09 可测与可积：用 Fubini 之前要检查什么 · 第4讲

这一页在讲什么

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勒贝格可积 = 可测 + 绝对值的积分有限。在测度有限的集合上，有界的可测函数一定可积；概率空间总测度是 1，所以有界随机变量的期望总是有限的，这就是课件说的「在概率空间里很安全」。到了二重积分，用 Fubini 定理交换积分顺序之前，真正要检查的是 $\iint ∣ f ∣ < \infty ：$ 可测性一般自动满足，可积性才是关键。

位置：第 2 部分「Fubini–Tonelli 定理」的第一页，复习「可积」的定义，说明 Fubini 定理的条件从何而来。
后面怎么用：第 10 页陈述 Fubini 定理，条件正是 $\int ∣ f ∣ d (P_{1} \times P_{2}) < \infty ；$ 第 12 页的 Tonelli 定理给出检查这个条件的办法。

先补基础

基础补课可测函数与勒贝格积分（回顾）

可测函数（第 29 页）：对每个 $a ，$ ${f > a}$ 都是可测集。连续函数、单调函数、示性函数 $1_{A}$ （ $A$ 可测）都可测，可测函数的和、积、极限仍可测。
非负可测函数的积分（第 33 页）总有定义，可能是 $+ \infty 。$
可积（第 43 页）： $f$ 可测且 $\int ∣ f ∣ d μ < \infty 。$ 这时 $\int f = \int f^{+} - \int f^{-}$ 是一个有限的数。

基础补课有限测度与有界函数

$μ (E) < \infty ：$ 集合 $E$ 的测度有限，例如 $[0, 1]$ 的长度 1、概率空间 $Ω$ 的概率 1。
$f$ 在 $E$ 上有界：存在常数 $M ，$ 使对所有 $x \in E$ 都有 $∣ f (x) ∣ \leq M 。$
积分的单调性： $0 \leq g \leq h$ ⇒ $\int g \leq \int h 。$

课件原文逐句精读

课件原文Fubini-Tonellis's theorem

By definition a function $f$ is called Lebesgue integrable if $f$ is measurable and $\int_{E} ∣ f (x) ∣ μ (d x) < \infty$
Measurable and integrable: If function $f$ is bounded on set $E$ of finite measure, then $f$ is Lebesgue integrable over $E$ if and only if $f$ is measurable. For example,（留白）
We remark that the relation between measurable and integrable are not easy in general σ-finite measure to say without future measure theory background, but we are "safe" in probability space.
Now we want to evaluate a double integral in general σ-finite measure, do we need to check the measurability and then define the double integral $f : Ω_{1} \times Ω_{2} \to R$ ?
Fubini's theorem gives the answer: No, we do not need to do this. Checking integrability property $\int_{E} ∣ f (x) ∣ μ (d x) < \infty$ is enough.

中文翻译

蓝条标题：Fubini–Tonelli 定理。

按定义，函数 $f$ 叫勒贝格可积，如果 $f$ 可测且 $\int_{E} ∣ f (x) ∣ μ (d x) < \infty 。$
可测与可积：若 $f$ 在一个测度有限的集合 $E$ 上有界，则 $f$ 在 $E$ 上勒贝格可积当且仅当 $f$ 可测。例如，（课件留白）
注意：在一般的 σ-有限测度下，可测与可积之间的关系不容易说清楚，需要更多的测度论背景；但在概率空间里我们是「安全」的。
现在我们想在一般的 σ-有限测度下计算二重积分 $f : Ω_{1} \times Ω_{2} \to R 。$ 是不是要先检查可测性，再去定义二重积分？
Fubini 定理给出的回答是：不需要这样做，检查可积性 $\int_{E} ∣ f (x) ∣ μ (d x) < \infty$ 就够了。

$μ (d x)$ ：积分 $\int f d μ$ 的另一种写法，强调「对变量 $x 、$ 按测度 $μ$ 积分」。
future measure theory background 应为 further（更多的）测度论背景。
最后两条的准确含义见下面的「怎样理解课件最后一句」。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

有界 + 有限测度：可测 ⇔ 可积

命题

设 $μ (E) < \infty ，$ $f$ 在 $E$ 上有界： $∣ f ∣ \leq M 。$ 则 $f$ 在 $E$ 上可积 ⇔ $f$ 可测。并且 $\int_{E} f d μ \leq M μ (E) 。$

证明：「⇒」是可积的定义。「⇐」： $f$ 可测，所以 $∣ f ∣$ 可测；由单调性， $\int_{E} ∣ f ∣ d μ \leq \int_{E} M d μ = M μ (E) < \infty ，$ 所以 $f$ 可积。最后的不等式来自 $\int f \leq \int ∣ f ∣ 。$ $■$

两个条件缺一不可：

去掉「有界」： $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上可测，但 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x = \infty ，$ 不可积。
去掉「测度有限」： $f \equiv 1$ 在 $R$ 上有界、可测，但 $\int_{R} 1 d x = \infty ，$ 不可积。

课件「For example」处的例子

例（有界函数在 [0,1] 上）

狄利克雷函数 $f = 1_{Q \cap [0, 1]}$ （有理数处为 1，无理数处为 0）：有界、可测（有理数集是可数集，可测），所以勒贝格可积， $\int_{0}^{1} f = λ (Q \cap [0, 1]) = 0 。$ 它不是黎曼可积的（第 1 讲第 28 页）。
$sin \frac{1}{x}$ （在 $(0, 1]$ 上）：在 0 附近剧烈振荡，但连续，因而可测；又 $∣ sin \frac{1}{x} ∣ \leq 1 ，$ 所以可积。
反例： $1_{N}$ ， $N$ 是维塔利集（第 21 页）：有界，但不可测，所以不是勒贝格可积的，连 $\int 1_{N}$ 都无法定义。

为什么说「在概率空间里很安全」

概率空间 $P (Ω) = 1 < \infty ，$ 所以命题直接给出：有界的随机变量一定有有限的期望， $∣ X ∣ \leq M$ ⇒ $E ∣ X ∣ \leq M 。$

但「安全」只对有界的随机变量成立。无界的随机变量照样可能期望无穷，例如第 2 讲的 Pareto 分布（ $α \leq 1$ 时 $E X = \infty ，$ 第 16 页）。在 $R$ 这样总测度无穷的空间里情况更糟：连常数 1 都不可积。

怎样理解课件最后一句

课件说：计算二重积分时，「不需要先检查可测性」，「检查可积性就够了」。严格说，「可积」的定义本身就包含「关于乘积 σ-代数可测」，Fubini 定理（第 10 页）的条件是：

f 关于 F_{1} \otimes F_{2} 可测，并且 \int_{Ω_{1} \times Ω_{2}} ∣ f ∣ d (μ_{1} \times μ_{2}) < \infty.

课件这句话的实际意思是：

可测性通常是自动的：实际遇到的函数（连续函数、它们的和积商与极限、示性函数）都关于乘积 σ-代数可测（第 6 页命题 2：平面的博雷尔集就是乘积 σ-代数）。
不需要另建一套「二维积分理论」：二重积分就是乘积测度 $μ_{1} \times μ_{2}$ 上的勒贝格积分，一维的理论（第 33 页–第 44 页）全部适用。
真正要检查的是可积性 $\iint ∣ f ∣ < \infty 。$ 而它可以用 Tonelli 定理（第 12 页）检查： $∣ f ∣ \geq 0 ，$ 所以 $\iint ∣ f ∣$ 等于 $∣ f ∣$ 按任意顺序的累次积分。先算一个累次积分，有限就可以放心用 Fubini。

例子

例 1：先检查 ∫∫|f|，再交换顺序

$f (x, y) = e^{- x - y} ，$ 在 $[0, \infty)^{2}$ 上。 $∣ f ∣ = f \geq 0 ，$ 累次积分

\int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} e^{- x} e^{- y} d y) d x = \int_{0}^{\infty} e^{- x} \cdot 1 d x = 1 < \infty.

所以 $f$ 可积，任何顺序的累次积分都等于 1。概率解释：两个独立的 $Exp (1)$ 随机变量的联合密度是 $e^{- x - y} ，$ 总概率为 1。

例 2：不检查就会出错

$f (x, y) = \frac{y ^{2} - x ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} ，$ 在 $[0, 1]^{2}$ 上。 $f$ 在原点以外连续，可测没问题。但 $\iint ∣ f ∣ = \infty$ （第 15 页用极坐标证明），不满足 Fubini 的条件；结果两种顺序的累次积分一个是 $\frac{π}{4} 、$ 一个是 $- \frac{π}{4} 。$

例 3：概率里的「安全」与「不安全」

$X$ 是一颗骰子的点数， $∣ X ∣ \leq 6 ，$ $E X = 3.5$ 有限。有界随机变量没有问题。
$X$ 服从标准柯西分布，密度 $\frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )} 。$ 它无界， $E ∣ X ∣ = \int \frac{∣ x ∣}{π ( 1 + x ^{2} )} d x = \infty ，$ 期望不存在。这时 $E X$ 不能随便计算，用 Fubini 交换顺序也需要先检查可积性。

例 4：同一个函数，换一个区域就不可积

$f (x, y) = \frac{1}{1 + x ^{2}} \cdot \frac{1}{1 + y ^{2}} ：$

在 $R^{2}$ 上： $\iint f = \int \frac{d x}{1 + x ^{2}} \cdot \int \frac{d y}{1 + y ^{2}} = π \cdot π = π^{2} < \infty ，$ 可积。
把第二个因子换成常数 1， $g (x, y) = \frac{1}{1 + x ^{2}} ：$ 它有界、可测，但在 $R^{2}$ 上 $\iint g = π \cdot \infty = \infty ，$ 不可积。原因是 $R^{2}$ 的总面积无穷，「有界 ⇒ 可积」不成立。

常见疑问与易错点

易错点问：有界函数一定可积吗？

答：要同时满足两个条件：可测，并且定义域的测度有限。 $1_{N}$ （ $N$ 不可测）有界但不可测； $R$ 上的常数 1 有界、可测，但定义域测度无穷。

易错点问：课件说「非负可测函数总是可积」（第 12 页），和这一页矛盾吗？

答：那句话的准确意思是：非负可测函数的积分总有定义（可能是 $+ \infty ），$ 不需要检查 $\int f^{+} 、$ $\int f^{-}$ 会不会出现 $\infty - \infty 。$ 「可积」在本站始终指积分有限，见第 12 页的说明。

易错点问：Fubini 真的完全不用管可测性吗？

答：要管，只是一般不费事。第 8 页的反例说明，乘积 σ-代数之外的集合（每个截口都可测）根本没有乘积测度；对应的函数 $1_{A}$ 谈不上二重积分。实际计算中遇到的函数几乎都是可测的，所以注意力主要放在可积性上。

小结与自测

小结本页小结

勒贝格可积 = 可测 + $\int ∣ f ∣ < \infty 。$
测度有限的集合上，有界函数：可积 ⇔ 可测；所以有界随机变量的期望总是有限（「概率空间里安全」）。
无界函数或总测度无穷时，可测不等于可积（ $\frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上、常数 1 在 $R$ 上）。
用 Fubini 交换积分顺序前，要检查 $\iint ∣ f ∣ < \infty ；$ 检查方法是对 $∣ f ∣$ 用 Tonelli 算一个累次积分。

自测

1. $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上可积吗？它有界吗？

点开看答案

可积： $\int_{0}^{1} x^{- 1/2} d x = 2 < \infty 。$ 但它无界（ $x \to 0$ 时趋于无穷）。所以「有界」是可积的充分条件，不是必要条件。

2. 随机变量 $X$ 满足 $∣ X ∣ \leq 10 。$ $E X^{2}$ 一定有限吗？

点开看答案

一定。 $X^{2} \leq 100$ 也有界，概率空间测度为 1，所以 $E X^{2} \leq 100 。$

3. 要对 $f (x, y) = x e^{- x (1 + y^{2})}$ （ $x, y \geq 0 ）$ 交换积分顺序，先检查什么？检查结果如何？

点开看答案

先检查 $\iint ∣ f ∣ < \infty 。$ $f \geq 0 ，$ 先对 $x$ 积分： $\int_{0}^{\infty} x e^{- x (1 + y^{2})} d x = \frac{1}{( 1 + y ^{2} ) ^{2}} ；$ 再对 $y ：$ $\int_{0}^{\infty} \frac{d y}{( 1 + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{π}{4} < \infty 。$ 所以 $f$ 可积，可以交换顺序。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
Fubini 定理	Fubini's theorem	f 关于乘积测度绝对可积（∬\|f\| < ∞）时，二重积分等于两种顺序的累次积分。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
二重积分	double integral	对两个变量一起积分：∬ f(x, y) dx dy。Fubini–Tonelli 定理说明什么时候可以拆成先对一个变量、再对另一个变量的两次积分。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
σ-有限	σ-finite	整个空间能切成可数多块测度有限的部分。概率测度、长度都满足；不可数集上的计数测度不满足。
狄利克雷函数	Dirichlet function	在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
乘积 σ-代数	product σ-algebra	由所有可测矩形生成的 σ-代数，记作 F₁ ⊗ F₂；它也是让两个坐标映射都可测的最小 σ-代数。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
累次积分	iterated integral	一层一层地积分：先固定一个变量、对另一个变量积分，再对剩下的变量积分。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
极坐标	polar coordinates	用到原点的距离 r 和角度 θ 表示平面上的点：x = r cos θ，y = r sin θ。在极坐标下做二重积分时 dx dy = r dr dθ。
截口	slice (section)	固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。