效用函数：给偏好打分 · 第 1 讲 · 高级微观经济学

课件第 14 页：Utility Representation — 第 14 / 29 页Utility Representation

第 14 页 / 共 29 页

效用表示：用分数代替偏好

Utility Representation

一句话版

给每个选项打分，越喜欢分越高；只要排序对，“选最喜欢的”就变成了“选分数最高的”。选项有限时一定打得出分。

这一页在讲什么

偏好 $⪰$ 是对“两两比较”的描述，用起来不方便：选项一多，要记住的比较就非常多，也没法用微积分等数学工具。这一页引入效用函数：给每个选项打一个分数，让分数的高低正好反映偏好的排序。这样，“选最喜欢的”就变成“选分数最高的”，成为一个熟悉的最大化问题。

然后给出第一个结论 命题 3：选项有限时，任何理性偏好都能用分数表示。

先补基础

逐句读懂

意思：偏好是抽象的（只是一堆“谁不比谁差”的关系），所以用效用给出一个数值排序（numerical ranking）。

读法：如果对任意 $x, y$ ，“ $x ⪰ y$ ”当且仅当“ $u (x) \geq u (y)$ ”，就说函数 $u$ 表示（represents）偏好 $⪰$ 。
意思：这叫效用表示。“当且仅当”保证两个方向都对： $x$ 不比 $y$ 差，分数就不比 $y$ 低；分数不比 $y$ 低， $x$ 就不比 $y$ 差。由此还能推出 $x ≻ y ⟺ u (x) > u (y)$ 、 $x \sim y ⟺ u (x) = u (y)$ 。

意思：有了表示偏好的 $u$ ，选择规则就是“在菜单 $B$ 里选分数最高的那些”。第 5 页的“不比任何一个选项差”，变成了“分数不比任何一个选项低”，也就是拿到最高分。

意思：命题 3：如果选项只有有限个，那么任何完备、传递的偏好，都能找到一个效用函数 $u$ 来表示。

意思：证明（概要）：对选项个数 $∣ X ∣$ 归纳。给最好的选项打 $n + 1$ 分，再对剩下的选项重复同样的做法（recurse，递归）。

先打一次分：效用表示是什么样子

例子给小张的水果打分

小张的偏好（第 5 页）：芒果 $≻$ 苹果 $\sim$ 香蕉 $≻$ 橙子 $≻$ 梨。打分：

水果	芒果	苹果	香蕉	橙子	梨
$u$	4	3	3	2	1

检查“表示”：任取两个，例如苹果和橙子，苹果 $⪰$ 橙子，而 $u (苹果) = 3 \geq 2 = u (橙子)$ ，一致；橙子 $⪰$ 苹果不成立，而 $u (橙子) = 2 \geq 3$ 也不成立，一致。苹果和香蕉一样好，分数也相等。每一对都这样检查，都一致。

菜单 $B = {苹果, 香蕉, 橙子}$ 上， $ar g max_{y \in B} u (y) = {苹果, 香蕉}$ ，和第 5 页用定义算出的 $C (B; ⪰)$ 完全相同。

分数并不唯一。把每个分数都乘以 10、或者都取立方，排序不变，所以照样表示同一个偏好。下面的组件里可以拖动分数条，再换几种变换看看：只要变换是递增的，排序就不变；递减的变换会把排序整个颠倒。第 16 页会正式讨论这一点。

命题 3 的证明：从上往下逐层打分

证明的想法很直观：先找出最好的那一层，打最高分；把它们拿走，剩下的再找最好的一层，打次高分；一直做到全部打完。下面按课程阅读材料把它写成归纳证明。

证明拆解命题 3：有限选项的理性偏好可以用效用表示

对选项个数归纳，证明更具体的结论： $n$ 个选项时，可以找到表示 $⪰$ 的 $u$ ，而且分数都在 ${1, \dots, n}$ 里。

起点： $X$ 是空集（0 个选项）时没有需要打分的东西，结论成立。起点
归纳假设：任何不超过 $n$ 个选项的集合，都能这样打分。现在设 $X$ 有 $n + 1$ 个选项。归纳假设
由命题 1， $C (X; ⪰)$ 非空：最好的那一层至少有一个选项。给其中每个 $x$ 打 $u (x) = n + 1$ 。命题 1（第 6 页）
剩下的 $X - C (X; ⪰)$ 最多 $n$ 个选项。由归纳假设，在它上面可以打出表示 $⪰$ 的分数，都在 ${1, \dots, n}$ 里。归纳假设
验证“ $x ⪰ y \Rightarrow u (x) \geq u (y)$ ”。若 $x$ 在最好的一层， $u (x) = n + 1$ ，不低于任何分数。若 $x$ 不在最好的一层，那么 $y$ 也不在（否则 $y$ 不比任何选项差，由 $x ⪰ y$ 和传递性， $x$ 也不比任何选项差，与假设矛盾）。 $x$ 、 $y$ 都在剩下的部分，由第 4 步 $u (x) \geq u (y)$ 。传递性 + 第 4 步
验证“ $x ⪰ y$ 不成立 $\Rightarrow$ $u (x) \geq u (y)$ 不成立”。由完备性， $y ≻ x$ ，于是 $x$ 不在最好的一层（ $x$ 比 $y$ 差）。若 $y$ 在最好的一层， $u (y) = n + 1 > n \geq u (x)$ ；若不在，两者都在剩下的部分，由第 4 步 $u (y) > u (x)$ 。完备性 + 第 4 步
第 5、6 步合起来就是 $x ⪰ y ⟺ u (x) \geq u (y)$ 。由数学归纳法，命题对任意有限的 $X$ 成立。数学归纳法

例子按证明的步骤真的打一次分

还是小张的 5 种水果， $∣ X ∣ = 5$ ：

步骤	剩下的水果	最好的一层	打几分
1	芒果、苹果、香蕉、橙子、梨（5 个）	芒果	5
2	苹果、香蕉、橙子、梨（4 个）	苹果、香蕉	4
3	橙子、梨（2 个）	橙子	2
4	梨（1 个）	梨	1

得到 $u$ ：芒果 5、苹果 4、香蕉 4、橙子 2、梨 1。分数 3 没有用上（因为第 2 步一次拿走了两个），但这不要紧：只要排序对，分数取什么值都可以。

横向柱状图：芒果 5 分、苹果 4 分、香蕉 4 分、橙子 2 分、梨 1 分，右侧注明第 1 到第 4 轮，3 分处有一条虚线 — 图 1逐层打分的结果：每一轮拿走“剩下的里面最好的一层”，打的分依次是 5、4、2、1。同一轮拿走的水果颜色相同、分数相同。

这和选秀节目的淘汰赛正好反过来：每一轮不是淘汰最差的，而是请“剩下的人里最好的”先上领奖台。同一轮上台的并列，分数一样；越早上台，分数越高。图里 3 分处的虚线没有碰到任何柱子的末端，说明分数可以跳着打，只要先后顺序对就行。

例子

常见困惑

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课件第 15 页：Infinite Sets and Continuity — 第 15 / 29 页Infinite Sets and Continuity

第 15 页 / 共 29 页

无限多个选项：字典序偏好与连续性

Infinite Sets and Continuity

一句话版

像奖牌榜那样“先比金牌”的偏好，没法用任何分数表示；只要偏好不会“突然跳变”（连续），就一定能打分。

这一页在讲什么

第 14 页的命题 3 只管有限个选项。可是经济学里最常见的选项是商品组合：买 $x_{1}$ 斤苹果、 $x_{2}$ 斤香蕉， $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 可以是任何非负实数，选项有无穷多个。这时：

不是每个理性偏好都能用效用函数表示。反例是字典序偏好。
如果偏好还满足一个叫连续性的条件，就一定能用效用表示，而且效用函数是连续的（命题 4）。

先补基础

逐句读懂

意思：不是所有偏好 $⪰$ 都能用效用函数 $u$ 表示（即使它完备、传递）。

意思：例子：字典序偏好，优先看 $x_{1}$ ，再看 $x_{2}$ 。准确的定义见下一节。

意思：字典序偏好不存在任何实值效用函数来表示它。

读法：定义 6（连续性）：如果只要 $(x_{n}, y_{n})$ 趋向于 $(x, y)$ ，并且对所有 $n$ 都有 $x_{n} ⪰ y_{n}$ ，就一定有 $x ⪰ y$ ，那么称 $⪰$ 是连续的。
意思：连续性说的是：“不差于”这个关系在取极限时不会突然反转。每一对 $x_{n}$ 都不比 $y_{n}$ 差，那么它们的极限 $x$ 也不比 $y$ 差。

意思：命题 4：选项是 $n$ 种商品的组合，偏好完备、传递、连续，那么一定存在一个连续的效用函数表示它。“连续”的效用函数是指：组合变化一点点，分数也只变化一点点，不会突然跳。证明思路在第 16 页。

字典序偏好：像查字典一样比较

查字典时先比第一个字母，第一个字母相同再比第二个。字典序偏好比较两个组合也是这样：

若 $x_{1} > y_{1}$ ，则 $x ≻ y$ （第一种商品多的更好，不管第二种）；
若 $x_{1} = y_{1}$ 且 $x_{2} > y_{2}$ ，则 $x ≻ y$ （第一种一样多，再比第二种）；
只有 $x_{1} = y_{1}$ 且 $x_{2} = y_{2}$ 时， $x \sim y$ 。

字典序偏好是完备的（任意两个组合都能这样比出结果），也是传递的，所以它是理性偏好。它的奇怪之处是：两个不同的组合永远不会一样好，也就是说它没有“无差异曲线”，每个组合只和它自己无差异。

坐标图：竖线 x1 = 2 把平面分成左右两块，右边浅蓝色表示比 x 好，左边浅红色表示比 x 差；竖线上 x 点上方一段为蓝色、下方一段为红色 — 图 2字典序偏好下，和 x = (2, 1.5) 相比：右边整块（第一种商品更多）和正上方的一段都比 x 好；左边整块和正下方的一段都比 x 差。和 x 一样好的只有 x 自己。

对比一下普通的偏好：比如“两种商品加起来越多越好”时，和 $x$ 一样好的组合连成一条斜线（无差异曲线），比 $x$ 好的在线的右上方。字典序偏好下，这条线缩成了一个点，“好”和“差”的分界是一条竖线，而且在这条竖线上还要再按第二种商品分上下。下面要讲的连续性，正是被这条竖线“劈开”的：从右边无限靠近竖线下半段的点都比 $x$ 好，一走到竖线上就突然变差。

为什么字典序偏好找不到效用函数

课程阅读材料在脚注里给出了论证，这里用大白话讲一遍。假设某个 $u$ 表示字典序偏好，看看会出什么问题。

证明拆解字典序偏好不能用实值效用函数表示

对每个实数 $α \geq 0$ ，看两个组合 $(α, 0)$ 和 $(α, 1)$ 。第一个分量相同，第二个分量 $1 > 0$ ，所以 $(α, 1) ≻ (α, 0)$ ，于是 $u (α, 1) > u (α, 0)$ 。字典序的定义 + $u$ 表示偏好
所以每个 $α$ 都在数轴上占了一段“专属区间” $I_{α} = (u (α, 0), u (α, 1))$ ，长度大于 0。第 1 步
取两个不同的数 $α < β$ 。因为 $β > α$ ， $(β, 0) ≻ (α, 1)$ ，所以 $u (β, 0) > u (α, 1)$ ：区间 $I_{β}$ 整个在 $I_{α}$ 的右边，两段不重叠。字典序的定义
任何一段长度大于 0 的区间里都有有理数。从每段 $I_{α}$ 里挑一个有理数，不同的 $α$ 挑到的有理数一定不同（区间不重叠）。有理数的性质
这样就给每个非负实数 $α$ 配上了一个不同的有理数。可是有理数可数、实数不可数，有理数不够分。矛盾。可数与不可数
所以这样的 $u$ 不存在。反证法

直观地说：实数轴上“放得下”的互不重叠的区间只有可数多段，而字典序偏好需要给每个实数 $α$ 都留一段，数轴装不下。

字典序偏好违反连续性

下面的组件演示这个例子：拖动 $n$ ，看 $x_{n}$ 怎样逼近 $(0, 0)$ 、每一项和 $y$ 的比较结果，以及极限处的突然反转；切换到“比较器”，可以拖动两个点做字典序比较。

例子

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课件第 16 页：Proof Idea of Proposition 4 — 第 16 / 29 页Proof Idea of Proposition 4

第 16 页 / 共 29 页

命题 4 的证明思路：用 45° 线给组合打分；效用不唯一

Proof Idea of Proposition 4

一句话版

给组合打分的一个办法：看它和“每样各几份”一样好，几份就算几分。但分数只是排序工具，不能拿来比较两个人谁更快乐。

这一页在讲什么

第 15 页的命题 4 说：连续的理性偏好一定能用连续的效用函数表示。这一页给出证明的思路（在一个简化的情形下），然后由此引出两个重要结论：

效用函数不唯一：同一个偏好可以用无数个效用函数表示。
因此，效用不能在人与人之间比较。

先补基础

逐句读懂

意思：为了让证明简单，额外假设偏好严格单调（越多越好），选项是 $n$ 种商品的非负组合。一般情形的证明更复杂，这里不讲。

意思：对每个组合 $x$ ，找一个数 $α (x)$ ，使得“每种商品各 $α (x)$ 份”的组合和 $x$ 一样好。

意思：就用这个 $α (x)$ 当作 $x$ 的效用。

意思：这样定义的 $u$ 一定表示 $⪰$ ；偏好连续保证 $u$ 也连续（这一部分较难，阅读材料也省略了，指向 MWG 第 3.C 节；MWG 是 Mas-Colell、Whinston、Green 三人合写的研究生教材）。

意思：直观地说， $α (x)$ 就是“经过 $x$ 的无差异曲线与 45° 线的交点”的坐标。

意思：效用不唯一：对 $u$ 做任何递增变换得到的 $v (u (\cdot))$ ，也表示同一个 $⪰$ 。所以不能在人与人之间比较效用的高低。后两节详细解释。

构造：把每个组合“搬”到 45° 线上

两种商品时，经过 $x$ 的无差异曲线是所有和 $x$ 一样好的组合连成的线。沿着这条线走，总会碰到 45° 线，交点是 $(α, α)$ 。于是“ $x$ 和每种各 $α$ 份一样好”，就给 $x$ 打 $α$ 分。

坐标图：两条向右下弯的无差异曲线和一条 45° 虚线，蓝色曲线过点 x 并在 (2,2) 与虚线相交，绿色曲线过点 y 并在 (3,3) 相交 — 图 3偏好由 x₁x₂ 的大小决定时：经过 x = (1, 4) 的无差异曲线在 (2, 2) 穿过 45° 线，所以 u(x) = 2；经过 y = (4.5, 2) 的曲线在 (3, 3) 穿过，所以 u(y) = 3，y 更好。

读图的顺序：先找到点 $x$ ，顺着它所在的蓝色曲线滑到虚线上，落点的横坐标就是 $x$ 的分数。生活中的类比是“折算成标准套餐”：一份“1 块蛋糕 + 4 杯奶茶”的组合，你觉得和“2 块蛋糕 + 2 杯奶茶”一样好，就说它值“2 份标准套餐”。所有组合都折算成标准套餐的份数，就能直接比大小了。

下面的组件画出了这三种偏好的无差异曲线。拖动点 $x$ ，看它的无差异曲线在哪里穿过 45° 线；再拖动点 $y$ ，比较 $α (x)$ 和 $α (y)$ 的大小是否和偏好一致。

效用不唯一：递增变换

阅读材料说，用 45° 线打分“完全是任意的”，只是数学上方便。设 $u$ 表示 $⪰$ ， $v$ 严格递增，令 $U (x) = v (u (x))$ 。那么

x ⪰ y ⟺ u (x) \geq u (y) ⟺ v (u (x)) \geq v (u (y)) ⟺ U (x) \geq U (y) .

中间那一步成立，是因为严格递增的 $v$ 不改变大小关系。所以 $U$ 也表示 $⪰$ 。这就是递增变换。例如上面第一种偏好可以用 $x_{1} x_{2}$ ，也可以用 $x_{1} x_{2}$ 、 $10 x_{1} x_{2} + 3$ 表示。效用只有排序的意义，叫作序数效用。第 14 页的组件演示过这一点。

不能做人际比较

这对政策分析很重要：比如“把富人的 100 元转给穷人，社会总效用是否增加”，单靠序数效用回答不了。第 17 页介绍两种试图绕开这个问题的思路。

例子

常见困惑

这一页的要点

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课件第 17 页：Variants of Utility — 第 17 / 29 页Variants of Utility

第 17 页 / 共 29 页

效用的两种变体：无知之幕与“刚可察觉差异”

Variants of Utility

一句话版

普通的效用分数不能拿来比较两个人。这一页介绍两种想让它“能比”的办法：假想自己可能变成任何一个人（无知之幕），或者把“刚好能察觉的差别”当作一个单位。

这一页在讲什么

第 16 页的结论是：从选择中推出的效用只表示排序，可以任意做递增变换，所以不能比较“同一样东西对你和对我谁更有价值”。可是很多政策问题恰恰需要这种比较，比如“把一份食物从吃饱的人那里转给饥饿的人，社会是不是更好了”。

这一页介绍课程阅读材料里提到的两种变体，它们试图给效用的“大小”赋予意义：

无知之幕：让人在不知道自己会成为谁的情况下做选择；
刚可察觉差异：把“人刚好能察觉的差别”当作效用的一个单位。

先补基础

逐句读懂

意思：人际比较：用“无知之幕”式的论证。下一节解释。

读法：刚可察觉差异： $x$ 严格好于 $y$ ，当且仅当 $u (x)$ 至少比 $u (y)$ 高 1。
意思：分数相差不到 1 时，人察觉不出区别，觉得一样好；相差达到 1，才觉得一个比另一个好。这里的“1”就是一个“刚好能察觉的差别”。

意思：它描述了人对小变化不敏感、对大变化才有反应的特点。

无知之幕：假想自己可能成为任何一个人

无知之幕（veil of ignorance）这个说法因哲学家罗尔斯（Rawls）而广为人知。设想你站在一块幕布后面，不知道幕布拉开后自己会是社会里的哪一个人，然后让你来定分配规则。

阅读材料提到两点：

这类论证要用到“不确定下的选择”（不知道自己会成为谁），所以会在讲完第 3 讲的期望效用理论后再回来讨论。
批评：它依赖的是假想的选择，而不是真实的选择。批评者认为，人们嘴上说的“我会怎么选”，不一定可靠，也不能像真实选择那样拿来预测行为。

刚可察觉差异：小变化感觉不出来

刚可察觉差异（just noticeable difference）来自心理学：人对很小的差别感觉不到。生活中的例子很多：

奶茶的七分糖和八分糖，大多数人喝不出区别；三分糖和全糖，一口就能分辨。
体重差 0.1 公斤，你自己察觉不到；差 2 公斤，衣服就会变紧。

用效用来描述：取一个“刚好能察觉”的差距作为 1 个单位，

x ≻ y ⟺ u (x) \geq u (y) + 1, x \sim y ⟺ ∣ u (x) - u (y) ∣ < 1.

第二个式子的意思是：两边谁也不比谁“明显好”，就觉得一样好。

例子三杯咖啡：一样好不再“传递”

三杯咖啡 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，甜度依次增加，对应的分数是 $u (a) = 0$ 、 $u (b) = 0.6$ 、 $u (c) = 1.2$ 。

比较	分数差	结论
$a$ 和 $b$	$0.6 < 1$	$a \sim b$ ，喝不出区别
$b$ 和 $c$	$0.6 < 1$	$b \sim c$ ，喝不出区别
$a$ 和 $c$	$1.2 \geq 1$	$c ≻ a$ ，喝得出来

$a \sim b$ 、 $b \sim c$ ，却没有 $a \sim c$ 。“一样好”在这里不传递。

数轴上三个点 a=0、b=0.6、c=1.2，相邻两点之间是绿色小弧，标着 a∼b 和 b∼c；a 到 c 之间是红色大弧，标着 c≻a — 图 4刚可察觉差异：相邻两杯只差 0.6 个单位，察觉不出；隔一杯差 1.2 个单位，察觉得出。所以 a ∼ b、b ∼ c，却有 c ≻ a。

读图时注意弧的颜色：绿色的小弧连接相邻的两杯，差距不到 1，是“一样好”；红色的大弧跨过中间那一杯，差距超过 1，是“更好”。一步一步加一点点糖，每一步都尝不出区别，加了很多步以后却一下子尝出来了。

相比之下，严格偏好 $≻$ 仍然是传递的：如果 $u (x) \geq u (y) + 1$ 且 $u (y) \geq u (z) + 1$ ，两式相加得 $u (x) \geq u (z) + 2 \geq u (z) + 1$ ，所以 $x ≻ z$ 。阅读材料指出，这是一种和前面根本不同的理论：在前面的理论里 $≻$ 和 $\sim$ 都传递，这里只有 $≻$ 传递。

动手试试

下面把三杯咖啡放在一条数轴上。左右拖动三个点改变分数，弧线标出每两杯相差多少、喝不喝得出，右边的表把三组比较列出来。

试着找一组分数，让三杯两两之间都喝得出区别。这时还会出现矛盾吗？想一想上面说的“ $≻$ 仍然是传递的”。

用刚可察觉差异做人际比较

有了“1 个单位 = 刚好能察觉的差别”，效用的差距就有了实际意义，可以在人与人之间比较。阅读材料用它来说明“食物对饥饿的人比对吃饱的人更有价值”：

从吃饱的人那里拿走一小份食物，他可能根本察觉不到，效用的变化不到 1 个单位；
把这份食物给饥饿的人，他会明显感觉变好，效用的变化至少 1 个单位。

所以这样一次转移，让一个人明显变好、另一个人几乎没感觉，可以说是一次改进。这正是“对小变化不敏感、对大变化反应更强”在人际比较中的用法。