一致可积 ⇔ L¹ 有界且一致绝对连续

这道题在问什么

• 考点：在两种「一致」的说法之间来回翻译。⇒ 方向把 $\mathbb{E}[|X_t|1_F]$ 拆成「$|X_t|$ 不大」和「$|X_t|$ 很大」两部分；⇐ 方向用 Markov 不等式说明「$|X_t|$ 很大」本身就是一个小概率事件。
• 和讲义的关系：Markov 不等式（第 2 讲 第 29 页）；单个可积函数的绝对连续性（作业 1 第 8 题，那是本题只有一个成员时的情形）。
• 为什么有用：条件 (ii) 常常比原定义更容易验证；它也是 Vitali 收敛定理证明里真正用到的性质。

先补基础

题目与原解答

• Proof the statement 应为 Prove the statement。
• (ii) 里的关键：$\delta$ 只依赖于 $\epsilon ，$不依赖于 $t，$也不依赖于 $F$。这叫一致绝对连续（uniformly absolutely continuous）；原解答称之为 uniform continuity property。

原解答的思路（左栏方框）：

• ⇒：取 UI 定义中的 $\lambda ；$$\mathbb{E}|X_t|\le \lambda +\epsilon$ 得 (i)；$\mathbb{E}[|X_t|1_F]\le \lambda \mathbb{P}(F)+\epsilon ，$取 $\delta =\epsilon /\lambda$ 得 (ii)。
• ⇐：由 (i) 和 Markov 不等式，$\mathbb{P}(|X_t|>\lambda )\le M/\lambda$ 对所有 $t$ 一致地小；把 (ii) 用在事件 $\{|X_t|>\lambda \}$ 上即得 UI。

原解答是正确的。下面补全细节，特别是 ⇐ 方向里「事件随 $t$ 变化」为什么没有问题。

思路：怎么想到的

• ⇒：UI 告诉我们：「$|X_t|$ 很大」的部分对期望贡献很小。任意事件 $F$ 上的贡献，可以拆成「$|X_t|\le \lambda 」$的部分（此时 $|X_t|$ 不超过 $\lambda ，$贡献不超过 $\lambda \mathbb{P}(F)，$$F$ 小它就小）和「$|X_t|>\lambda 」$的部分（UI 保证它小）。
• ⇐：要说明「$|X_t|>\lambda 」$部分贡献小。由 (ii)，只要这个事件的概率足够小。而 (i) 加 Markov 不等式恰好说明：$\lambda$ 大时，$\mathbb{P}(|X_t|>\lambda )$ 对所有 $t$ 一致地小。

完整解答

(⇒) UI ⇒ (i) 且 (ii)

(i)：在 UI 定义中取 $\epsilon =1，$得到 ${\lambda }_1，$使 $\mathbb{E}[|X_t|;|X_t|>{\lambda }_1]\le 1$ 对所有 $t$ 成立。于是

（第一项里 $|X_t|\le {\lambda }_1，$概率空间总概率为 1。）右边与 $t$ 无关，所以 ${\sup }_t\mathbb{E}|X_t|\le {\lambda }_1+1<\infty 。$

(ii)：给定 $\epsilon >0。$由 UI，取 $\lambda >0$ 使 $\mathbb{E}[|X_t|;|X_t|>\lambda ]\le \frac{\epsilon }{2}$ 对所有 $t$ 成立。令 $\delta =\frac{\epsilon }{2\lambda }。$对任意事件 $F$ 和任意 $t，$

第一项：在 $\{|X_t|\le \lambda \}$ 上被积函数 $\le \lambda ，$再丢掉条件 $|X_t|\le \lambda$ 只会让集合变大；第二项：丢掉 $F$ 只会让集合变大。若 $\mathbb{P}(F)<\delta ，$则

$\delta$ 只依赖于 $\epsilon$（经由 $\lambda ），$与 $t、$$F$ 无关，这就是 (ii)。

(⇐) (i) 且 (ii) ⇒ UI

记 $M:={\sup }_t\mathbb{E}|X_t|<\infty$（由 (i)）。给定 $\epsilon >0，$由 (ii) 取对应的 $\delta >0。$

第 1 步（大值事件的概率一致地小）：由 Markov 不等式，对任意 $\lambda >0$ 和所有 $t，$

取 ${\lambda }_0=\frac{M}{\delta }$（若 $M=0，$所有 $X_t=0$ a.s.，对每个 $\lambda$ 都有 $\mathbb{E}[|X_t|;|X_t|>\lambda ]=0，$不用再证）。当 $\lambda >{\lambda }_0$ 时，$\mathbb{P}(|X_t|>\lambda )<\delta$ 对所有 $t$ 成立。

第 2 步（用 (ii)）：固定 $\lambda >{\lambda }_0$ 和任意 $t，$令 $F_t:=\{|X_t|>\lambda \}。$由第 1 步，$\mathbb{P}(F_t)<\delta ，$所以由 (ii)，

这对所有 $t$ 成立，所以 ${\sup }_t\mathbb{E}[|X_t|;|X_t|>\lambda ]\le \epsilon$ 对所有 $\lambda >{\lambda }_0$ 成立，即 UI。$■$

关键细节：第 2 步用到的事件 $F_t$ 随 $t$ 而变。这没有问题，因为 (ii) 说的是「任意概率小于 $\delta$ 的事件」，对所有 $t$ 都成立，而 $\delta$ 是在选定 $t$ 之前就定好的。

原解答逐行对照

1. ⇒「Given any $\epsilon >0$, there exists $\lambda >0$ such that $\mathbb{E}[|X_t|1_{\{|X_t|>\lambda \}}]\le \epsilon$ for any $t」$：UI 的定义。
2. 「$\mathbb{E}|X_t|=\mathbb{E}[|X_t|1_{\{|X_t|\le \lambda \}}]+\mathbb{E}[|X_t|1_{\{|X_t|>\lambda \}}]\le \lambda +\epsilon 」$：得 (i)。正确。
3. 「$\mathbb{E}[|X_t|1_F]\le \lambda \mathbb{P}(F)+\mathbb{E}[|X_t|1_{\{|X_t|>\lambda \}}]<\lambda \mathbb{P}(F)+\epsilon 」$：正确（最后一个「$<」$应为「$\le 」，$无关紧要）。
4. 「Take $\delta \triangleq \epsilon /\lambda$. For $\mathbb{P}(F)<\delta$, it holds $\mathbb{E}[|X_t|1_F]<2\epsilon 」$：得到的是 $2\epsilon$ 而不是 $\epsilon 。$因为 $\epsilon$ 是任意的，这等价于 (ii)；更整齐的写法是一开始就用 $\frac{\epsilon }{2}$（上面的写法）。
5. ⇐「by Markov's inequality, $\mathbb{P}(|X_t|>\lambda )\le \frac{1}{\lambda }\mathbb{E}|X_t|\le \frac{1}{\lambda }M」$：正确。
6. 「given $\epsilon >0$ there exists $\lambda >0$ such that $\hat{\lambda }>\lambda \Rightarrow \mathbb{P}(|X_t|>\hat{\lambda })<\delta$, then $\mathbb{E}[|X_t|1_{\{|X_t|>\hat{\lambda }\}}]<\epsilon 」$：意思正确，即上面的第 1、2 步。原解答没有说明 $\delta$ 是由 (ii) 对这个 $\epsilon$ 给出的，也没有指出 $F$ 依赖于 $t$ 不碍事。

例子与数值验证

拓展延伸

常见疑问与易错点

小结与自测