高等概率论逐页精讲

小测 1 · 4 道题（附解答精讲）

收敛定理与两种收敛方式

Quiz 1 (with solutions)

4 道题：叙述 Fatou 引理与控制收敛定理，并用前者证明后者；几乎处处收敛时，「L¹ 收敛」等价于「绝对值的积分收敛」；Lᵖ 收敛下积分上界的保持。

从第 1 题开始 原解答问题速览

精讲已完成 4 / 4 题 · 已看懂 0 / 4 题

收敛定理Convergence theorems

  1. 01 叙述 Fatou 引理与控制收敛定理：每个条件都不能少State Fatou's lemma and the dominated convergence theorem 解答原页 第 1 页 · 叙述题
  2. 02 用 Fatou 引理证明控制收敛定理：从上下两边夹住Prove the dominated convergence theorem from Fatou's lemma 解答原页 第 1 页 · 证明题
  3. 03 几乎处处收敛时，L¹ 收敛 ⇔ 绝对值的积分收敛Under a.e. convergence, L¹ convergence iff ∫|fₙ| → ∫|f| 解答原页 第 1 页 · 证明题

Lᵖ 收敛Convergence in Lp

  1. 04 Lᵖ 收敛时，积分上界保持下来（其实积分本身也收敛）An Lp bound survives Lp convergence 解答原页 第 1–2 页 · 证明题

原解答问题速览2 道题 · 5 处

解答原页不是标准答案：下面是各题精讲里指出的笔误、跳步和错误（「题目」表示题面本身的问题）。点题目标题直接跳到那道题的「原解答逐行对照」，那里有正确写法。考前复习时，这些地方最容易丢分。

  1. 03几乎处处收敛时，L¹ 收敛 ⇔ 绝对值的积分收敛
    • 小问题⇒ 方向绕远了
    • 小问题「a.s.」与「a.e.」混用
  2. 04Lᵖ 收敛时，积分上界保持下来（其实积分本身也收敛）
    • 题目笔误一般测度下的 a.e. 收敛
    • 问题反证法写得混乱，而且没有必要
    • 问题子列结论的出处写错