07 Hölder 不等式（指数 3/2 与 3）的应用：常数 4/25 与等号条件 · 作业1

这道题在问什么

人话版一句话版

对 $[0, 1]$ 上几乎处处为正的 $g ，$ 有 $(\int_{0}^{1} xg)^{3} \leq \frac{4}{25} \int_{0}^{1} g^{3} 。$ 这是 Hölder 不等式取指数 $p = \frac{3}{2}$ （给 $x ）、$ $q = 3$ （给 $g ）$ 的结果：常数 $\frac{4}{25} = (\int_{0}^{1} x^{3/2} d x)^{2} = (\frac{2}{5})^{2} 。$ 等号成立当且仅当 $g^{3}$ 与 $x^{3/2}$ 成比例，即 $g (x) = c x$ （ $c > 0$ 为常数，几乎处处）。

考点：Hölder 不等式及其等号条件（第 2 讲第 26 页定理 25）；共轭指数怎么选；幂函数的积分。
注意：这道题常被称作「Cauchy–Schwarz 不等式的应用」，但这里出现的是三次方，用的是指数 $(\frac{3}{2}, 3)$ 的 Hölder 不等式；Cauchy–Schwarz 是 $p = q = 2$ 的特例，给不出本题的不等式（见「思路」第 3 条）。
和其他题的关系：第 12 题也是「证明一个积分不等式 + 刻画等号」，那里用的是 Cauchy–Schwarz，等号条件同样需要严格推导。

先补基础

基础补课[0,1] 上的勒贝格测度就是一个概率测度

$[0, 1]$ 的总长度是 1，所以 $([0, 1], B, d x)$ 是概率空间： $U$ 在 $[0, 1]$ 上均匀分布时， $\int_{0}^{1} h (x) d x = E h (U) 。$ 于是第 2 讲在概率空间上写的 Hölder 不等式可以直接用在 $\int_{0}^{1}$ 上。例： $\int_{0}^{1} x d x = E U = \frac{1}{2} 。$

基础补课Hölder 不等式（第 2 讲 p26 定理 25）

设 $1 < p < \infty ，$ $q = \frac{p}{p - 1}$ （等价地 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 ，$ 称 $p, q$ 共轭）。则

E ∣ X Y ∣ \leq (E ∣ X ∣^{p})^{1/ p} (E ∣ Y ∣^{q})^{1/ q} .

常见的共轭对： $(2, 2)$ （Cauchy–Schwarz）、 $(\frac{3}{2}, 3) 、$ $(\frac{4}{3}, 4) 、$ $(3, \frac{3}{2}) 。$ 验算 $(\frac{3}{2}, 3) ：$ $\frac{1}{3/2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 。$
怎么选：哪个函数要配几次方，就给它那个指数。本题右边是 $\int g^{3} ，$ 所以给 $g$ 配 $q = 3 ，$ 另一个只能是 $p = \frac{3}{2} 。$

基础补课Hölder 的等号条件（第 2 讲 p26「Hölder 的等号条件」）

Hölder 的证明来自 Young 不等式： $a, b \geq 0$ 时 $ab \leq \frac{a ^{p}}{p} + \frac{b ^{q}}{q} ，$ 等号当且仅当 $a^{p} = b^{q}$ 。例： $p = \frac{3}{2}, q = 3 ，$ $a = 1, b = 1$ 时 $1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} ，$ 取等号； $a = 1, b = 2$ 时 $2 < \frac{2}{3} + \frac{8}{3} 。$
由此得到：若 $0 < E ∣ X ∣^{p} < \infty 、$ $0 < E ∣ Y ∣^{q} < \infty ，$ 则 Hölder 取等号 当且仅当 存在常数 $λ > 0 ，$ 使 $∣ X ∣^{p} = λ ∣ Y ∣^{q}$ 几乎必然成立。

基础补课幂函数的积分

对 $s > - 1 ，$ $\int_{0}^{1} x^{s} d x = [\frac{x ^{s + 1}}{s + 1}]_{0}^{1} = \frac{1}{s + 1} 。$ 本题用到： $\int_{0}^{1} x^{3/2} d x = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5} ；$ $\int_{0}^{1} x \cdot x d x = \int_{0}^{1} x^{3/2} d x = \frac{2}{5} 。$

基础补课「几乎处处相等」的函数，积分一样

若两个函数只在一个零测集上不同（例如只在有限个点上不同），它们的积分相同（第 1 讲第 43 页）。所以等号成立的函数只能「几乎处处」地确定： $g (x) = x$ 和「把 $g (\frac{1}{2})$ 改成 5」的函数，两边的积分都一样。

基础补课非负函数的积分为 0 ⟺ 它几乎处处为 0

设 $h \geq 0$ 可测。「⇐」是第 1 讲第 43 页引理 34。「⇒」：对每个正整数 $k ，$ $h \geq \frac{1}{k} 1_{{h > 1/ k}} ，$ 积分得 $\frac{1}{k} μ (h > \frac{1}{k}) \leq \int h = 0 ，$ 所以 $μ (h > \frac{1}{k}) = 0 ；$ ${h > 0} = ⋃_{k} {h > \frac{1}{k}}$ 是可数个零测集之并，测度为 0。等价的说法：若 $h > 0$ 几乎处处，则 $\int h > 0$ 。本题用它两次： $g > 0$ a.e. 推出 $\int g^{3} > 0 ；$ 等号情形里一个非负的「差」积分为 0，推出它几乎处处为 0。

题目与原解答

课件原文题目

Let $g > 0$ almost everywhere, and the inequality holds

(\int_{0}^{1} xg (x) d x)^{3} \leq \frac{4}{25} \int_{0}^{1} g^{3} (x) d x .

Finding all functions $\int_{0}^{1} ∣ g (x) ∣^{3} d x < \infty$ holding the equality.

中文翻译

设 $g > 0$ 几乎处处成立。证明不等式

(\int_{0}^{1} xg (x) d x)^{3} \leq \frac{4}{25} \int_{0}^{1} g^{3} (x) d x,

并在满足 $\int_{0}^{1} ∣ g (x) ∣^{3} d x < \infty$ 的函数中，找出所有使等号成立的 $g 。$

英文句子不太通顺，按意思应为：Let $g > 0$ a.e. with $\int_{0}^{1} ∣ g ∣^{3} < \infty$ . Show that the inequality holds, and find all $g$ for which equality holds.
放大核对过：左边是 $x g (x)$ 的积分再三次方，右边是 $g^{3}$ 的积分乘 $\frac{4}{25} ，$ 积分区间都是 $[0, 1] 。$
$g > 0$ 不能省：右边是 $g^{3}$ 而不是 $∣ g ∣^{3} 。$ 若 $g \equiv - 1 ，$ 左边 $= (- \frac{1}{2})^{3} = - 0.125 ，$ 右边 $= \frac{4}{25} \cdot (- 1) = - 0.16 ，$ $- 0.125 \leq - 0.16$ 不成立。

原解答的思路（左栏）：

用 Hölder（原解答没写名字）： $\int_{0}^{1} xg \leq (\int_{0}^{1} x^{3/2})^{2/3} (\int_{0}^{1} g^{3})^{1/3} ；$
两边三次方，算出 $(\int_{0}^{1} x^{3/2})^{2} = \frac{4}{25} ；$
等号：「只需」 $x^{3/2} = c g (x)^{3} ，$ $c \neq = 0 。$

不等式部分正确。等号部分只说明了「这样的 $g$ 能取等号」，没有证明「只有这样的 $g$ 能取等号」，而且 $c \neq = 0$ 应为 $c > 0 。$ 见「原解答逐行对照」。

思路：怎么想到的

左边是一个乘积的积分： $\int x \cdot g (x) d x 。$ 把乘积的积分拆成两个因子各自的「范数」相乘，正是 Hölder 不等式的功能。
右边告诉我们指数：右边是 $\int g^{3} ，$ 开三次方就是 $∥ g ∥_{3} 。$ 所以给 $g$ 配 $q = 3 ，$ 共轭指数 $p = \frac{3}{2} ；$ $x$ 配 $\frac{3}{2} ，$ 产生常数 $(\int x^{3/2})^{2/3} 。$ 左边再三次方，常数变成 $(\int x^{3/2})^{2} = \frac{4}{25} ，$ 正好对上。
Cauchy–Schwarz 为什么不行：它给出 $(\int xg)^{2} \leq \int x^{2} \int g^{2} = \frac{1}{3} \int g^{2} ，$ 右边是 $g^{2}$ 的积分，不是 $g^{3} ，$ 不是题目要的不等式。
等号条件：Hölder 的等号要求 $∣ X ∣^{p} \propto ∣ Y ∣^{q} ，$ 即 $x^{3/2} \propto g (x)^{3} ，$ 解出 $g \propto x 。$

完整解答

定理命题

设 $g$ 是 $[0, 1]$ 上的可测函数， $g > 0$ 几乎处处， $\int_{0}^{1} g^{3} < \infty 。$ 则

(\int_{0}^{1} xg (x) d x)^{3} \leq \frac{4}{25} \int_{0}^{1} g^{3} (x) d x,

等号成立当且仅当存在常数 $c > 0 ，$ 使 $g (x) = c x$ 对几乎所有 $x \in [0, 1]$ 成立。

推导证明思路

把 $[0, 1]$ 看成概率空间，用 $p = \frac{3}{2} 、$ $q = 3$ 的 Hölder 不等式，三次方后算出常数 $\frac{4}{25} 。$ 等号：先验证 $c x$ 取等号；再用 Hölder 的等号条件证明只有它们取等号。

第 1 步：Hölder 不等式。 令 $U$ 在 $[0, 1]$ 上均匀分布， $X = U ，$ $Y = g (U) 。$ 由 $g > 0$ a.e.， $X Y = Ug (U) \geq 0$ a.s.，所以 $E ∣ X Y ∣ = \int_{0}^{1} xg (x) d x 。$ 用 $p = \frac{3}{2} 、$ $q = 3$ 的 Hölder 不等式：

\int_{0}^{1} xg (x) d x \leq (\int_{0}^{1} x^{3/2} d x)^{2/3} (\int_{0}^{1} g (x)^{3} d x)^{1/3} .

（右边 $∣ g ∣^{3} = g^{3} ，$ 因为 $g > 0$ a.e.。）特别地，左边是有限的非负数。

第 2 步：三次方并算常数。 两边都是非负数， $t \mapsto t^{3}$ 在 $[0, \infty)$ 上严格递增，三次方保持不等号：

(\int_{0}^{1} xg)^{3} \leq (\int_{0}^{1} x^{3/2} d x)^{2} \int_{0}^{1} g^{3} = (\frac{2}{5})^{2} \int_{0}^{1} g^{3} = \frac{4}{25} \int_{0}^{1} g^{3} .

不等式得证。

第 3 步： $g = c x$ （ $c > 0 ）$ 取等号。 左边： $\int_{0}^{1} x \cdot c x d x = c \int_{0}^{1} x^{3/2} d x = \frac{2 c}{5} ，$ 三次方是 $\frac{8 c ^{3}}{125} 。$ 右边： $\frac{4}{25} \int_{0}^{1} c^{3} x^{3/2} d x = \frac{4}{25} \cdot \frac{2 c ^{3}}{5} = \frac{8 c ^{3}}{125} 。$ 相等。

第 4 步：只有 $g = c x$ 取等号。 设等号成立。三次方严格递增，所以第 1 步的 Hölder 不等式也取等号。验证等号条件的前提： $\int_{0}^{1} x^{3/2} = \frac{2}{5} \in (0, \infty) ；$ $g > 0$ a.e. 推出 $\int_{0}^{1} g^{3} > 0$ （先补基础「非负函数的积分为 0 ⟺ 它几乎处处为 0」），又 $\int g^{3} < \infty 。$ 由 Hölder 的等号条件，存在 $λ > 0 ，$ 使

x^{3/2} = λ g (x)^{3} 对几乎所有 x \in [0, 1] .

两边开三次方（ $g > 0 ），$ $g (x) = λ^{- 1/3} x^{1/2} 。$ 令 $c = λ^{- 1/3} > 0 ，$ 即 $g (x) = c x$ a.e.。 $■$

第 4 步的自足证明（不引用等号条件，直接用 Young）：记 $A = (\int_{0}^{1} x^{3/2})^{2/3} ，$ $B = (\int_{0}^{1} g^{3})^{1/3} ，$ 令 $a (x) = \frac{x}{A} ，$ $b (x) = \frac{g ( x )}{B} ，$ 则 $\int a^{3/2} = 1 ，$ $\int b^{3} = 1 。$ Young 不等式逐点给出

D (x) := \frac{2}{3} a (x)^{3/2} + \frac{1}{3} b (x)^{3} - a (x) b (x) \geq 0, \int_{0}^{1} D = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{\int xg}{A B} = 1 - \frac{\int xg}{A B} .

等号成立 ⟺ $\int xg = A B$ ⟺ $\int D = 0$ ⟺ $D = 0$ a.e.（ $D \geq 0 ，$ 用先补基础的同一条结论）⟺ $a^{3/2} = b^{3}$ a.e.（Young 的等号条件）⟺ $g (x)^{3} = \frac{B ^{3}}{A ^{3/2}} x^{3/2} = \frac{5}{2} (\int_{0}^{1} g^{3}) x^{3/2}$ a.e.，即 $g = c x 。$

原解答逐行对照

第 1 行 $g > 0$ a.e. and $x \in (0, 1)$ .

交代 $g$ 为正、 $x$ 在 $(0, 1)$ 中。 $g > 0$ 的作用：让 $∣ xg ∣ = xg ，$ $∣ g ∣^{3} = g^{3} ，$ Hölder 的左右两边才和题目的式子一致。

第 2 行 $\int_{0}^{1} xg (x) d x \leq (\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} d x)^{\frac{2}{3}} \cdot (\int_{0}^{1} g^{3} (x) d x)^{\frac{1}{3}}$ .

这是 $p = \frac{3}{2} 、$ $q = 3$ 的 Hölder 不等式，正确。最好写出名字和指数，并验证 $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 。$

第 3 行 $\Rightarrow (\int_{0}^{1} xg)^{3} \leq (\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}})^{2} \cdot \int_{0}^{1} g^{3} = \frac{4}{25} \cdot \int_{0}^{1} g^{3}$ .

三次方（两边非负，保号）， $\int_{0}^{1} x^{3/2} = \frac{2}{5} ，$ 平方得 $\frac{4}{25} 。$ 正确。

第 4 行 To hold the equality, we only need $x^{3/2} = c g (x)^{3}$ , $c$ is a constant s.t. $c \neq = 0$ .

意思是：要让等号成立，只需要 $x^{3/2} = c g (x)^{3} ，$ 其中 $c$ 是一个不为 0 的常数。

易错点原解答的问题：只证明了「充分」，c 的符号也不对

题目要「找出所有取等号的函数」，需要两个方向：这样的 $g$ 取等号（充分），而且取等号的只有这样的 $g$ （必要）。「we only need」只说了充分性。必要性要用 Hölder 的等号条件（完整解答第 4 步），原解答没有提。
$c \neq = 0$ 应为 $c > 0 ：$ 若 $c < 0 ，$ 则 $g (x)^{3} = x^{3/2} / c < 0 ，$ 与 $g > 0$ 矛盾。
应解出 $g$ 的显式形式并注明「几乎处处」： $g (x) = c x$ （ $c > 0 ），$ a.e. $x \in [0, 1] 。$ 原解答的 $c$ 和这里的 $c$ 不是同一个： $x^{3/2} = c_{0} g^{3}$ 等价于 $g = c_{0}^{- 1/3} x 。$

易错点原解答的问题：用的是 Hölder，不是 Cauchy–Schwarz

本题常被归为「Cauchy–Schwarz 的应用」，但三次方要求指数 $(\frac{3}{2}, 3) 。$ Cauchy–Schwarz（ $p = q = 2 ）$ 只能给出 $(\int xg)^{2} \leq \frac{1}{3} \int g^{2} ，$ 与题目不同。原解答实际用对了 Hölder，只是没有点名。

例子与数值验证

例 1：几个函数的比值

令 $R (g) = \frac{( \int _{0}^{1} xg ) ^{3}}{\int _{0}^{1} g ^{3}} ，$ 不等式说 $R (g) \leq \frac{4}{25} = 0.16 。$ Python 数值积分：

$g (x)$	$R (g)$
$1$	$0.125$
$x$	$0.1481$
$1 + x$	$0.1543$
$e^{x}$	$0.1572$
$x^{0.4}$	$0.1591$
$x^{0.6}$	$0.1593$
$x$	$0.16$
$3 x$	$0.16$

只有 $c x$ 达到 $0.16 ；$ 乘上常数 $c$ 不改变比值（分子、分母都乘 $c^{3} ）。$ 随机生成 2 万个 10 段的正阶梯函数，最大的比值是 $0.1522 ，$ 也没有超过 $0.16 。$

例 2：幂函数族——用微积分验证最优指数是 1/2

取 $g (x) = x^{β}$ （ $β \geq 0 ）。$ $\int_{0}^{1} x \cdot x^{β} = \frac{1}{β + 2} ，$ $\int_{0}^{1} x^{3 β} = \frac{1}{3 β + 1} ，$ 所以

R (x^{β}) = \frac{3 β + 1}{( β + 2 ) ^{3}} .

求最大值： $\frac{d}{d β} [ln (3 β + 1) - 3 ln (β + 2)] = \frac{3}{3 β + 1} - \frac{3}{β + 2} = 0 ⟺ 3 β + 1 = β + 2 ⟺ β = \frac{1}{2} ，$ 此时 $R = \frac{5/2}{( 5/2 ) ^{3}} = \frac{4}{25} 。$ 数值： $β$ 取 0.3、0.4、0.5、0.6、0.7 时， $R$ 依次是 0.1562、0.1591、0.16、0.1593、0.1575，在 $β = 0.5$ 处最大。和等号条件 $g \propto x$ 一致。

例 3（反例）：去掉 g > 0

$g \equiv - 1 ：$ 左边 $(- \frac{1}{2})^{3} = - 0.125 ，$ 右边 $- 0.16 ，$ 不等式不成立。原因：Hölder 管的是 $\int ∣ xg ∣$ 和 $\int ∣ g ∣^{3} ；$ $g$ 为负时 $\int g^{3}$ 是负数，比 $\int ∣ g ∣^{3}$ 小得多。若把右边改成 $\frac{4}{25} \int ∣ g ∣^{3} ，$ 不等式对所有 $g \in L^{3}$ 都成立（左边 $\leq ∣ \int xg ∣^{3} \leq (\int x ∣ g ∣)^{3} ）。$

拓展延伸

一般的形式：带权重的 Hölder

对非负权重 $w$ 和共轭指数 $p, q ，$

(\int w g)^{q} \leq (\int w^{p})^{q / p} \int g^{q} (g \geq 0),

等号当且仅当 $g^{q} \propto w^{p} ，$ 即 $g \propto w^{p / q} = w^{p - 1} 。$ 本题 $w = x ，$ $p = \frac{3}{2} ，$ $q = 3 ：$ 常数 $(\int x^{3/2})^{2} = \frac{4}{25} ，$ 最优函数 $g \propto x^{1/2} 。$ 把指数换成 $q = 4 、$ $p = \frac{4}{3} ，$ 就得到自测第 1 题。

4/25 是最好的常数

因为 $g = x$ 取到等号，任何比 $\frac{4}{25}$ 小的常数都会让不等式在 $g = x$ 处失败。所以「Hölder 不等式 + 等号条件」同时回答了两个问题：不等式成立，且常数不能再改进。

用「最优化」理解等号：拉格朗日乘子（直觉）

在约束 $\int g^{3} = 1$ 下让 $\int xg$ 最大：对 $g$ 的每个值做小扰动，一阶条件是 $x = 3 μg (x)^{2}$ （ $μ$ 是乘子），解出 $g \propto x 。$ 这只是启发式的计算，严格的证明是上面的 Hölder 等号条件，但它解释了为什么最优函数是 $x ：$ 在 $x$ 大的地方多放一点 $g ，$ 但 $g^{3}$ 的代价增长更快，平衡点是 $g \propto x^{1/2} 。$

常见疑问与易错点

易错点问：怎么知道该用 3/2 和 3，而不是别的指数？

答：看右边要什么。右边是 $\int g^{3} ，$ 所以 $g$ 必须配 $q = 3 ；$ 共轭指数唯一确定 $p = \frac{q}{q - 1} = \frac{3}{2} 。$ 左边三次方后， $x$ 那一项变成 $(\int x^{3/2})^{3 \cdot \frac{2}{3}} = (\int x^{3/2})^{2} ，$ 正好是 $\frac{4}{25} 。$

易错点问：等号条件为什么要求两个范数都在 (0, ∞) 里？

答：若某个范数是 0（例如 $g = 0$ a.e.），两边都是 0，等号自动成立，但「成比例」就说不清楚了；若是 $\infty ，$ 等式两边可能都是 $\infty 。$ 本题 $g > 0$ a.e. 保证 $\int g^{3} > 0 ，$ 题设保证 $\int g^{3} < \infty ，$ 正好落在等号条件适用的范围里。

易错点问：答案为什么要写「几乎处处」？

答：在一个零测集上改动 $g ，$ 两边的积分都不变，等号照样成立。例如 $g (x) = x$ （ $x \neq = \frac{1}{2} ）、$ $g (\frac{1}{2}) = 5$ 也取等号。所以只能说「 $g$ 几乎处处等于 $c x 」。$

小结与自测

小结本题小结

不等式是 $p = \frac{3}{2} 、$ $q = 3$ 的 Hölder： $\int_{0}^{1} xg \leq (\int_{0}^{1} x^{3/2})^{2/3} (\int_{0}^{1} g^{3})^{1/3} ，$ 三次方得常数 $(\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25} 。$
等号 ⟺ $x^{3/2} \propto g^{3}$ a.e. ⟺ $g (x) = c x$ a.e.， $c > 0 ；$ $\frac{4}{25}$ 是最佳常数。
$g > 0$ 不能去掉（ $g \equiv - 1$ 时不等式不成立）。
原解答要补的地方：必要性（Hölder 等号条件）； $c \neq = 0$ 应为 $c > 0 ；$ 写出 $g = c x$ 并注明 a.e.；点名 Hölder。

自测

1. 仿照本题，求最小的常数 $C$ 使 $(\int_{0}^{1} xg)^{4} \leq C \int_{0}^{1} g^{4}$ 对所有正的 $g \in L^{4}$ 成立，并写出等号条件。

点开看答案

用 $q = 4 、$ $p = \frac{4}{3}$ 的 Hölder： $\int_{0}^{1} xg \leq (\int_{0}^{1} x^{4/3})^{3/4} (\int_{0}^{1} g^{4})^{1/4} 。$ $\int_{0}^{1} x^{4/3} = \frac{3}{7} ，$ 四次方得 $C = (\frac{3}{7})^{3} = \frac{27}{343} \approx 0.0787 。$ 等号 ⟺ $x^{4/3} \propto g^{4}$ ⟺ $g = c x^{1/3}$ （ $c > 0 ），$ 这也说明 $C$ 是最小的。

2. 验证 $g (x) = 2 x$ 时两边相等。

点开看答案

左边： $\int_{0}^{1} x \cdot 2 x = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5} ，$ 三次方 $\frac{64}{125} 。$ 右边： $\frac{4}{25} \int_{0}^{1} 8 x^{3/2} = \frac{4}{25} \cdot \frac{16}{5} = \frac{64}{125} 。$ 相等。

3. 判断：「 $g (x) = x + 1_{{1/3}} (x)$ （只在 $x = \frac{1}{3}$ 一点上多加 1）也使等号成立。」

点开看答案

正确。它与 $x$ 只在一个点（零测集）上不同，两边的积分都不变，等号照样成立。这正是答案要写「几乎处处」的原因。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
Hölder 不等式	Hölder's inequality	E\|XY\| ≤ ‖X‖_p ‖Y‖_q（1/p + 1/q = 1）；p = q = 2 就是柯西–施瓦茨不等式。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
柯西–施瓦茨不等式	Cauchy–Schwarz inequality	E\|XY\| ≤ √(E X²) · √(E Y²)：Hölder 不等式取 p = q = 2 的特例。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。