高等概率论逐页精讲

小测 2 · 4 道题（附解答精讲）

收敛方式与一致可积

Quiz 2 (with solutions)

4 道题：Lᵖ 收敛推不出几乎必然收敛；一致可积的定义与等价刻画；独立随机变量序列的极限只能是常数。

从第 1 题开始 原解答问题速览

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收敛方式与一致可积Modes of convergence and uniform integrability

  1. 01 Lᵖ 收敛推不出几乎必然收敛：打字机序列与独立伯努利序列Convergence in Lp does not imply almost-sure convergence 解答原页 第 1 页 · 判断题
  2. 02 一致可积的定义：所有成员的「尾巴」一起变小Definition of uniform integrability 解答原页 第 1 页 · 叙述题
  3. 03 一致可积 ⇔ L¹ 有界且一致绝对连续UI iff bounded in L¹ and uniformly absolutely continuous 解答原页 第 1–2 页 · 证明题
  4. 04 独立序列依概率收敛时，极限只能是常数The limit of an independent sequence is a constant 解答原页 第 2 页 · 证明题

原解答问题速览2 道题 · 3 处

解答原页不是标准答案：下面是各题精讲里指出的笔误、跳步和错误（「题目」表示题面本身的问题）。点题目标题直接跳到那道题的「原解答逐行对照」，那里有正确写法。考前复习时，这些地方最容易丢分。

  1. 03一致可积 ⇔ L¹ 有界且一致绝对连续
    • 小问题⇒ 方向得到的是 2ε
  2. 04独立序列依概率收敛时，极限只能是常数
    • 问题几乎必然的情形其实不用单独证明
    • 问题依分布收敛只在连续点成立