对偏好的常用限制

这一页在讲什么

到第 17 页为止，我们对偏好只要求了两条：完备（任意两个选项都能比）和传递（不绕圈）。这一页说明：只有这两条还不够用，经济学家通常还要再加一些假设，叫作对偏好的“限制”（restrictions）。然后列出最常用的四类限制，第 19–22 页逐一讲。

逐句读懂

• 意思：只要求“完备、传递”的偏好，范围太宽了。
• 为什么说“太宽”：满足这两条的偏好千奇百怪。有人觉得钱越多越糟，有人只想要恰好 3 个苹果，有人喜欢把东西扔掉，这些偏好都完备、传递。理论允许的偏好越多，它对“人会怎么选”说出的东西就越少。

• 读法：tractable 是“好处理、算得动”，testable 是“能检验”。
• 意思：加上限制，分析才好做，预测才能拿数据来检验。下面用一个例子说明这两件事。

• 意思：常用的限制有四类：单调性与局部非饱和、凸性、可分性、拟线性（没有财富效应）。本页最后有一张路线图。

只假设理性，能预测什么

设想你有 10 元，苹果和香蕉都是 1 元一个。你能买的组合是所有满足 $x_1+x_2\le 10$ 的 $(x_1,x_2)$（$x_1$ 是苹果数，$x_2$ 是香蕉数，都不小于 0）。这就是第 13 页讲过的 预算集，图上是一个三角形。

从左往右看这三幅图：

1. （a）只假设理性。三角形里的任何一点，都可能是某个理性的人的最优选择。比如有人觉得“2 个苹果加 1 根香蕉刚刚好，再多就撑了”，他就会只花 3 元。所以不管观察到什么，理论都能“解释”，可它也就什么都没预测。
2. （b）再加单调、局部非饱和。这两条合起来大致是说“多一点总有好处，永远不会完全满足”（第 19 页细讲）。这时如果手里还剩钱，就一定能再买一点让自己更好，所以最优选择一定把钱花光，落在三角形的斜边（预算线）上。红叉那一点还剩钱，不会被选中。
3. （c）再加严格凸。严格凸是说“两个一样好的组合，混合以后更好”（第 19 页细讲）。如果预算线上有两个不同的最优点，它们的“各取一半”也买得起，而且更好，这就和“最优”矛盾。所以最优点最多只有一个，图中就是无差异曲线与预算线相切的那一点。

每加一条限制，理论允许的结果就少一些，说出的话就更具体。

动手试试

在下面的交互图里切换三档假设，看理论允许的范围怎样从整个三角形缩到预算线，再缩到一个点。红点是一次观察，一开始放在下面例子里小王买的 3 个苹果、4 根香蕉，拖动它，看每档假设能不能解释这次观察。

在（c）档拖动 α，看最优点怎样沿预算线移动：同一个人只有一个最优点，不同的人可以不同。再想一想：哪一档假设最容易被数据否定？

好分析，能检验

好分析（tractable）：像图（c）那样，最优点只有一个、而且就在相切的地方，我们就可以用画图、用微积分把它算出来。第 2 讲的需求函数就是这样求的。只有“完备、传递”时，没有这样的工具可用。

能检验（testable）：一条预测如果可能被数据推翻，它才有内容。“钱一定花光”就是这样的预测。如果观察到有人明明还有钱、却不再买任何东西，局部非饱和就被推翻了（至少对这个人、这个情境不成立）。这正是第 10 页说的 可检验的预测。

课程阅读材料对加限制的态度是：只加分析所必需的最少假设，并且把每条假设的所有推论都找出来，好拿手头能找到的数据去检验。

四类限制：一张路线图

“它有什么用”一列来自课程阅读材料：

• 单调与局部非饱和让我们推出“消费者会把钱都花在某些东西上”，这是后面从观察到的选择推断偏好时很有用的一步。
• 凸性是竞争市场理论的基础：偏好是凸的，才能保证存在让市场出清（供给等于需求）的价格。偏好不凸时，这样的价格可能不存在。
• 可分性几乎是所有实证研究都要用的。例如研究者可以假设“一个人在电影、演唱会、酒吧之间怎么分配娱乐开支”与她的住房、饮食无关。这样只要知道娱乐总开支和娱乐商品的价格，就能估计娱乐需求。
• 拟线性（没有财富效应）在研究组织、交易成本的文献里用得很多：财富在人与人之间转移时，大家对某些商品买多少不变，所以判断“怎样分配最有效率”不需要知道财富是怎么分布的。阅读材料也提醒，这是一种很特殊的情形。

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

这一页给出第 18 页预告的前两类限制的正式定义：

• 定义 7 单调性：东西多一点，至少不会更差；
• 定义 8 局部非饱和：不管现在拥有什么，附近总有更好的；
• 定义 9 凸性：两个都不差的组合，混合以后也不差。

然后命题 5 把这三条“偏好的性质”翻译成“效用函数的性质”。这一页里的选项都是商品组合：$x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 表示第 1 种商品 $x_1$ 份、第 2 种商品 $x_2$ 份……例子里常用两种商品：$x_1$ 是苹果，$x_2$ 是香蕉。

先补基础

逐句读懂

• 读法：定义 7（单调性）：如果 $x$ 每样都不少于 $y$，那么 $x$ 至少和 $y$ 一样好。
• 意思：东西多一点，至少不会更差。

• 读法：定义 8（局部非饱和）：对任意的 $y$ 和任意的正数 $\epsilon$，都存在一个靠近 $y$ 的 $x$，使 $x$ 严格好于 $y$。
• “靠近”的准确意思：$x$ 在小圆 $B_{\epsilon }(y)$ 里，并且 $x$ 是可选的（$x\in X$）。阅读材料写的是 $x\in X\cap B_{\epsilon }(y)$。
• 意思：不管你现在拥有什么，只要稍微改动一点点，总能变得更好。永远不会“完全满足”。

• 读法：定义 9（凸性）：如果 $x$ 不比 $y$ 差，$x^{\prime }$ 也不比 $y$ 差，那么对 0 到 1 之间的任何 $t$，混合组合 $tx+(1-t)x^{\prime }$ 也不比 $y$ 差。
• 意思：两个“够好”的组合，按任何比例混合后仍然“够好”。

• 读法：命题 5：如果效用函数 $u$ 表示偏好 $⪰$，那么
  1. 偏好单调，当且仅当 $u$ 不减；
  2. 偏好局部非饱和，当且仅当 $u$ 没有局部最大值；
  3. 偏好是凸的，当且仅当 $u$ 是拟凹函数（第 20 页定义）。
• 意思：三条偏好的限制，可以一一换成效用函数的性质。后面做题时，我们通常直接检查效用函数。

单调性：多一点不会更差

单调性说的是：如果 $x\ge y$（每样都不少），就有 $x⪰y$。看下图，以 $y=(3,2)$（3 个苹果、2 根香蕉）为中心，平面被分成四块：

• 右上方（绿色）：比如 $x=(5,3)$，苹果、香蕉都不少于 $y$，单调性直接告诉我们 $x⪰y$。
• 左下方（红色）：每样都不多于 $y$，所以反过来 $y⪰$ 它。
• 左上方、右下方（灰色）：比如 $(5,1)$ 苹果多、香蕉少，要不要拿 1 根香蕉换 2 个苹果，取决于这个人的口味。单调性在这里什么也没说，必须看具体的偏好。

所以单调性只回答“每样都多”的比较，它是一条比较弱、也比较容易接受的要求。

什么时候不单调？当某样“商品”其实是坏东西时：垃圾、噪音、加班时长，多了只会更差。还有“过犹不及”的东西：吃到第 10 个包子，再多一个只会更难受。

严格单调更强一些：第 16 页用过的 严格单调是说，如果 $x\gg y$（每样都更多），那么 $x\succ y$（严格更好）。单调性只保证“不会更差”，允许“多了也一样”。

局部非饱和：附近总有更好的

局部非饱和说的是：任给一个组合 $y$，不管小圆画得多小，圆里总有一个比 $y$ 更好的组合。下图左边是满足的情形，中间和右边是两种典型的违反：

• （a）满足：效用 $u=x_1{x}_2$。在曲线上的 $y$ 周围画一个小圆，往右上方挪一点点（多一点苹果、多一点香蕉），就到了更高的无差异曲线。圆再小，这样挪一点的空间总是有的。
• （b）违反：极乐点。有的偏好存在一个“刚刚好”的组合 $b$：比如自助餐吃到刚好饱，多吃少吃都更难受；又比如空调温度，26 度最舒服，调高调低都差一点。在 $b$ 周围画小圆，圆里没有任何点比 $b$ 更好。
• （c）违反：只能买整数个。如果汽车、手机只能整台买，选项只有图上的整数点。在 $y$ 周围画一个半径小于 1 的圆，圆里除了 $y$ 自己没有别的选项，更谈不上“更好的选项”。

图（c）说明了阅读材料强调的一点：局部非饱和同时取决于偏好和选项集 $X$。不过它并不要求每样东西都能无限细分，只要有一样东西（比如闲暇时间）总是“多一点更好”并且可以细分，就足够了。

它为什么有用：钱会花光。第 18 页的图（b）用的就是这一条。如果最优选择 $y$ 还剩着钱，那么离 $y$ 足够近的组合，花的钱只比 $y$ 多一点点，剩下的钱付得起，所以 $y$ 周围足够小的圆里，所有能选的组合都买得起。局部非饱和保证圆里有比 $y$ 更好的组合，于是 $y$ 不可能是最优的。所以最优选择一定落在预算线上，把钱花光。

凸性：混一混不会更差

先引入一个名词。$y$ 的 上等高集（upper contour set）是所有不比 $y$ 差的组合：

画在图上，就是经过 $y$ 的那条无差异曲线及其右上方。定义 9 说的是：$US(y)$ 里任取两点 $x$、$x^{\prime }$，它们之间线段上的每个点都还在 $US(y)$ 里。也就是说，凸偏好等价于每个上等高集都是 凸集。（这需要选项集 $X$ 本身是凸的，否则混合出来的组合可能根本不能选。）

读图时盯住彩色点：它在浅蓝区域外（a），就违反凸性；在边界上（b），满足凸性但不“严格”；在内部（c），满足 严格凸。严格凸的定义是：如果 $x⪰y$、$x^{\prime }⪰y$ 并且 $x\ne x^{\prime }$，那么对 $t\in (0,1)$，$tx+(1-t)x^{\prime }\succ y$（严格更好）。

凸性什么时候不合理？阅读材料举的例子是：你可能喜欢啤酒，也喜欢葡萄酒，却不喜欢把两者兑在一起喝。中国读者更熟悉的例子是豆花：甜豆花、咸豆花各有拥趸，可很少有人想喝“一半甜一半咸”的一碗。

阅读材料接着指出，凸性合不合理，常常取决于怎么理解“商品”：

• 如果 $x$ 表示的是“消费的频率”，“各一半”就是“一半时间喝啤酒、一半时间喝葡萄酒”，这就合理得多。
• 商品分得越粗（比如“食物”和“衣服”），凸性越容易接受；分得越细（某个牌子的某种口味），越容易出问题。

先用默认的 $f=x_1{x}_2$：浅蓝阴影是“函数值至少为 $\alpha$”的区域，也就是某个 $y$ 的上等高集。把 P、Q 拖到阴影里的任意位置，连线始终留在阴影里。再点“演示反例”，换成 $f=x_1^2+x_2^2$：阴影变成“挖掉一个四分之一圆”的形状，把 P、Q 放在靠近两条坐标轴的地方，连线中间会变红，跑出阴影。这就是图（a）那种非凸偏好。

命题 5：三条限制对应效用函数的三个性质

命题 5 说，有了表示偏好的效用函数，三条限制都能直接在 $u$ 上检查。关键工具只有一个：$u$ 表示 $⪰$，意思是 $x⪰y⟺u(x)\ge u(y)$（第 14 页）。

第 1 条：单调 $⟺$ $u$ 不减。“$u$ 不减”是指 $x\ge y$ 时 $u(x)\ge u(y)$，也就是“任何一样东西增加，$u$ 都不会变小”。单调性说 $x\ge y\Rightarrow x⪰y$；把 $x⪰y$ 换成 $u(x)\ge u(y)$，就变成 $x\ge y\Rightarrow u(x)\ge u(y)$。两句话是同一句话的两种说法，所以两个方向都成立。

第 2 条：局部非饱和 $⟺$ $u$ 没有局部最大值。说 $u$ 在 $y$ 处有局部最大值，意思是：存在某个小圆 $B_{\epsilon }(y)$，圆里（可选的）点的 $u$ 值都不超过 $u(y)$。“$y$ 不是局部最大值”就是它的反面：不管圆多小，圆里总有 $u(x)>u(y)$ 的点，也就是 $x\succ y$。对每一个 $y$ 都这样，正是局部非饱和。注意，全局最大值（比如极乐点）也是局部最大值，所以局部非饱和排除了极乐点。

第 3 条：凸 $⟺$ $u$ 拟凹。第 20 页会给出拟凹的定义：对每个数 $\alpha$，集合 $U_{\alpha }=\{x:u(x)\ge \alpha \}$（函数值至少为 $\alpha$ 的点）都是凸集。证明如下。

阅读材料还给出“严格”的版本：偏好严格凸 $⟺$ $u$ 严格拟凹（第 20 页）。证明和上面一样，只是把第 4 步的“不比……差”换成“严格好于”。

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

第 19 页命题 5 的第 3 条说“偏好是凸的，当且仅当效用函数是拟凹的”。这一页给出拟凹函数的数学定义，包括：

1. 用“上等高集”的说法；
2. 用一个不等式逐点检查的说法；
3. 严格拟凹；
4. 和凸偏好的联系。

先补基础

逐句读懂

• 读法：上等高集刻画。设 $f$ 是定义在 $C$ 上、取实数值的函数，$C$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个凸子集。$f$ 是拟凹的，当且仅当对每一个实数 $\alpha$，集合 $U_{\alpha }$（$C$ 中函数值至少为 $\alpha$ 的点）都是凸集。
• 意思：把 $f$ 想成地形图上的“海拔”，$U_{\alpha }$ 就是“海拔不低于 $\alpha$ 的地方”。拟凹就是说：不管 $\alpha$ 取多少，这片地方都是一块凸的区域。

• 读法：逐点刻画。对 $C$ 中任意两点 $x$、$y$ 和 0 到 1 之间的任意 $\lambda$，混合点 $\lambda x+(1-\lambda )y$ 的函数值，不小于 $f(x)$ 和 $f(y)$ 中较小的那个。
• 意思：混合以后，不会比两端中较差的那个更差。

• 读法：严格拟凹：当 $x\ne y$ 且 $f(x)\ne f(y)$ 时，上面的不等式严格成立。联系：凸偏好 $⟺$ 拟凹效用。
• 意思：严格拟凹要求“混合后严格更好”。这一条课件的写法需要核对，见下文“严格拟凹”。第二条就是第 19 页命题 5 的第 3 条。

上等高集：把函数想成地形图

上等高集 $U_{\alpha }$ 就是“函数值至少为 $\alpha$”的那片区域。下面两张地形图里，细线是等高线，浅蓝阴影是海拔不低于 $\alpha$ 的地方：

• 图（a）：只有一个山头，并且每一圈等高线都向外鼓。不管 $\alpha$ 取多少，阴影都是一整块凸的区域，里面任意两点之间走直线，海拔都不会跌破 $\alpha$。这座山的海拔函数是拟凹的。
• 图（b）：两个山头。$\alpha$ 取得高一些时，阴影分成两座“岛”，从一座岛走直线到另一座，必然经过山谷，海拔掉到 0.19，比两端都低。这个海拔函数不是拟凹的。

注意，拟凹不只是要求“只有一个山头”，还要求每一圈等高线围出的区域都是凸的，不能有凹进去的“海湾”。另外必须对每一个 $\alpha$ 都检查：图（b）里 $\alpha$ 很低时，阴影可能连成一整片，看不出问题；$\alpha$ 一高，问题就暴露了。

再看两个具体的函数（下图左边两幅）：

• （a）$f=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}$，$\alpha =2$：$x=(0.25,2.25)$ 的函数值是 $0.5+1.5=2$，$y=(2.25,0.25)$ 也是 2，都在 $U_2$ 里。中点 $(1.25,1.25)$ 的函数值是 $2\sqrt{1.25}\approx 2.24\ge 2$，还在里面。不管怎么挑两点，线段都不会跑出去，所以 $f$ 拟凹。
• （b）$f=x_1^2+x_2^2$，$\alpha =4$：$x=(0.3,2.3)$、$y=(2.3,0.3)$ 的函数值都是 $0.09+5.29=5.38\ge 4$，在 $U_4$ 里。中点 $(1.3,1.3)$ 的函数值只有 $1.69+1.69=3.38<4$，跑出了 $U_4$。所以 $U_4$ 不是凸集，$f$ 不是拟凹的。

逐点的说法：混合不比较差的那个差

第二种说法不用画集合，直接拿两个点来检查：

用爬山来想：从 $x$ 沿直线走到 $y$，沿途的海拔不会低于起点和终点中较低的那个。可以先上坡再下坡，也可以一路上坡，就是不能先下到谷底再爬上来。

两种说法讲的是同一件事：

操作方法：

1. 钟形：把 $x$ 拖到左边山脚（大约 1），$y$ 拖到山顶附近（大约 5）。绿点 $z$ 始终不低于橙色虚线（$\min \{f(x),f(y)\}$），拟凹成立；但它会低于紫色弦上的空心点，凹的要求失败。
2. $\sqrt{x}$（凹）：怎么拖两条要求都成立。
3. 双峰（反例）：把 $x$、$y$ 放在两个山顶，$z$ 掉进山谷，变成红点，拟凹的要求失败。

凹函数与拟凹函数

凹函数的要求是：

也就是“弦在图像下方”。右边是 $f(x)$、$f(y)$ 的加权平均，平均数总不小于两者中较小的那个，所以：

• 凹函数一定拟凹：满足凹的不等式，就满足拟凹的不等式；
• 拟凹函数不一定凹：钟形函数就是反例。

还有一个初学者常吃惊的例子：$f(x)=e^x$ 是凸函数（向上弯），却是拟凹的。一元的递增函数，“至少 $\alpha$”的部分总是 $[c,\infty )$ 这样的区间，所以一元递增函数都拟凹。

经济学为什么偏爱拟凹，而不是凹？第 16 页说过，效用只表示排序：把 $u$ 换成任何严格递增变换 $g(u)$，表示的是同一个偏好。

• 拟凹经得起这种变换：$\{x:g(u(x))\ge g(\alpha )\}=\{x:u(x)\ge \alpha \}$，上等高集还是那些集合，只是“标号”变了，凸的仍然是凸的。
• 凹经不起：$u=\sqrt{x_1{x}_2}$ 是凹函数，它的平方 $x_1{x}_2$ 表示同一个偏好，却不是凹函数。沿着对角线 $x_1=x_2=s$，$x_1{x}_2=s^2$ 是向上弯的。

所以“凹”不是偏好本身的性质，“拟凹”才是。命题 5 用的是拟凹。

严格拟凹

和第 19 页“严格凸偏好”配套的定义是：对任意 $x\ne y$ 和任意 $\lambda \in (0,1)$，都有

这就是 严格拟凹：混合后严格好于两端中较差的那个。在图上，它表示每个 $U_{\alpha }$ 的边界（无差异曲线）上没有直的一段。

• $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}$ 严格拟凹：边界是光滑的弯曲线（上图 a）。
• $x_1+x_2$ 拟凹但不严格：$(1,3)$ 和 $(3,1)$ 都是 4，中点 $(2,2)$ 还是 4，没有严格变大。
• $\min \{x_1,x_2\}$ 拟凹但不严格：$(2,5)$ 和 $(2,7)$ 都是 2，中点 $(2,6)$ 还是 2。

回到偏好：凸偏好就是拟凹效用

把 $f$ 换成效用函数 $u$：$y$ 的上等高集 $US(y)=\{x:u(x)\ge u(y)\}$ 正是 $U_{u(y)}$。所以“每个上等高集都是凸集”（凸偏好）和“每个 $U_{\alpha }$ 都是凸集”（拟凹效用）说的是同一件事。第 19 页命题 5 第 3 条的证明就是这个意思。

例如 $u=x_1{x}_2$：$U_{\alpha }$ 是双曲线 $x_1{x}_2=\alpha$ 右上方的区域，是凸集，所以这个偏好是凸的。$x_1{x}_2$ 本身并不是凹函数（上一节刚算过），但这不要紧，命题 5 只需要拟凹。

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

很多选择可以自然地分成两块：比如“娱乐”（电影、演唱会、酒吧）和“其他”（住房、吃饭、衣服）。这一页问：什么时候，一块的选择可以不管另一块？

• 定义 10 把“$x$ 的选择不依赖 $y$”说精确；
• 命题 6 说：这种情况恰好对应效用函数能写成 $u(x,y)=U(v(x),y)$ 的形式。

先补基础

逐句读懂

• 意思：有时候选择可以拆成两块，$x$ 来自 $X$，$y$ 来自 $Y$。我们关心的情形是：$x$ 怎么选，不依赖 $y$。

• 读法：定义 10：如果对 $Y$ 中任意两个 $y_0$、$y_1$，都有 $x^{\ast }(S,y_0)=x^{\ast }(S,y_1)$，就说 $x^{\ast }(S,y)$ 不依赖 $y$。
• $x^{\ast }(S,y)$ 是什么：下一节解释。阅读材料还写明，这要对所有菜单 $S\subseteq X$ 都成立，课件把这一点省略了。

• 读法：命题 6：如果偏好 $⪰$ 有效用函数 $u(x,y)$，那么“$x^{\ast }$ 不依赖 $y$”，当且仅当 $u$ 能写成 $U(v(x),y)$，其中 $v$ 把每个 $x$ 变成一个实数，$U$ 对第一个位置递增。
• 意思：$x$ 的选择不受 $y$ 影响，等价于“先给 $x$ 打一个分 $v(x)$，$x$ 只通过这个分数影响总效用”。

什么是 $x^{\ast }(S,y)$

设想 $y$ 已经定了（比如今晚的主菜已经点了牛排，记作 $\hat{y}$），现在从一个菜单 $S\subseteq X$ 里挑 $x$（比如从这家店的酒水单里挑饮料）。$x^{\ast }(S,\hat{y})$ 就是主菜固定为 $\hat{y}$ 时，菜单 $S$ 里最好的那些 $x$：

它是一个集合，因为可能有几个并列最好的。定义 10 说的是：不管主菜是什么，最好的饮料都是同一批。

命题 6：先给这一类打一个分

小林的分数其实是这样算出来的：先给每种饮料打一个固定的分数 $v$（红酒 4、白葡萄酒 3、啤酒 2、果汁 1），再由主菜决定“放大多少倍、再加多少”：

（$w$ 分别是 5、6.2、4。）例如 $u(\text{红酒},\text{牛排})=1.5\times 4+5=11$。这正是命题 6 的形式 $U(v(x),y)$，其中 $U(s,y)=m(y)s+w(y)$，$m(y)>0$，所以 $U$ 对第一个位置严格递增。

看图（a）：$x$ 走的是一条“窄路”，它所有的信息都被压缩成一个数 $v(x)$ 再往下传。不管 $y$ 是什么，$U$ 都是“$v$ 越大越好”，所以在任何菜单里，最好的 $x$ 都是 $v$ 最高的那个。这就是“$\Leftarrow$”方向：

反方向“$\Rightarrow$”：知道 $x^{\ast }$ 不依赖 $y$，要造出 $v$ 和 $U$。阅读材料的证明思路是：

拿小林的表试一下：取 $y_0=$ 清蒸鱼，$v$ 就是清蒸鱼那一行：红酒 10.2、白葡萄酒 9.2、啤酒 8.2、果汁 7.2。再规定 $U(10.2,\text{牛排})=u(\text{红酒},\text{牛排})=11$ 等等。这个 $v$ 和上面的“4、3、2、1”不同，但排序一样。所以 $v$ 并不唯一，任何保持排序的打分都行，这和第 16 页“效用只表示排序”是一回事。

可分是单方向的

阅读材料特别提醒：定义 10 是不对称的。“$x$ 的选择不依赖 $y$”和“$y$ 的选择不依赖 $x$”是两件不同的事，命题 6 的形式 $U(v(x),y)$ 只保证前一件。

小林就是例子。她的饮料选择不依赖主菜，可如果反过来固定饮料、让她挑主菜（看表里的每一列）：

• 配红酒：牛排 11、清蒸鱼 10.2、烧烤 8.8，选牛排；
• 配果汁：牛排 6.5、清蒸鱼 7.2、烧烤 5.2，选清蒸鱼。

她的主菜选择依赖饮料。阅读材料的例子是：一个人在电影和演唱会之间怎么选，可能和吃饭花多少无关；但娱乐花得多不多，却会影响他在家吃还是下馆子，因为看完电影常常顺便在外面吃一顿。

操作方法：

1. 先选“小林（可分）”和“固定主菜，选饮料”。随便勾选酒水单，每一行（每道主菜）打勾的最优饮料都一样。点“检查所有 15 个菜单”，确认每个菜单都是这样。
2. 换成“小周（不可分）”，再点“检查所有菜单”，组件会找出一个让最优饮料随主菜改变的菜单。
3. 回到小林，切换到“固定饮料，选主菜”，看主菜的选择怎样随饮料改变。这就是上面说的不对称。

可分性有什么用

阅读材料说，实证研究几乎都离不开可分性的假设。上面图（b）是一个例子：一个人每月可花 5000 元，先分出 800 元给娱乐，再决定 800 元里看几场电影、听几次演唱会。

如果娱乐的选择与住房、饮食可分，第二步就只需要两样信息：娱乐的总开支和娱乐商品的价格。研究者想估计电影票的需求，就不必去收集房租、菜价的数据。这能大大简化实证工作。

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

这一页讲第 18 页列出的最后一类限制：拟线性。选项由两部分组成：一笔钱 $a$，和别的什么东西 $y$。三条假设合起来，恰好等价于效用能写成

其中 $v(y)$ 是“$y$ 值多少钱”。这就是命题 7。它的核心含义是“没有财富效应”：一个人本来有多少钱，不影响他在钱和 $y$ 之间怎么取舍。

先补基础

逐句读懂

• 读法：选项空间是 ${\mathbb{R}}_{+}\times Y$，第一个分量 $a$ 是“钱”。三条假设：
  1. 商品 1（钱）有价值：$y$ 相同时，$(a,y)$ 不比 $(a^{\prime },y)$ 差，当且仅当 $a\ge a^{\prime }$；
  2. 可以补偿：对每个 $y$，都存在一笔钱 $t$，使得“没钱但有 $y$”不如“有 $t$ 元但只有 $\bar{y}$”；
  3. 没有财富效应：如果 $(a,y)$ 不比 $(a^{\prime },y^{\prime })$ 差，那么给两边都加上同样的 $t$ 元以后，仍然不差。
• 意思：下一节逐条讲。第 2 条课件和阅读材料的写法不同，见“核对”框。

• 读法：命题 7：这三条假设成立，当且仅当存在一个函数 $v$，把每个 $y$ 变成一个数，使得“$(a,y)$ 不比 $(a^{\prime },y^{\prime })$ 差”恰好等于“$a+v(y)\ge a^{\prime }+v(y^{\prime })$”。效用函数就是 $u(a,y)=a+v(y)$。
• 意思：比较两个选项，只要把各自的“钱 + $y$ 折合的钱”加起来比大小。

三条假设，一条一条看

用一个贯穿全页的例子。某人考虑视频会员，$Y=\{$不开, 普通会员, 超级会员$\}$。对他来说，普通会员值 20 元，超级会员值 30 元，不开值 0 元。

第 1 条：钱有价值。会员档次一样时，钱多的更好，钱一样多的一样好。例如 $(120,\text{普通会员})\succ (100,\text{普通会员})$。阅读材料指出，这一条（钱可以细分、多一点总更好）本身就推出了第 19 页的局部非饱和。

第 2 条：可以补偿。阅读材料的写法分两步：

• 先有一个“最差的” $\bar{y}$：对所有 $y$，$(0,y)⪰(0,\bar{y})$。这里 $\bar{y}=$ 不开会员。
• 对每个 $y$，存在一笔钱 $t\ge 0$，恰好补偿得了：$(0,y)\sim (t,\bar{y})$。这里 $(0,\text{普通会员})\sim (20,\text{不开})$：“开了普通会员、手里没钱”和“不开会员、手里有 20 元”一样好。

这一条的意思是：钱足够有用，任何 $y$ 上的差距都能用钱补回来。它在所有相关的东西都能在市场上买卖时最合理。阅读材料也举了反例：有人坚信，再多的钱也补偿不了健康受损、失去孩子，或者上天堂的机会变小。对这样的人，第 2 条不成立。

第 3 条：没有财富效应。如果 $(100,\text{普通会员})⪰(115,\text{不开})$，那么两边各加 1000 元，$(1100,\text{普通会员})⪰(1115,\text{不开})$ 也成立。换句话说，“为普通会员付不付这 15 元”，和你本来是有 100 元还是 1100 元无关。

阅读材料说，第 3 条其实混合了两样东西：

• 可分性（第 21 页）：两个选项之间怎么选，不依赖手里原有多少钱；
• 框架：既然加减同样的钱不改变结论，选择就可以用“钱的变化量”来描述，而不必关心钱的绝对水平。

命题 7：为什么能写成 $a+v(y)$

证明的想法很直接：把每个 $y$ 都换算成“$\bar{y}$ 加一笔钱”，于是所有选项都变成“同样是 $\bar{y}$，只是钱不同”，比钱多少就行了。

先看图（b）：横轴上的红点是 $(0,y)$，没有钱、$y=4$；纵轴上的红点是 $(v(y),\bar{y})$，$y$ 退回最差的 $\bar{y}=0$、手里有 $v(4)=8$ 元。两点在同一条无差异曲线上，一样好。所以 $v(y)$ 的意思就是：把 $\bar{y}$ 换成 $y$，值多少钱。

用会员的例子走一遍。要比较 $(100,\text{普通会员})$ 和 $(115,\text{不开})$：

1. $v(\text{普通会员})=20$，因为 $(0,\text{普通会员})\sim (20,\text{不开})$；
2. 两边加 100 元：$(100,\text{普通会员})\sim (120,\text{不开})$；
3. 比较 $(120,\text{不开})$ 和 $(115,\text{不开})$：$120>115$，前者更好；
4. 所以 $(100,\text{普通会员})\succ (115,\text{不开})$。用公式算：$100+20=120>115+0$，结论相同。

反过来：如果偏好由 $u(a,y)=a+v(y)$ 表示，三条假设都成立。

• 第 1 条：$a+v(y)\ge a^{\prime }+v(y)⟺a\ge a^{\prime }$。
• 第 3 条：不等式 $a+v(y)\ge a^{\prime }+v(y^{\prime })$ 两边同时加 $t$，仍然成立。
• 第 2 条：取 $v$ 最小的那个作为 $\bar{y}$，补偿的钱就是 $t=v(y)-v(\bar{y})\ge 0$。

没有财富效应：钱多钱少，取舍不变

财富效应是指：一个人变得更有钱（或更穷）以后，选择跟着变。拟线性偏好没有财富效应。在图上，这表现为无差异曲线的“陡峭程度”与钱的多少无关：

怎么读“陡峭程度”：沿着一条无差异曲线往右走一点（$y$ 多一点），要往下走多少（少拿多少钱）才一样好。这就是“为多一点 $y$ 肯付的钱”。

• （a）拟线性：$y$ 从 2.25 增加到 3.25，$v$ 增加 $4\sqrt{3.25}-4\sqrt{2.25}\approx 7.21-6=1.21$。不管手里有 2 元还是 10 元，他都肯为这 1 单位 $y$ 付约 1.21 元。
• （b）有财富效应的 $u=a(1+y)$：$y$ 从 2 增加到 3，要一样好，钱得满足 $a\times 3=a^{\prime }\times 4$，即 $a^{\prime }=0.75a$，肯付 $0.25a$。手里有 4 元时肯付 1 元，有 8 元时肯付 2 元。越有钱，越舍得。

操作方法：先拖动 P、Q 设定两个选项（横轴 $y$、纵轴钱 $a$），状态面板会算出 $u=a+4\sqrt{y}$ 并给出排序。再拖动上方的滑块，给两边加上（或减去）同样多的钱 $t$：两个点一起上下移动，各自所在的无差异曲线也跟着平移，但排序始终不变，差距也不变。这就是第 3 条假设。

拟线性有什么用

计价物。$a+v(y)$ 里的 $a$ 通常就是钱，或者说 计价物（numeraire）：用来给其他东西标价的那样东西。$v(y)$ 就是 $y$ 值多少单位计价物。阅读材料提到，企业理论里常假设追求利润的企业把各种结果都折算成钱，加到现金利润上来评价，用的就是这种形式。

判断效率不用管财富分布。阅读材料说，研究组织和交易成本的文献很依赖“没有财富效应”：财富在人与人之间转移时，大家对某些东西的取舍不变，所以“怎样分配最有效率”可以不管财富怎么分布来判断。

什么时候不合理？拟线性适合“花的钱只占收入一小部分”的东西：一杯奶茶、一个视频会员。对住房、汽车这样的大件，对健康这样钱难以补偿的东西，财富效应往往很明显，拟线性就不合适了。阅读材料也说，这是一种“很特殊的情形”。

常见困惑

这一页的要点

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