14 反例二：不绝对收敛的二重级数，先按行加得 1，先按列加得 0 · 第4讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

在 $N \times N$ 上放一个「矩阵」 $g ：$ 对角线上全是 $1 ，$ 紧挨着对角线下面一条斜线全是 $- 1 ，$ 其余是 0。每一列加起来都是 0，所以「先按列加」得 0；除第一行外每一行加起来也是 0，第一行是 1，所以「先按行加」得 1。两个计数测度都是 σ-有限的， $g$ 有界、可测，失败的原因只有一个： $\sum ∣ g ∣ = \infty ，$ 不可积。

位置：第 2 部分的第二个反例。第 13 页坏在 σ-有限，这一页坏在可积性，对应第 11 页四层台阶的第 4 层（正部、负部都是 $\infty ，$ 相减成了 $\infty - \infty ）。$
后面：第 15 页给出这个现象的连续版本 $\frac{y ^{2} - x ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} 。$

先补基础

基础补课二重级数与「按行、按列」求和

把 $a_{mn}$ （ $m, n \geq 1 ）$ 排成无限大的表格： $m$ 是行号， $n$ 是列号。

先按行：对每一行 $m$ 算行和 $\sum_{n} a_{mn} ，$ 再把行和加起来： $\sum_{m} (\sum_{n} a_{mn}) 。$
先按列：对每一列算列和 $\sum_{m} a_{mn} ，$ 再加起来： $\sum_{n} (\sum_{m} a_{mn}) 。$
有限表格两种算法当然一样；无限表格就不一定。

基础补课绝对收敛

级数 $\sum a_{k}$ 绝对收敛指 $\sum ∣ a_{k} ∣ < \infty 。$ 绝对收敛的级数，无论怎样重新排列、分组，和都不变；不绝对收敛的级数，重新排列可以改变它的和（黎曼重排定理）。二重级数的 Fubini 定理正是： $\sum_{m, n} ∣ a_{mn} ∣ < \infty$ ⇒ 先按行、先按列结果相同。

基础补课计数测度下的可测与可积（课件第一句）

$N$ 上取全部子集作 σ-代数，所以任何函数 $f : N \to R$ 都可测；积分就是求和， $\int f d # = \sum_{n} f (n) ，$ 可积当且仅当 $\sum_{n} ∣ f (n) ∣ < \infty$ （第 13 页例 1）。乘积空间 $N \times N$ 上同样如此， $# \times #$ 就是 $N \times N$ 上的计数测度。

课件原文逐句精读

课件原文Counter examples for Fubini's theorem

Example. Let $X = Y = N$ and $μ = ν = #$ , where $#$ is the counting measure. Then $f$ is measurable, and $f$ is integrable if and only if $\sum_{n} ∣ f (n) ∣ < \infty$ (and $\int_{N} f d # = \sum_{n} f (n)$ ). Now, consider a function $g : N \times N \to R$ defined by

⎩ ⎨ ⎧ g (n, n) = 1 g (n + 1, n) = - 1 g (m, n) = 0 \forall n \geq 1 \forall n \geq 1 for m \neq = n, m \neq = n + 1

Hence, $g$ is bounded and $μ \times ν$ -measurable.（以下留白）

中文翻译

蓝条标题：Fubini 定理的反例。

例. 设 $X = Y = N ，$ $μ = ν = #$ 是计数测度。则（任何） $f$ 都可测，并且 $f$ 可积当且仅当 $\sum_{n} ∣ f (n) ∣ < \infty$ （此时 $\int_{N} f d # = \sum_{n} f (n) ）。$ 现在考虑函数 $g : N \times N \to R ：$ 对所有 $n \geq 1 ，$ $g (n, n) = 1 ，$ $g (n + 1, n) = - 1 ；$ 其他情形（ $m \neq = n$ 且 $m \neq = n + 1 ）$ $g (m, n) = 0 。$ 于是 $g$ 有界，并且关于 $μ \times ν$ 可测。（结论课件留白，见下一节。）

第一句里的 $f$ 指 $N$ 上任意一个函数，不是本页后面的 $g 。$
Hence, $g$ is bounded and $μ \times ν$ -measurable： $∣ g ∣ \leq 1$ 有界； $N \times N$ 上全部子集都可测，所以 $g$ 可测。课件想强调：有界、可测都满足，问题不在这里。
这里 $N = {1, 2, 3, \dots}$ （从 1 开始）。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

把 $g (m, n)$ 画成表格（ $m$ 是行号， $n$ 是列号）：

	$n = 1$	$n = 2$	$n = 3$	$n = 4$	$\dots$	行和
$m = 1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$\dots$	$1$
$m = 2$	$- 1$	$1$	$0$	$0$	$\dots$	$0$
$m = 3$	$0$	$- 1$	$1$	$0$	$\dots$	$0$
$m = 4$	$0$	$0$	$- 1$	$1$	$\dots$	$0$
$⋮$					$⋱$	$⋮$
列和	$0$	$0$	$0$	$0$	$\dots$

例（完整解答）：两种求和顺序

先按列（固定 $n ，$ 对 $m$ 求和）：第 $n$ 列只有两个非零数， $g (n, n) = 1$ 和 $g (n + 1, n) = - 1 ，$ 列和为 0。所以

n = 1 \sum \infty (m = 1 \sum \infty g (m, n)) = n = 1 \sum \infty 0 = 0.

先按行（固定 $m ，$ 对 $n$ 求和）：
- $m = 1 ：$ 只有 $g (1, 1) = 1$ （没有 $n = 0$ 这一列），行和为 1；
- $m \geq 2 ：$ 有 $g (m, m) = 1$ 和 $g (m, m - 1) = - 1 ，$ 行和为 0。所以

m = 1 \sum \infty (n = 1 \sum \infty g (m, n)) = 1 + 0 + 0 + \dots = 1.

$0 \neq = 1$ ，两种累次和不相等。

为什么 Fubini 定理不适用：两个计数测度都在可数集 $N$ 上，是 σ-有限的； $g$ 可测。剩下的条件是可积：

m, n \sum ∣ g (m, n) ∣ = n = 1 \sum \infty (∣ g (n, n) ∣ + ∣ g (n + 1, n) ∣) = n = 1 \sum \infty 2 = \infty.

$g$ 不可积。拆成正部、负部： $g^{+}$ 是对角线上的 1， $\sum g^{+} = \infty ；$ $g^{-}$ 是下斜线上的 1， $\sum g^{-} = \infty 。$ 「 $\sum g 」$ 本身就是 $\infty - \infty ，$ 没有定义，不同的求和顺序只是用不同的方式去「抵消」这两个无穷大。

Tonelli 对正部、负部仍然成立： $g^{+} \geq 0 ，$ 按行、按列求和都是 $\infty ；$ $g^{-}$ 同样。出问题的只是把它们相减。这正是第 11 页第 4 层：可积性就是为了避免 $\infty - \infty 。$

图解：截断方式决定答案

只加左上角 $M$ 行、 $N$ 列的有限部分 $S_{M, N} = \sum_{m \leq M, n \leq N} g (m, n) ：$

对角线上落在这个长方形里的 1 有 $min (M, N)$ 个；
下斜线上落在里面的 $- 1$ 是 $(k + 1, k)$ 满足 $k + 1 \leq M 、$ $k \leq N$ 的那些，共 $min (M - 1, N)$ 个。

截断方式	$S_{M, N}$	对应的累次和
行比列多（ $M > N ）$	$N - N = 0$	先让 $M \to \infty$ （列和）再让 $N \to \infty ：$ 得 0
列不少于行（ $M \leq N ）$	$M - (M - 1) = 1$	先让 $N \to \infty$ （行和）再让 $M \to \infty ：$ 得 1

正方形截断 $M = N$ 给出 1。先让哪个方向趋于无穷，答案就跟着哪个走。绝对可积时，所有截断方式的极限都相同，这就是 Fubini 定理在级数上的意义。

例子

例 1：绝对收敛的二重级数，顺序随便换

$a_{mn} = \frac{( - 1 ) ^{m + n}}{2 ^{m} 3 ^{n}} 。$ $\sum ∣ a_{mn} ∣ = \sum 2^{- m} \sum 3^{- n} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < \infty ，$ 绝对收敛。于是两种顺序都等于

(m \sum \frac{( - 1 ) ^{m}}{2 ^{m}}) (n \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{3 ^{n}}) = (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{12} .

（ $\sum_{m \geq 1} (- \frac{1}{2})^{m} = \frac{- 1/2}{1 + 1/2} = - \frac{1}{3} ，$ $\sum_{n \geq 1} (- \frac{1}{3})^{n} = \frac{- 1/3}{1 + 1/3} = - \frac{1}{4} 。）$

例 2：一维的类比——加括号改变答案

级数 $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ 不收敛。加括号 $(1 - 1) + (1 - 1) + \dots$ 得 0，换一种加括号 $1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \dots$ 得 1。本页的两种累次和正是这两种加括号方式：把同一列的 $1, - 1$ 放进一个括号得 0；把同一行的 $- 1, 1$ 放进一个括号，第一行的 1 单独剩下，得 1。

例 3：把 −1 换成 −1/2，结果仍然有问题

令 $h (n, n) = 1 ，$ $h (n + 1, n) = - \frac{1}{2} 。$ 列和都是 $\frac{1}{2} ，$ 先按列得 $\sum \frac{1}{2} = \infty ；$ 行和：第一行 1，其余 $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} ，$ 先按行也得 $\infty 。$ 这次两种顺序「碰巧」相同，但 $\sum ∣ h ∣ = \infty ，$ Fubini 依然不保证任何事情。是否可积要看 $\sum ∣ h ∣ ，$ 不能看两种累次和碰巧是否相等。

常见疑问与易错点

易错点问：g 有界、可测，测度也 σ-有限，为什么还不行？

答：有界只在测度有限的空间上才能推出可积（第 9 页）。 $N \times N$ 的计数测度是 $\infty ，$ 有界函数可以不可积。这里 $\sum ∣ g ∣ = \infty ，$ Fubini 的条件不满足。

易错点问：能不能说「先按行」才是正确答案，因为正方形截断也得 1？

答：不能。 $\sum g$ 本身没有定义（ $\infty - \infty ），$ 不存在「正确答案」。正方形截断给 1，「行比列多一行」的截断给 0（见图解），它们都是同样合理的截断方式。

易错点问：概率里会遇到这种问题吗？

答：会。例如计算 $E [\sum_{n} X_{n}]$ 时想交换期望和求和，如果 $\sum_{n} E ∣ X_{n} ∣ = \infty ，$ 交换顺序就可能出错。安全的做法和第 12 页一样：先对绝对值用 Tonelli 检查 $\sum_{n} E ∣ X_{n} ∣ < \infty ，$ 再用 Fubini。

小结与自测

小结本页小结

$g (n, n) = 1 ，$ $g (n + 1, n) = - 1 ：$ 每列和为 0（先按列得 0），第一行和为 1、其余行和为 0（先按行得 1）。
计数测度在 $N$ 上 σ-有限， $g$ 有界可测，失败只因 $\sum ∣ g ∣ = \infty ：$ 正部、负部都是 $\infty 。$
截断方式决定答案；绝对收敛（可积）时所有顺序、所有截断都给出同一个和。
两个反例合起来说明：σ-有限（第 13 页）和可积（本页）缺一不可。

自测

1. 把 $g$ 改成 $g (n, n) = 1 、$ $g (n, n + 1) = - 1$ （ $- 1$ 放在对角线右边）。两种累次和各是多少？

点开看答案

这相当于把表格转置。行和：每行有 $1$ 和 $- 1 ，$ 都是 0，先按行得 0。列和：第 1 列只有 $g (1, 1) = 1 ，$ 其余列 $1 - 1 = 0 ，$ 先按列得 1。

2. 求 $\sum_{m = 1}^{5} \sum_{n = 1}^{5} g (m, n)$ 和 $\sum_{m = 1}^{6} \sum_{n = 1}^{5} g (m, n)$ （课件中的 $g ）。$

点开看答案

$5 \times 5 ：$ 对角线 5 个 1，下斜线 4 个 $- 1 ，$ 和为 1。 $6 \times 5 ：$ 对角线 5 个 1，下斜线 5 个 $- 1 ，$ 和为 0。

3. 判断：若二重级数两种累次和都存在且相等，则可以用 Fubini 定理。

点开看答案

错误。Fubini 的条件是 $\sum ∣ a_{mn} ∣ < \infty ，$ 与两种累次和是否相等无关（例 3）。累次和相等可能只是巧合。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
σ-有限	σ-finite	整个空间能切成可数多块测度有限的部分。概率测度、长度都满足；不可数集上的计数测度不满足。
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
Fubini 定理	Fubini's theorem	f 关于乘积测度绝对可积（∬\|f\| < ∞）时，二重积分等于两种顺序的累次积分。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
乘积空间	product space	笛卡尔积 Ω₁ × Ω₂，配上乘积 σ-代数（以及乘积测度）。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。