08 截口的测度：二维测度 = 一维截口测度的积分（Fubini 的雏形） · 第4讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

要算二维集合 $A$ 的乘积测度，可以一刀一刀地切：每个竖截口 $A_{ω_{1}}$ 有一个一维测度 $μ_{2} (A_{ω_{1}}) ，$ 把这些数对 $ω_{1}$ 积分，就得到 $(μ_{1} \times μ_{2}) (A) ；$ 横着切再积分，结果一样。这就是「祖暅原理 / 卡瓦列里原理」的严格版本，也是 Fubini 定理的特例（被积函数是示性函数）。但前提是 $A$ 本身在乘积 σ-代数里：存在每个截口都可测、整体却不可测的集合。

位置：第 1 部分的最后一页，承上（第 7 页的乘积测度与截口）启下（第 2 部分的 Fubini 定理）。
课件留白：截口公式本身、「矩形面积」的计算、以及「可测截口、不可测集合」的例子。下面逐一补全。

先补基础

基础补课积分的单调收敛定理（回顾）

若 $0 \leq f_{1} \leq f_{2} \leq \dots$ 可测且 $f_{n} ↑ f ，$ 则 $\int f_{n} ↑ \int f$ （第 36 页）。下面的证明要用它把「递增并的截口测度」和积分交换。

基础补课维塔利集（回顾）

第 1 讲第 21 页证明了： $[0, 1]$ 里存在一个集合 $N$ （维塔利集），它不是勒贝格可测的，当然也不是博雷尔集。这里只需要知道「这样的集合存在」。

基础补课复合映射的可测性

若 $g : Ω \to Ω_{1} \times Ω_{2}$ 的两个分量 $g_{1}, g_{2}$ 都可测，则 $g$ 关于 $F_{1} \otimes F_{2}$ 可测：矩形的原像 $g^{- 1} (A_{1} \times A_{2}) = g_{1}^{- 1} (A_{1}) \cap g_{2}^{- 1} (A_{2})$ 可测，而矩形生成 $F_{1} \otimes F_{2}$ （第 6 页命题 1 的推论，「检验生成元就够了」见第 29 页）。

课件原文逐句精读

课件原文Introduction to Fubini's theorem

Also, we can conclude that $P_{1} (A_{ω_{2}})$ and $P_{2} (A_{ω_{1}})$ are $F_{2}$ -measurable and $F_{1}$ -measurable, respectively, and（留白）
Imaging we are calculating the area of a rectangle . . . .
Example. Can you come up with an example such that a non-measurable set with measurable slices?（留白）
From the example, we have $A \subset Ω_{1} \times Ω_{2}$ is not measurable with respect to the product σ-algebra $F_{1} \otimes F_{1}$ but its slices $A_{ω_{1}}$ and $A_{ω_{2}}$ are measurable for all $ω_{1}$ and $ω_{2}$ .

中文翻译

蓝条标题：Fubini 定理引入。

进一步可以得出： $P_{1} (A_{ω_{2}})$ 和 $P_{2} (A_{ω_{1}})$ 分别是 $F_{2}$ -可测和 $F_{1}$ -可测的，并且（课件留白）
想象我们在计算一个矩形的面积……
例. 你能举出一个例子，使得某个集合不可测，但它的截口都可测吗？（课件留白）
由这个例子， $A \subset Ω_{1} \times Ω_{2}$ 关于乘积 σ-代数 $F_{1} \otimes F_{2}$ 不可测，但它的截口 $A_{ω_{1}} 、$ $A_{ω_{2}}$ 对所有 $ω_{1}, ω_{2}$ 都可测。

$P_{1} (A_{ω_{2}})$ is $F_{2}$ -measurable：注意变量是谁。 $P_{1} (A_{ω_{2}})$ 是 $ω_{2}$ 的函数（固定 $ω_{2}$ 切出 $Ω_{1}$ 的子集，再用 $P_{1}$ 量），所以要求它关于 $ω_{2}$ 所在的 σ-代数 $F_{2}$ 可测； $P_{2} (A_{ω_{1}})$ 是 $ω_{1}$ 的函数，关于 $F_{1}$ 可测。
Imaging 是笔误，应为 Imagine（想象）。
最后一条的 $F_{1} \otimes F_{1}$ 是笔误，应为 $F_{1} \otimes F_{2} 。$

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

截口公式

定理（用截口计算乘积测度）

设 $(Ω_{i}, F_{i}, μ_{i})$ （ $i = 1, 2 ）$ σ-有限， $A \in F_{1} \otimes F_{2} 。$ 则

$ω_{1} \mapsto μ_{2} (A_{ω_{1}})$ 是 $F_{1}$ -可测函数， $ω_{2} \mapsto μ_{1} (A_{ω_{2}})$ 是 $F_{2}$ -可测函数；

(μ_{1} \times μ_{2}) (A) = \int_{Ω_{1}} μ_{2} (A_{ω_{1}}) d μ_{1} (ω_{1}) = \int_{Ω_{2}} μ_{1} (A_{ω_{2}}) d μ_{2} (ω_{2}) .

上一页已经证明截口 $A_{ω_{1}}$ 本身可测（ $μ_{2} (A_{ω_{1}})$ 才有意义）；这里进一步说 $μ_{2} (A_{ω_{1}})$ 作为 $ω_{1}$ 的函数可测（积分才有意义）。

推导证明思路（先看两个测度都有限）

好集合：令 $L$ 为所有满足结论 1、2 的 $A \in F_{1} \otimes F_{2} 。$

矩形是好集合： $μ_{2} ((A_{1} \times A_{2})_{ω_{1}}) = μ_{2} (A_{2}) 1_{A_{1}} (ω_{1}) ，$ 它是常数乘示性函数，可测；积分是 $μ_{2} (A_{2}) μ_{1} (A_{1}) ，$ 等于乘积测度。横着切也一样： $μ_{1} ((A_{1} \times A_{2})_{ω_{2}}) = μ_{1} (A_{1}) 1_{A_{2}} (ω_{2}) ，$ 积分同样是 $μ_{1} (A_{1}) μ_{2} (A_{2}) 。$
$L$ 是 λ-系：
- 若 $A \subseteq B$ 都在 $L$ 里，则 $(B ∖ A)_{ω_{1}} = B_{ω_{1}} ∖ A_{ω_{1}} ，$ $μ_{2} ((B ∖ A)_{ω_{1}}) = μ_{2} (B_{ω_{1}}) - μ_{2} (A_{ω_{1}})$ （测度有限才能相减），两个可测函数之差可测，积分相减即得。
- 若 $A_{n} ↑ A$ 都在 $L$ 里，则截口也递增， $μ_{2} ((A_{n})_{ω_{1}}) ↑ μ_{2} (A_{ω_{1}})$ （从下连续性，第 13 页）；极限函数可测；由单调收敛定理，积分也收敛到极限，而左边 $(μ_{1} \times μ_{2}) (A_{n}) ↑ (μ_{1} \times μ_{2}) (A) 。$
矩形是 π-系，由 π-λ 定理（第 7 页）， $L \supseteq F_{1} \otimes F_{2} 。$

σ-有限的情形：在测度有限的方块 $E_{n} \times F_{m}$ 上分别证明，再用单调收敛取极限。 $■$

Imagine we are calculating the area of a rectangle｜想象在算矩形的面积

矩形 $R = [a, b] \times [c, d] ，$ 长度测度 $λ ：$

竖截口： $x \in [a, b]$ 时 $R_{x} = [c, d] ，$ 长度 $d - c ；$ 否则为空，长度 0。
对 $x$ 积分： $\int_{R} λ (R_{x}) d x = \int_{a}^{b} (d - c) d x = (b - a) (d - c) 。$
横着切： $y \in [c, d]$ 时 $R_{y} = [a, b] ，$ $\int_{c}^{d} (b - a) d y = (b - a) (d - c) 。$

两种切法都得到「长 × 宽」。对一般的集合，截口长度随位置变化，「把每一刀的长度加起来」就变成了积分。这就是中国古代的祖暅原理（「幂势既同，则积不容异」）、西方的卡瓦列里原理：两个立体如果每个高度上的截面积都相等，体积就相等。

Example: a non-measurable set with measurable slices｜截口都可测、整体却不可测

例（课件留白的答案）

取 $Ω_{1} = Ω_{2} = [0, 1] ，$ $F_{1} = F_{2} = B ([0, 1]) 。$ 设 $N \subseteq [0, 1]$ 不是博雷尔集（例如维塔利集），令

A = {(x, x) : x \in N}

（只在 $N$ 上的那一段对角线）。则

每个截口都可测： $A_{x} = {x}$ （若 $x \in N ）$ 或 $\emptyset$ （若 $x \in / N ），$ 都是博雷尔集；横截口（固定第二个坐标 $y ）$ 也一样： ${x : (x, y) \in A}$ 是 ${y}$ （若 $y \in N ）$ 或 $\emptyset$ （若 $y \in / N ）。$
$A$ 不在 $F_{1} \otimes F_{2}$ 里。

第 2 条的证明：考虑映射 $g : [0, 1] \to [0, 1]^{2} ，$ $g (x) = (x, x) 。$ 它的两个分量都是恒等映射 $x \mapsto x ，$ 可测，所以 $g$ 关于 $F_{1} \otimes F_{2}$ 可测（见「先补基础」）。如果 $A \in F_{1} \otimes F_{2} ，$ 那么

g^{- 1} (A) = {x : (x, x) \in A} = N

必须是博雷尔集，与 $N$ 的选取矛盾。所以 $A \in / F_{1} \otimes F_{2} 。$ $■$

这个例子说明什么：截口公式里，「 $A \in F_{1} \otimes F_{2} 」$ 这个假设不能换成「每个截口都可测」。这里所有截口的长度都是 0，两个累次积分都是 0，可 $A$ 根本没有乘积测度，谈不上「等于 0」。

了解更多：更极端的例子（Sierpiński）

在集合论的「连续统假设」下，Sierpiński 构造出 $[0, 1]^{2}$ 的一个子集 $S ：$ 每个竖截口 $S_{x}$ 都是可数集（长度 0），每个横截口 $S_{y}$ 都只缺可数个点（长度 1）。于是

\int_{0}^{1} λ (S_{x}) d x = 0, \int_{0}^{1} λ (S_{y}) d y = 1.

两种切法给出不同的答案。这再一次说明：截口公式依赖于 $A$ 在乘积 σ-代数里，而不仅仅是截口可测。

例子

例 1：三角形面积，两种切法

$T = {(x, y) : 0 \leq y \leq x \leq 1} 。$

竖切： $T_{x} = [0, x] ，$ 长度 $x ，$ $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2} 。$
横切： $T_{y} = [y, 1] ，$ 长度 $1 - y ，$ $\int_{0}^{1} (1 - y) d y = \frac{1}{2} 。$ 两种切法结果相同，正如定理所说。

例 2：两个独立均匀数，谁更大

$U, V$ 独立、都服从 $Unif (0, 1) ，$ 则 $(U, V)$ 的联合分布是 $λ \times λ$ （在单位正方形上）。求 $P (U < V) ：$ 取 $A = {x < y} ，$ 竖截口 $A_{x} = (x, 1] ，$ 长度 $1 - x ，$

P (U < V) = \int_{0}^{1} (1 - x) d x = \frac{1}{2} .

概率解释：先看 $U$ 取到 $x ，$ 此时「 $V > x 」$ 的概率是 $1 - x ，$ 再对 $x$ 按 $U$ 的分布平均。截口公式就是「先固定一个变量，再平均」。

例 3：指数分布的「赛跑」

$X \sim Exp (λ) 、$ $Y \sim Exp (μ)$ 独立（密度分别为 $λ e^{- λ x} 、$ $μ e^{- μ y} ，$ $x, y > 0 ）。$ 求 $P (X < Y) ：$ 竖截口 ${y : y > x}$ 的概率是 $P (Y > x) = e^{- μx} ，$ 所以

P (X < Y) = \int_{0}^{\infty} e^{- μx} \cdot λ e^{- λ x} d x = λ \int_{0}^{\infty} e^{- (λ + μ) x} d x = \frac{λ}{λ + μ} .

例如两盏灯泡，寿命的「失效率」分别是 $λ = 1 、$ $μ = 2$ （单位：每年），第一盏先坏的概率是 $\frac{1}{3} 。$ 失效率越大越容易先坏，结果符合直觉。

例 4：单位圆盘的面积

$D = {x^{2} + y^{2} \leq 1} ，$ 竖截口长度 $2 1 - x^{2}$ （ $∣ x ∣ \leq 1 ）。$

λ^{2} (D) = \int_{- 1}^{1} 2 1 - x^{2} d x = π .

（令 $x = sin θ ，$ $\int_{- π /2}^{π /2} 2 cos^{2} θ d θ = π 。）$

常见疑问与易错点

易错点问：为什么要单独强调 μ₂(A_{ω₁}) 作为 ω₁ 的函数可测？

答：只有它可测，才能对 $ω_{1}$ 积分。截口 $A_{ω_{1}}$ 可测只保证每个 $μ_{2} (A_{ω_{1}})$ 是一个确定的数；这些数拼成的函数是否可测，是另一个问题。定理保证：只要 $A \in F_{1} \otimes F_{2} ，$ 这个函数一定可测。

易错点问：两种切法为什么一定相等？

答：两个积分作为 $A$ 的函数都是 $F_{1} \otimes F_{2}$ 上的测度，并且在矩形上都等于 $μ_{1} (A_{1}) μ_{2} (A_{2}) 。$ 由乘积测度的唯一性（第 7 页），它们在所有可测集上相等，都等于 $(μ_{1} \times μ_{2}) (A) 。$

易错点问：这一页和 Fubini 定理是什么关系？

答： $(μ_{1} \times μ_{2}) (A) = \int 1_{A} d (μ_{1} \times μ_{2}) ，$ 而 $μ_{2} (A_{ω_{1}}) = \int 1_{A} (ω_{1}, ω_{2}) d μ_{2} (ω_{2}) 。$ 所以截口公式就是「对示性函数 $1_{A} ，$ 二重积分 = 累次积分」。Fubini–Tonelli 定理（第 10 页、第 12 页）把它从示性函数推广到一般函数：先到简单函数（线性），再到非负函数（单调收敛），最后到可积函数（正负部相减）。

小结与自测

小结本页小结

截口公式： $A \in F_{1} \otimes F_{2}$ 时， $(μ_{1} \times μ_{2}) (A) = \int μ_{2} (A_{ω_{1}}) d μ_{1} = \int μ_{1} (A_{ω_{2}}) d μ_{2} ，$ 被积函数可测。
证明：矩形直接验证 → 好集合是 λ-系 → π-λ 定理；σ-有限时分块。
矩形面积、三角形面积、 $P (U < V) = \frac{1}{2} 、$ $P (X < Y) = \frac{λ}{λ + μ}$ 都是它的应用。
反例： $N$ 不可测时， ${(x, x) : x \in N}$ 截口都可测但整体不在乘积 σ-代数里。
课件笔误：Imaging → Imagine； $F_{1} \otimes F_{1}$ → $F_{1} \otimes F_{2} 。$

自测

1. 用横截口计算 $P (U < V)$ （ $U, V$ 独立均匀）。

点开看答案

$A = {x < y}$ 的横截口 $A_{y} = [0, y) ，$ 长度 $y ，$ $\int_{0}^{1} y d y = \frac{1}{2} ，$ 和竖切的结果相同。

2. $U, V$ 独立均匀，求 $P (U + V \leq 1) 。$

点开看答案

竖截口 ${y : y \leq 1 - x} \cap [0, 1] = [0, 1 - x] ，$ 长度 $1 - x$ （ $0 \leq x \leq 1 ），$ 积分得 $\frac{1}{2} 。$

3. 在反例中，如果把 $N$ 换成一个博雷尔集 $B ，$ ${(x, x) : x \in B}$ 是否在 $B \otimes B$ 里？它的面积是多少？

点开看答案

在。它等于对角线 ${(x, x)}$ 与竖条 $B \times [0, 1]$ 的交，两者都在乘积 σ-代数里（对角线见第 6 页例 2）。每个竖截口最多一个点，长度 0，所以面积是 0。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
截口	slice (section)	固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
Fubini 定理	Fubini's theorem	f 关于乘积测度绝对可积（∬\|f\| < ∞）时，二重积分等于两种顺序的累次积分。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
乘积 σ-代数	product σ-algebra	由所有可测矩形生成的 σ-代数，记作 F₁ ⊗ F₂；它也是让两个坐标映射都可测的最小 σ-代数。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
原像	preimage	f⁻¹(B) 是「所有被 f 送进 B 的输入」组成的集合，可测性就是用原像定义的。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
σ-有限	σ-finite	整个空间能切成可数多块测度有限的部分。概率测度、长度都满足；不可数集上的计数测度不满足。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
π-λ 定理	Dynkin's π-λ theorem	π-系（对有限交封闭）包含于 λ-系时，它生成的 σ-代数也包含于该 λ-系。常用来证明「两个测度在生成元上相等就处处相等」。
累次积分	iterated integral	一层一层地积分：先固定一个变量、对另一个变量积分，再对剩下的变量积分。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
联合分布	joint law (joint distribution)	随机向量 (X, Y) 在平面上的分布：对每个平面博雷尔集 B 给出 P((X, Y) ∈ B)。只知道边缘分布不能确定它。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
二重积分	double integral	对两个变量一起积分：∬ f(x, y) dx dy。Fubini–Tonelli 定理说明什么时候可以拆成先对一个变量、再对另一个变量的两次积分。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。