边相减	$\iint ∣ f ∣ < \infty$

第 13 页的反例破坏第 1 层（σ-有限不成立）；第 14 页、第 15 页的反例破坏第 4 层（不可积）。前三层只要求非负，所以 Tonelli 定理不需要可积性。

例子

例 1：在一个简单函数上走一遍第 2 步

$s = 2 \cdot 1_{[0, 1) \times [0, 1]} + 3 \cdot 1_{[1, 2] \times [0, 2]}$ （两块矩形，高度分别为 2 和 3）。

二重积分： $2 \times (1 \times 1) + 3 \times (1 \times 2) = 2 + 6 = 8 。$
内层： $x \in [0, 1)$ 时 $g_{s} (x) = 2 \times 1 = 2 ；$ $x \in [1, 2]$ 时 $g_{s} (x) = 3 \times 2 = 6 ；$ 其他 $x$ 为 0。
外层： $\int g_{s} d x = 2 \times 1 + 6 \times 1 = 8 。$ 两者相等。这就是第 2 步：每块矩形各自满足截口公式，加权相加仍然满足。

例 2：第 3 步里的三次单调收敛

$f (x, y) = e^{- x - y}$ （ $x, y \geq 0 ），$ 用截断 $f_{n} = min (f, n) \cdot 1_{[0, n]^{2}}$ 代替二进逼近来体会（它也是递增的非负可测函数列，同样可以用 MCT）。

内层：固定 $x ，$ $\int (f_{n})_{x} d y ↑ \int_{0}^{\infty} e^{- x - y} d y = e^{- x} 。$
外层： $\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1 。$
二重积分： $\iint f_{n} ↑ \iint f = 1 。$ 三处极限都是「递增地逼近」，所以每一处都可以用 MCT 交换极限与积分。

例 3：第 4 步为什么要可积

第 14 页的函数 $g$ （在 $N \times N$ 上， $g (n, n) = 1 ，$ $g (n + 1, n) = - 1 ）$ 有 $\sum_{m, n} g^{+} = \infty$ 和 $\sum_{m, n} g^{-} = \infty 。$ 第 3 步对 $g^{+} 、$ $g^{-}$ 各自都成立（都是 $\infty ），$ 可第 4 步要算「 $\infty - \infty 」，$ 没有意义。结果两种求和顺序分别给出 1 和 0。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么要从示性函数开始，不能直接证一般函数？

答：积分本身就是这样一层层定义出来的：示性函数的积分是测度，简单函数的积分是加权和，非负函数的积分是简单函数积分的上确界或极限（第 33 页）。沿着定义的路线证明，每一步只需要用到上一步和一个标准工具。

易错点问：第 3 步为什么能保证 g_f 可测？

答： $g_{f}$ 是可测函数 $g_{s_{n}}$ 的逐点递增极限，而可测函数的逐点极限仍可测（第 29 页）。这一点很重要：如果 $g_{f}$ 不可测，外层积分 $\int g_{f} d μ_{1}$ 根本没法写。

易错点问：Tonelli 的证明里完全没出现可积性，那它的结论可能是「∞ = ∞」吗？

答：可以，而且这正是它有用的地方。要检查某个函数是否可积，就对 $∣ f ∣$ 用 Tonelli 算一个累次积分：结果是 $\infty$ 说明不可积，有限就说明可积（第 9 页、第 12 页）。

小结与自测

小结本页小结

标准四步：示性函数（截口公式）→ 简单函数（线性）→ 非负可测函数（二进逼近 + MCT）→ 可积函数（正部减负部）。
前三步得到 Tonelli 定理，只要求非负、可测、σ-有限；第四步得到 Fubini 定理，额外要求 $\iint ∣ f ∣ < \infty 。$
σ-有限用在第一步（截口公式与唯一性）；可积性用在第四步（避免 $\infty - \infty ，$ 并保证截口几乎处处可积）。

自测

1. 第 3 步一共用了几次单调收敛定理？各用在哪里？

点开看答案

三次：内层（对每个固定的 $ω_{1} ，$ $\int (s_{n})_{ω_{1}} d μ_{2} ↑ \int f_{ω_{1}} d μ_{2} ）；$ 外层（ $\int g_{s_{n}} d μ_{1} ↑ \int g_{f} d μ_{1} ）；$ 二重积分（ $\int s_{n} d (μ_{1} \times μ_{2}) ↑ \int f d (μ_{1} \times μ_{2}) ）。$

2. 设 $h \geq 0$ 且 $\int_{0}^{1} h d x = 5 。$ ${x : h (x) = \infty}$ 的长度是多少？ ${x : h (x) \geq 100}$ 的长度最多是多少？

点开看答案

${h = \infty}$ 的长度为 0。由 Markov 不等式， $λ (h \geq 100) \leq \frac{5}{100} = 0.05 。$

3. 判断：Fubini 定理的证明里，可积性只用来保证最后的等式没有 $\infty - \infty 。$

点开看答案

不完全对。可积性还保证了 $\int G^{\pm} d μ_{1} < \infty ，$ 从而 $G^{\pm}$ 几乎处处有限，截口 $f_{ω_{1}}$ 几乎处处可积， $g = G^{+} - G^{-}$ 才几乎处处有定义。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
Fubini 定理	Fubini's theorem	f 关于乘积测度绝对可积（∬\|f\| < ∞）时，二重积分等于两种顺序的累次积分。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
σ-有限	σ-finite	整个空间能切成可数多块测度有限的部分。概率测度、长度都满足；不可数集上的计数测度不满足。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
截口	slice (section)	固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。
换测度	change of measure	用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
Markov 不等式	Markov's inequality	X ≥ 0 时 P(X ≥ t) ≤ E X / t：期望小，取大值的概率就小。
π-λ 定理	Dynkin's π-λ theorem	π-系（对有限交封闭）包含于 λ-系时，它生成的 σ-代数也包含于该 λ-系。常用来证明「两个测度在生成元上相等就处处相等」。
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
二重积分	double integral	对两个变量一起积分：∬ f(x, y) dx dy。Fubini–Tonelli 定理说明什么时候可以拆成先对一个变量、再对另一个变量的两次积分。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
累次积分	iterated integral	一层一层地积分：先固定一个变量、对另一个变量积分，再对剩下的变量积分。