显示偏好：从看到的选择反推偏好 · 第 1 讲 · 高级微观经济学

课件第 8 页：Choice and Revealed Preferences — 第 8 / 29 页Choice and Revealed Preferences

第 8 页 / 共 29 页

选择与显示偏好：反过来，从看到的选择推偏好

Choice and Revealed Preferences

一句话版

偏好藏在心里，选择却看得见：只看一个人每次选了什么，能不能判断他有一套稳定、不自相矛盾的口味？

这一页在讲什么

第 3–7 页走的方向是：先有偏好，再推出选择。给定 $⪰$ ，用 $C (B; ⪰)$ 算出这个人会选什么。

可是在现实中，偏好藏在人的心里，谁也看不见；我们能看到的只有选择：他买了什么、存了多少钱、选了哪个专业。所以做实证研究时，方向要反过来：

先看到选择，再问它背后有没有一套理性偏好。

这一页提出这个问题，第 9–12 页给出完整的答案（HARP 和命题 2），第 13 页讨论现实数据的局限。

先补基础

逐句读懂

意思：到目前为止，我们是从偏好推出（derive）选择：已知 $⪰$ ，算 $C (B; ⪰)$ 。

意思：做实证时反过来：观察（observe）选择，推断（infer）偏好。
课程阅读材料举的例子是：看一个人存了多少钱、买了什么车，然后推断他的偏好。

意思：问题：观察到的选择，能不能被某个完备、传递的偏好合理化？
换句话说：是否存在一套理性偏好 $⪰$ ，使得对每一份观察到的菜单 $B$ ，这个人实际选的东西都恰好等于 $C (B; ⪰)$ ？

从选择“读出”偏好：显示偏好的想法

最基本的推断是这样的：

某次菜单上有 $y$ ，他却选了 $x$ ，那么在他看来， $x$ 至少和 $y$ 一样好。

这叫 $x$ 被 显示偏好（revealed preferred）于 $y$ ：偏好本来看不见，但通过选择“显示”了出来。第 11 页会把它写成正式定义 $x ⪰_{c} y$ 。

研究这个问题有两个用处：

检验理论。如果一个人的选择无论如何都不能被理性偏好合理化，理性选择模型对这个人就不成立。能被数据否定，理论才有科学意义（第 10 页称之为“可检验的预测”）。
推断偏好。如果能合理化，显示出来的偏好就告诉我们这个人喜欢什么。第 2 页说的福利分析正是用这种从选择推出的偏好来评价政策。

例子

例子能被合理化：小明一周的午饭

小明食堂的窗口每天只开两个，我们记录了他三天的选择：

日期	当天的菜单	他选了	显示出的偏好
周一	牛肉面、盖浇饭	牛肉面	牛肉面 $⪰$ 盖浇饭
周二	牛肉面、炸鸡	炸鸡	炸鸡 $⪰$ 牛肉面
周三	盖浇饭、炸鸡	炸鸡	炸鸡 $⪰$ 盖浇饭

试一试偏好炸鸡 $≻$ 牛肉面 $≻$ 盖浇饭：它完备、传递，按它来选，周一选牛肉面、周二选炸鸡、周三选炸鸡，和记录完全一致。所以小明的选择可以被理性偏好合理化。

例子不能被合理化：小刚一周的午饭

同样的三份菜单，小刚的记录是：

日期	当天的菜单	他选了
周一	牛肉面、盖浇饭	牛肉面
周二	盖浇饭、炸鸡	盖浇饭
周三	牛肉面、炸鸡	炸鸡

假设有一套理性偏好能解释它。周一他只选牛肉面、没选盖浇饭，说明牛肉面 $≻$ 盖浇饭（如果两者一样好，盖浇饭也应在最优选择集里）。同理，周二说明盖浇饭 $≻$ 炸鸡，周三说明炸鸡 $≻$ 牛肉面。

由传递性，牛肉面 $≻$ 盖浇饭 $≻$ 炸鸡推出牛肉面 $≻$ 炸鸡，与周三的炸鸡 $≻$ 牛肉面矛盾。所以找不到任何理性偏好能解释小刚的选择，这是第 3 页“偏好循环”在数据里的样子。

左右两个三角形图，节点是炸鸡、牛肉面、盖浇饭；左图蓝色箭头都从炸鸡出发、再从牛肉面指向盖浇饭；右图红色箭头首尾相接成环 — 图 1把三天的记录画成箭头：每条箭头从当天选中的菜指向当天没选的菜。小明的箭头能排成一条链，小刚的箭头绕成一个圈。

读图时，把箭头当作“这一天显示出的偏好”。左图三条箭头都顺着“炸鸡 $\to$ 牛肉面 $\to$ 盖浇饭”的方向，能排成一张榜；右图从任何一道菜出发顺着箭头走，最后都会回到自己，和第 3 页的循环一样，排不成榜。只看选择、不问心里怎么想，就已经能判断出小刚的选择不理性。

常见困惑

这一页的要点

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课件第 9 页：Choice Rule (as primitive) — 第 9 / 29 页Choice Rule (as primitive)

第 9 页 / 共 29 页

把选择规则当作出发点，以及 HARP

Choice Rule (as primitive)

一句话版

把“每份菜单上选了什么”当成数据；HARP 是一条只看数据就能检查的“前后不打架”的规则。

这一页在讲什么

第 5 页的选择规则写作 $C (B; ⪰)$ ，它是从偏好算出来的。这一页换一个出发点：把选择规则本身当作已知的东西（primitive，“原始对象”），因为数据给我们的正是“每份菜单上选了什么”。写法上去掉偏好，只写 $C (B)$ 。

然后定义一个只看选择、不提偏好的条件：HARP（Houthakker 显示偏好公理）。第 10 页会证明：选择能被理性偏好解释，恰好等价于满足 HARP。

先补基础

分四层的图：最下层是空集，往上依次是三个单元素集合、三个两元素集合和最上面的 {x,y,z}，相邻层之间用细线相连 — 图 2X = {x, y, z} 的全部 8 个子集，也就是 𝓑 的 8 个元素。连线表示“多加一个选项”。蓝色的 7 个是可能的菜单，灰色的空集不算菜单。

这张图从下往上读：每往上一层，菜单里就多一个选项。比如外卖平台上同一家店，有时只上架了 $x$ 一样（第二层），有时上架了 $x$ 、 $y$ 两样（第三层），有时三样全有（最上层）。 $B$ 就是这张图里所有的方框；选择规则 $C$ 要对每个蓝色方框给出一个答案。

逐句读懂

读法：定义 3：设 $B$ 是 $X$ 的子集组成的集合。选择规则是一个函数 $C : B \to B$ ，满足对所有 $B \in B$ ， $C (B) \subseteq B$ 。
意思：选择规则给每份菜单 $B$ 指定“被选中的那些选项” $C (B)$ 。唯一的要求是 $C (B) \subseteq B$ ：只能从菜单上选，不能选菜单外的东西。
$C (B)$ 可以有几个元素，表示这几个他都愿意要（一样好）。

意思：实证上，我们通过观察选择来了解 $C$ 。阅读材料补充说，原则上要看到他在 $X$ 的所有子集上的选择，才能完全知道 $C$ 。第 13 页会说明这在现实中做不到。

意思：问题：什么时候 $C$ 和“偏好最大化”一致？也就是第 8 页的问题：什么时候存在理性偏好 $⪰$ ，使得每份菜单都有 $C (B) = C (B; ⪰)$ ？

读法：定义 4：如果下面的条件成立，就说选择规则 $C$ 满足 Houthakker 显示偏好公理（HARP）：只要 $x$ 、 $y$ 都在 $A \cap B$ 里， $x \in C (A)$ ， $y \in C (B)$ ，就有 $x \in C (B)$ ， $y \in C (A)$ 。
意思：和第 6 页命题 1 的结论 (2) 一字不差，只是把 $C (\cdot; ⪰)$ 换成了观察到的 $C (\cdot)$ 。命题 1 说“理性偏好产生的选择一定满足它”；现在把它当作检验选择数据的标准。
Houthakker 是提出这个条件的经济学家。“公理”（axiom）在这里就是“一条要求”。

怎样用 HARP 检查数据

HARP 的条件有点长，可以换成一个好用的说法：

违反 HARP，就是存在这样的情况：某份菜单上 $y$ 也在、他选了 $x$ ；另一份菜单上 $x$ 也在、他选了 $y$ ，却没选 $x$ 。

道理是：第一份菜单说明 $x$ 至少和 $y$ 一样好，第二份菜单说明 $y$ 至少和 $x$ 一样好，所以两者一样好；那么第二份菜单里选了 $y$ ，就应该也选 $x$ 。

例子满足 HARP 的选择规则

$X = {x, y, z}$ ，观察到的选择是（单元素菜单只能选它自己，不列出）：

菜单 $A$	${x, y}$	${x, z}$	${y, z}$	${x, y, z}$
$C (A)$	${x}$	${x}$	${y}$	${x}$

检查： $x$ 只要在场就被选中； $y$ 只在没有 $x$ 的 ${y, z}$ 里被选中。找不到“ $y$ 在有 $x$ 的菜单里被选中”的情况，HARP 成立。这组选择正好是偏好 $x ≻ y ≻ z$ 产生的。

例子违反 HARP 的选择规则

把上表的第一列改掉：

菜单 $A$	${x, y}$	${x, z}$	${y, z}$	${x, y, z}$
$C (A)$	${y}$	${x}$	${y}$	${x}$

取 $A = {x, y, z}$ 、 $B = {x, y}$ ： $x$ 、 $y$ 两份菜单都有， $x \in C (A)$ ， $y \in C (B)$ 。HARP 要求 $x \in C (B)$ ，但 $C (B) = {y}$ 。违反。

直观地说：有 $z$ 在场时他要 $x$ 不要 $y$ ； $z$ 不在时他却要 $y$ 不要 $x$ 。一个和 $x$ 、 $y$ 都无关的选项，改变了 $x$ 和 $y$ 的排名。

下面的组件里可以自己设定每份菜单选了什么（可以多选，表示一样好），它会检查 HARP，并列出从选择中“显示”出来的偏好。三个预设分别对应上面两个例子和“全部一样好”。

例子

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课件第 10 页：Proposition 2 — 第 10 / 29 页Proposition 2

第 10 页 / 共 29 页

命题 2：能被理性偏好解释，当且仅当满足 HARP

Proposition 2

一句话版

选择数据满足 HARP，就一定能找到一套理性偏好来解释它；不满足，就一定找不到。判断“理性”只需查这一条。

这一页在讲什么

这一页给出第 8 页问题的完整答案：

观察到的选择能被理性偏好解释，当且仅当它满足 HARP。

“当且仅当”意味着两件事同时成立：理性偏好产生的选择一定满足 HARP；反过来，只要满足 HARP，就一定能找到一套理性偏好来解释它。所以要判断一组选择是否“理性”，只需检查 HARP 这一个条件，不用去猜无穷多种可能的偏好。

先补基础

逐句读懂

读法：命题：如果选择规则 $C : B \to B$ 非空，那么“存在一个完备、传递的 $⪰$ ，使得 $C (\cdot) = C (\cdot; ⪰)$ ”当且仅当“ $C$ 满足 HARP”。
结构：前提是“ $C$ 非空”。在这个前提下，两句话等价：
- P：存在理性偏好 $⪰$ ，按它选正好得到 $C$ （ $C$ 能被合理化）；
- Q： $C$ 满足 HARP。
阅读材料的说法是： $C$ 可能是某人最大化完备、传递偏好的结果，当且仅当 $C$ 满足 HARP。

两个方向分别在说什么

方向	说的是	证明靠什么	用处
$P \Rightarrow Q$	理性偏好产生的选择一定满足 HARP	命题 1 的结论 (2)（第 11 页）	违反 HARP，就否定理性模型
$Q \Rightarrow P$	满足 HARP，就能找到一套理性偏好解释它	构造显示偏好 $⪰_{c}$ （第 11–12 页）	满足 HARP，数据就否定不了理性模型

两个方向合起来说明：HARP 正好是理性选择理论对选择数据的全部限制，不多也不少。理论对数据提出的这种限制叫作可检验的预测：数据违反它，理论就被否定；数据满足它，这份数据就否定不了理论。

流程图：顶部方框是观察到的选择，向下到菱形“满足 HARP 吗？”，左边“是”通向绿色方框“能被理性偏好解释”，右边“否”通向红色方框“任何完备、传递的偏好都解释不了” — 图 3命题 2 的用法：拿到选择数据后只需检查 HARP 这一个条件。满足就走左边，不满足就走右边，不会出现第三种情况。

这张流程图就像医院的化验单：化验一项指标（HARP），结果只有“阳性”和“阴性”两种，各自对应一个确定的结论。命题 2 的价值在于，这一项指标就足以下结论，不需要把所有可能的偏好一个个试过去。

为什么要求 $C$ 非空

如果允许 $C (B) = \emptyset$ ，HARP 可能成立，选择却解释不了。

例子

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课件第 11 页：Proof of Proposition 2 (Sketch, Part I) — 第 11 / 29 页Proof of Proposition 2 (Sketch, Part I)

第 11 页 / 共 29 页

命题 2 的证明（上）：必要性，以及显示偏好的完备性

Proof of Proposition 2 (Sketch, Part I)

一句话版

要证明“满足 HARP 就能解释”，办法是直接从数据里读出偏好：只要 y 在场时选过 x，就记作 x 不比 y 差。

这一页在讲什么

命题 2 是“当且仅当”，要证两个方向（第 10 页）：

（ $\Rightarrow$ ） 能被理性偏好解释 $\Rightarrow$ 满足 HARP。这个方向很短，命题 1 已经做完了。
（ $\Leftarrow$ ） 满足 HARP $\Rightarrow$ 能被理性偏好解释。要证明“存在”一套偏好，最直接的办法是把它造出来。造法是从选择数据里“读”出偏好，叫显示偏好关系 $⪰_{c}$ 。

造出来以后要验证三件事：

$⪰_{c}$ 是完备的（这一页）；
$⪰_{c}$ 是传递的（第 12 页）；
按 $⪰_{c}$ 来选，正好得到观察到的选择： $C (\cdot) = C (\cdot; ⪰_{c})$ （第 12 页）。

先补基础

逐句读懂

意思：假设存在某个完备、传递的 $⪰$ ，使得 $C (\cdot) = C (\cdot; ⪰)$ 。那么由命题 1， $C$ 满足 HARP。
下面会说明为什么命题 1 可以直接用。

读法：假设 $C$ 满足 HARP。定义显示偏好关系：如果存在某个菜单 $A \subseteq X$ ， $y \in A$ 且 $x \in C (A)$ ，就记 $x ⪰_{c} y$ 。
意思：只要有过一次“ $y$ 摆在面前， $x$ 被选中”，就说 $x$ 被显示偏好于 $y$ 。下标 $c$ 提醒我们：这个关系是从选择 $C$ 里读出来的，不是事先给定的。

意思：证明 $⪰_{c}$ 完备。任取 $x$ 、 $y$ ，看两元素菜单 ${x, y}$ 上的选择，只有三种可能，每一种都让 $x$ 和 $y$ 之间至少有一个方向的 $⪰_{c}$ 成立。

方向（ $\Rightarrow$ ）：为什么一句话就够

显示偏好 $⪰_{c}$ ：一个具体例子

定义只是“查表”。用第 9 页满足 HARP 的那组选择（ $X = {x, y, z}$ ）：

菜单 $A$	${x}$	${y}$	${z}$	${x, y}$	${x, z}$	${y, z}$	${x, y, z}$
$C (A)$	${x}$	${y}$	${z}$	${x}$	${x}$	${y}$	${x}$

逐对查“有没有一份菜单， $b$ 在里面而 $a$ 被选中”：

$a ⪰_{c} b$ ?	$b = x$	$b = y$	$b = z$
$a = x$	是，证据 ${x}$	是，证据 ${x, y}$	是，证据 ${x, z}$
$a = y$	否	是，证据 ${y}$	是，证据 ${y, z}$
$a = z$	否	否	是，证据 ${z}$

比如 $y ⪰_{c} x$ 为“否”： $y$ 只在 ${y}$ 和 ${y, z}$ 中被选中，这两份菜单里都没有 $x$ 。读出来的偏好是 $x ≻_{c} y ≻_{c} z$ ，正是第 9 页说的那套偏好。

左边四张菜单卡片：{x,y} 中 x 被绿圈标出，{x,z} 中 x 被标出，{y,z} 中 y 被标出，{x,y,z} 中 x 被标出。右边三个圆圈 x、y、z 排成三角形，箭头从 x 指向 y（证据 {x,y}）、从 x 指向 z（证据 {x,z}）、从 y 指向 z（证据 {y,z}） — 图 4从选择读出显示偏好。（a）观察到的选择，绿圈是被选中的选项（只有一个选项的菜单省略）；（b）每找到一份“b 在里面、a 被选中”的菜单，就画一条箭头 a→b，表示 a⪰_c b，箭头旁写着作为证据的菜单。三条箭头排出 x≻_c y≻_c z。

读图（b）： $x$ 发出两条箭头、没有箭头指向它，排第一； $y$ 收到一条、发出一条，排第二； $z$ 只收不发，排最后。反方向的箭头一条都没有，所以每一对都是“严格”的： $x ≻_{c} y$ 、 $y ≻_{c} z$ 、 $x ≻_{c} z$ 。

完备性的证明，补全细节

$x = y$ 的情况也包含在内：菜单 ${x}$ 只能选 $x$ ，所以 $x ⪰_{c} x$ 。

例子

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课件第 12 页：Proof of Proposition 2 (Sketch, Part II) — 第 12 / 29 页Proof of Proposition 2 (Sketch, Part II)

第 12 页 / 共 29 页

命题 2 的证明（下）：传递性，以及“按显示偏好选”正好还原选择

Proof of Proposition 2 (Sketch, Part II)

一句话版

从数据里读出来的偏好不会绕圈（靠 HARP 保证），而且按它来选，正好选出数据里记录的东西。

这一页在讲什么

第 11 页从选择数据造出了显示偏好 $⪰_{c}$ ，并证明它完备。这一页完成剩下两件事：

$⪰_{c}$ 是传递的。这里第一次用到 HARP。
$C (\cdot) = C (\cdot; ⪰_{c})$ ：对每份菜单 $A$ ，按 $⪰_{c}$ 挑出的“最好的那些”，正好就是观察到的 $C (A)$ 。

两件事做完， $⪰_{c}$ 就是一套完备、传递、并且能解释全部选择的偏好，命题 2 的（ $\Leftarrow$ ）方向得证。

先补基础

逐句读懂

意思：证传递性。设 $x ⪰_{c} y$ 、 $y ⪰_{c} z$ ，看三元素菜单 ${x, y, z}$ 上的选择。由 HARP：如果 $y$ 被选中，那么 $x$ 也被选中；如果 $z$ 被选中，那么 $y$ 也被选中，从而 $x$ 也被选中。所以 $x$ 一定被选中，而 $z$ 在这份菜单里，于是 $x ⪰_{c} z$ 。

意思：证两种选择相同。如果 $x \in C (A)$ ，那么 $x$ 对 $A$ 中所有 $y$ 都有 $x ⪰_{c} y$ ，所以 $x \in C (A; ⪰_{c})$ 。反过来，如果 $x \in C (A; ⪰_{c})$ ，由 HARP 得 $x \in C (A)$ 。
课件第二句省略了关键的一步：要先从 $C (A)$ 里拿出一个被选中的 $y$ ，才能凑齐 HARP 的前提。下面补上。

传递性：每一步都点名 HARP 的前提

证明拆解

⪰_{c}

是传递的

设 $x ⪰_{c} y$ 、 $y ⪰_{c} z$ ，记 $B = {x, y, z}$ 。

由 $x ⪰_{c} y$ ，存在菜单 $A_{1}$ ， $y \in A_{1}$ 且 $x \in C (A_{1})$ ；由 $y ⪰_{c} z$ ，存在菜单 $A_{2}$ ， $z \in A_{2}$ 且 $y \in C (A_{2})$ 。 $⪰_{c}$ 的定义
$C (B)$ 非空，所以 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 中至少有一个被选中。命题 2 的前提
若 $x \in C (B)$ ：直接到第 6 步。分情况
若 $y \in C (B)$ ：取两份菜单 $A_{1}$ 、 $B$ ，两个选项 $x$ 、 $y$ 。 $x, y$ 都在 $A_{1}$ 里（ $x \in C (A_{1}) \subseteq A_{1}$ ），也都在 $B$ 里； $x \in C (A_{1})$ ， $y \in C (B)$ 。由 HARP， $x \in C (B)$ 。 HARP
若 $z \in C (B)$ ：取两份菜单 $A_{2}$ 、 $B$ ，两个选项 $y$ 、 $z$ 。 $y, z$ 都在 $A_{2}$ 里（ $y \in C (A_{2}) \subseteq A_{2}$ ），也都在 $B$ 里； $y \in C (A_{2})$ ， $z \in C (B)$ 。由 HARP， $y \in C (B)$ ；于是回到第 4 步的情况， $x \in C (B)$ 。 HARP，两次
三种情况下都有 $x \in C (B)$ ；而 $z \in B$ ，所以 $x ⪰_{c} z$ 。 $⪰_{c}$ 的定义（证据是菜单 $B$ ）

两种选择相同：双向包含

要证：对每份非空菜单 $A$ ， $C (A) = C (A; ⪰_{c})$ 。回忆 $C (A; ⪰_{c}) = {x \in A ∣ x ⪰_{c} y \forall y \in A}$ （第 5 页的定义，偏好换成 $⪰_{c}$ ）。

两个方向都成立，所以 $C (A) = C (A; ⪰_{c})$ 。加上第 11 页的完备性和上面的传递性， $⪰_{c}$ 就是命题 2 要找的那套理性偏好。

例子

三个圆圈 x、y、z。橙色箭头从 y 指向 z，标“y⪰_c z（菜单 {y,z}）”；橙色箭头从 z 指向 x，标“z⪰_c x（菜单 {x,z}）”；灰色箭头从 x 指向 y、从 x 指向 z；一条红色虚线箭头从 y 指向 x，旁边写“缺：y⪰_c x？没有哪份菜单既有 x 又选了 y” — 图 5上面这组数据读出的显示偏好（箭头 a→b 表示 a⪰_c b）。橙色链条 y→z→x 都有证据菜单，可红色虚线 y→x 找不到任何证据：没有哪份菜单既含 x、又选中了 y。传递性在这里断了。

和第 11 页满足 HARP 的那张图比一比：那里的箭头从上往下排成一条线，没有绕回去的；这里 $z \to x$ 这条箭头“往回走”，绕出了一个圈，传递性要求的捷径 $y \to x$ 却不存在。

常见困惑

这一页的要点

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课件第 13 页：Extensions — 第 13 / 29 页Extensions

第 13 页 / 共 29 页

延伸：数据不全怎么办？WARP 与预算集

Extensions

一句话版

现实中只看得到人们在“买得起的范围”里怎么选，检查不了所有菜单，只能退而求其次，改用较弱的条件 WARP。

这一页在讲什么

命题 2 很漂亮，但它有一个很强的前提： $C$ 定义在所有菜单上，也就是说，我们看到了这个人在 $X$ 的每一个子集上会怎么选。这一页指出：

现实数据做不到这一点。例如研究消费者时，我们只能看到他在各种“买得起的范围”（预算集）里的选择。
数据不全时，经济学家改用一个较弱的条件 WARP。
更多结果见教科书 MWG（Mas-Colell、Whinston、Green 三人合写的研究生教材，简称取三人姓氏的首字母）。第 2 讲的消费者理论会用到 WARP。

先补基础

逐句读懂

意思：要检查 HARP，需要观察到 $X$ 的每个子集 $A$ 上的选择 $C (A)$ 。第 11–12 页的证明确实用到了两元素菜单 ${x, y}$ 和三元素菜单 ${x, y, z}$ 上的选择。

意思：现实数据是有限的。例如消费数据里，我们只能看到人们在预算集上的选择：给定价格和收入，他买了哪个组合。我们从来看不到他在“只有两个组合可选”这种菜单上会怎么选。

意思：较弱的条件：WARP（弱显示偏好公理）。下面给出它的表述。

意思：更多结果见教科书，例如 MWG。MWG 指 Mas-Colell、Whinston、Green 三位作者合写的研究生教材 Microeconomic Theory（1995），取三人姓氏首字母。这门课的作业也提到参考 MWG。

现实中的菜单长什么样

左图是一个蓝色三角形预算集；右图是蓝、红两个三角形预算集相交，蓝线上有点 x，红线上有点 y，两点都位于对方的三角形内 — 图 6（a）价格为 (2,1)、收入为 10 时的预算集：三角形里的组合都买得起。（b）两个不同价格下的预算集，消费者分别买了 x 和 y；每个组合都在另一次的预算集里。

消费数据里的“菜单”都是图（a）这样的三角形，价格和收入一变，三角形就换个形状。能观察到的菜单只是所有子集中非常特殊的一小部分，所以 HARP 和命题 2 无法直接使用。

WARP：只在观察到的菜单上检查

设观察到的菜单组成的集合是 $B$ （不一定包含所有子集）。

意思： $y$ 在场时选过 $x$ ，那么以后在 $x$ 也在场的菜单上选 $y$ 时，必须也选 $x$ 。这和 HARP 的形式一模一样，区别只在于能检查的菜单范围：

	HARP	WARP
在哪些菜单上检查	$X$ 的全部子集	实际观察到的菜单 $B$
满足它能否保证可以合理化	能（命题 2）	一般不能；观察到的菜单足够多时能

所以 WARP “更弱”：它要求的东西少，更容易满足，但满足它推出的结论也少。MWG 证明了，只要 $B$ 包含所有两元素和三元素菜单，WARP 就足以保证选择能被理性偏好合理化，这和第 11–12 页的证明只用到两元素、三元素菜单是一致的。

例子满足 WARP，却不能被合理化

这是 MWG 第 1 章的经典例子。 $X = {x, y, z}$ ，只观察到三份两元素菜单：

菜单	${x, y}$	${y, z}$	${x, z}$
选择	${x}$	${y}$	${z}$

WARP 成立：任意两份不同的菜单只有一个共同选项，找不到“两份菜单都含 $x$ 、 $y$ ”的情况，条件无从违反。
不能被合理化：三次选择显示 $x ≻ y$ 、 $y ≻ z$ 、 $z ≻ x$ ，是一个循环（第 8 页）。
如果还能观察到 ${x, y, z}$ 上的选择，无论选哪个都会违反 HARP。例如选 $x$ ： ${x, z}$ 里 $z$ 被选中而 $x$ 在场， ${x, y, z}$ 里 $x$ 被选中而 $z$ 没被选中。正是缺了这份菜单，问题才被“藏”了起来。

动手试试

下面就是上面 MWG 的例子：三份两元素菜单，每份选一个。箭头从被选中的指向落选的，绕成一圈就说明不能被合理化。再勾选“也观察到三元素菜单”，看看 WARP 这时能不能发现问题。

试着改掉其中一份菜单的选择，让箭头不再绕圈。这时数据能被合理化吗？排序是什么？

预算集上的 WARP（第 2 讲预告）

图（b）是两次观察：

价格 $(2, 1)$ 时买了 $x = (4, 2)$ ，花 $2 \times 4 + 1 \times 2 = 10$ 。这时 $y = (2, 4)$ 只要 $2 \times 2 + 1 \times 4 = 8$ ，买得起却没买，显示 $x$ 比 $y$ 好。
价格 $(1, 2)$ 时买了 $y = (2, 4)$ ，花 $1 \times 2 + 2 \times 4 = 10$ 。这时 $x = (4, 2)$ 只要 $1 \times 4 + 2 \times 2 = 8$ ，买得起却没买，显示 $y$ 比 $x$ 好。

两次选择互相矛盾，违反 WARP。第 2 讲会把 WARP 写成需求函数的形式：如果价格 $p$ 下买 $x$ 时 $y$ 也买得起（且 $y \neq = x$ ），那么在买 $y$ 的价格下， $x$ 必须买不起。

这一页在讲什么

先补基础

逐句读懂

从选择“读出”偏好：显示偏好的想法

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

先补基础

逐句读懂

怎样用 HARP 检查数据

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

先补基础

逐句读懂

两个方向分别在说什么

为什么要求 C 非空

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

先补基础

逐句读懂

方向（⇒）：为什么一句话就够

显示偏好 ⪰c​：一个具体例子

完备性的证明，补全细节

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

先补基础

逐句读懂

传递性：每一步都点名 HARP 的前提

两种选择相同：双向包含

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

先补基础

逐句读懂

现实中的菜单长什么样

WARP：只在观察到的菜单上检查

动手试试

预算集上的 WARP（第 2 讲预告）

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

为什么要求 $C$ 非空

方向（ $\Rightarrow$ ）：为什么一句话就够

显示偏好 $⪰_{c}$ ：一个具体例子