术语表

估计一个数时，从先看到的某个数（锚）出发再往上下调，结果偏向这个锚，哪怕锚是随机的。例如先写下社保号末两位，再给商品出价。

$\arg {\max }_{x\in B}f(x)=\{x\in B\mid f(x)\ge f(y)\forall y\in B\}$：拿到最高分的那些选项，是一个集合，可能为空。最大值是数，argmax 是集合。

把心理学的发现引入经济学：用实验和真实数据检查人到底怎么选，找出和理性选择模型不符的地方，再修改模型。

$X$ 上的二元关系是 $X\times X$ 的一个子集；$(x,y)$ 在里面就写 $xRy$。偏好 $⪰$ 就是一个二元关系。

Herbert Simon 提出的说法：人的时间、信息和计算能力有限，无法在每件事上都找出最优，而是用经验法则找“够好的”。

在给定价格和收入下买得起的全部商品组合，例如两种商品时为 $\{x\in {\mathbb{R}}_{+}^2\mid p_1{x}_1+p_2{x}_2\le w\}$。现实数据通常只能看到人们在预算集上的选择。

有限集合 $B$ 的元素个数，记作 $|B|$。$|\varnothing |=0$；$n$ 个元素的集合有 $2^n$ 个子集。

$X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}$，所有配对组成的集合；有限时 $|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$。$\mathbb{R}\times \mathbb{R}={\mathbb{R}}^2$。

由偏好得到的选择：$C(B;⪰)=\{x\in B\mid x⪰y\forall y\in B\}$，即菜单 $B$ 中“不比任何选项差”的那些选项。

函数 $C:\mathcal{B}\to \mathcal{B}$：对每一份菜单 $B$，给出被选中的选项组成的集合 $C(B)\subseteq B$。它直接来自观察，不预先假设背后有偏好。

所有可能被选中的选项组成的集合，记作 $X$。它可以是几种具体物品，也可以是所有商品组合。

集合里的收敛序列，极限也在集合里。$[0,1]$ 是闭集，$[0,1)$ 不是（$1-\frac{1}{n}\to 1$ 跑出去了）。

函数 $f:A\to B$ 箭头后面的集合 $B$，说明输出落在哪里；不要求每个元素都被取到。

Ariely、Loewenstein、Prelec（2003）的发现：估价的绝对水平可以被随机的锚决定（任意），但定下起点以后，各个估价之间又很有条理，比如好东西出价更高（一致）。

事先把诱惑从菜单上拿掉或让它变贵的安排，比如复习时用软件锁住手机。知道自己会被诱惑的人，会严格偏好选项更少的菜单。

比较环境（价格、收入、税收等）改变前后的最优选择，看选择朝哪个方向变。例如：价格上涨后买得更少。只比较前后两个状态，不管中间过程。

任意两个选项都能比较：$x⪰y$ 或 $y⪰x$（或两者都成立）。

$(v\circ u)(x)=v(u(x))$：先算 $u(x)$，再放进 $v$。顺序一般不能换。

$f(tx+(1-t)y)\ge tf(x)+(1-t)f(y)$：图像在弦的上方，例如 $\sqrt{x}$。凹性不是偏好的性质，严格递增变换会改变它。

人的选择随情境改变：选项怎么摆、怎么描述、旁边有谁、心情如何、菜单上还有什么。偏好情境依赖时，从一个情境推出的偏好不能直接用到另一个情境。

若 $(x_n,y_n)\to (x,y)$ 且对所有 $n$ 都有 $x_n⪰y_n$，则 $x⪰y$。意思是：“不差于”这个关系在取极限时不会突然反转。

只要 $x_n\to x$，就有 $f(x_n)\to f(x)$：输入差一点，输出也只差一点，不会跳。阶梯电价连续，快递运费不连续。

序列有极限就叫收敛，例如 $\frac{1}{n}\to 0$；没有极限叫发散，例如 $(-1{)}^n$。

$tx+(1-t)x^{\prime }$，$t\in [0,1]$：按比例混合两个篮子，逐个分量算。所有凸组合组成连接 $x$、$x^{\prime }$ 的线段。

$f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)$：图像在弦的下方，例如 $x^2$。注意它和“凸偏好”“凸集”不是一回事。

若 $x⪰y$、$x^{\prime }⪰y$，则对 $t\in (0,1)$ 有 $tx+(1-t)x^{\prime }⪰y$。大白话：两个都不比 $y$ 差的组合，混合以后也不比 $y$ 差；等价地，每个上等高集都是凸集。

任取两点，连线整段都在集合里：$x,x^{\prime }\in S$、$t\in [0,1]$ 时 $tx+(1-t)x^{\prime }\in S$。预算集是凸集，月牙不是。

衡量两组数一起变动程度的数，取值在 $-1$ 到 $1$ 之间：接近 $1$ 表示一个大另一个也大，接近 $0$ 表示看不出关系，接近 $-1$ 表示一个大另一个反而小。

有限，或能排成一队 $s_1,s_2,\dots$ 让每个元素都编上号。正整数、有理数可数；实数不可数。

往菜单里加一个本身没人选、却明显不如某个选项的选项，会让那个选项被选得更多。例如《经济学人》订阅实验：去掉没人选的“仅印刷版”，选“印刷 + 网络”的人从 84 降到 32。

默认选项是什么都不做时得到的选项。人们常常停在默认上，所以默认怎么设会大大改变结果。例如 401(k) 自动加入后参加率从 37% 升到 86%。

两点的直线距离 $d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\cdots +(x_k-y_k{)}^2}$。

函数 $f:A\to B$ 的输入范围 $A$。定义域里每个元素都必须有输出。

集合里的每一个对象。$x\in A$ 读作“$x$ 属于 $A$”，$x\notin A$ 读作“$x$ 不属于 $A$”。

一个元素都没有的集合，记作 $\varnothing$。它是任何集合的子集；$C(B)=\varnothing$ 表示菜单上一样都选不出来。

$B_{\epsilon }(y)=\{x\mid d(x,y)<\epsilon \}$：离 $y$ 不到 $\epsilon$ 的所有点，平面上是一个不含边的圆盘。

在钱、时间、规定等约束下真正能选的那些选项组成的集合，也就是这一次的“菜单”，课件里记作 $B$。

$\forall x\in A$：$A$ 里每一个 $x$，没有例外。推翻它只需一个反例。

同一个选择问题换一种描述方式（“框架”），人们的选择就跟着改变。例如同样省 5 美元，商品便宜时愿意跑一趟、商品贵时不愿意。它与理性偏好的假设相冲突。

$f:A\to B$ 给 $A$ 中每个元素指定 $B$ 中恰好一个元素 $f(a)$。多对一可以，一对多不行。

过去的消费会改变今天的偏好：今天的满足取决于今天的消费和过去习惯的差距。例如喝惯全糖奶茶，改喝半糖会觉得没味道。

经验法则：简单好用、不追求精确的决策办法，比如“满意即可”“每样分一点”“跟着默认走”。在熟悉的环境里往往接近最优，换到陌生环境容易系统性出错。

若 $x,y\in A\cap B$，$x\in C(A)$，$y\in C(B)$，则 $x\in C(B)$ 且 $y\in C(A)$。命题 2：非空的选择规则能被理性偏好解释，当且仅当它满足 HARP。

$P⟺Q$：$P\Rightarrow Q$ 且 $Q\Rightarrow P$。证明时两个方向都要证。

对 $S\subseteq A$，$f(S)=\{f(a)\mid a\in S\}$ 是只看 $S$ 里的输入时取到的值。

用一个严格递增的函数 $v$ 把分数整体换一下：$U(x)=v(u(x))$。排序保持不变，所以若 $u$ 表示 $⪰$，$U$ 也表示 $⪰$。例如 $2u+1$、$u^3$、$e^u$。

$a<b\Rightarrow f(a)\le f(b)$：输入变大，输出不变小（单调不减）。例如出租车计价。

$x\sim y$：$x⪰y$ 与 $y⪰x$ 同时成立，即 $x$ 和 $y$ 一样好。

倾向于维持现状、不去改变，即使改变的代价很小、好处很大。拖延、不去想、把默认当成推荐，都会造成惯性。

比较“同一样东西对你和对我谁更有价值”。由选择推出的效用可以任意做递增变换，所以不能用它在人与人之间比较效用的高低或增量。

$A\cap B$：同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素组成的集合，即两份菜单上都有的选项。

数轴上的一段。方括号含端点、圆括号不含：$[0,1]$ 含 0 和 1，$[0,1)$ 含 0 不含 1。

人察觉不到太小的差别。用效用描述：$x\succ y⟺u(x)\ge u(y)+1$，差距小于 1 时就觉得无差异。这时 $\succ$ 仍传递，但 $\sim$ 不再传递。

像查字典一样比较：先比第一个分量，大的更好；第一个分量相等时，再比第二个分量。它完备、传递，但不连续，也找不到任何实值效用函数来表示。

$x_n\to L$：对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，使 $n\ge N$ 时 $|x_n-L|<\epsilon$。大白话：等得够久，就要多近有多近。

对任意 $y$ 和任意 $\epsilon >0$，在 $y$ 附近（距离小于 $\epsilon$）都能找到 $x\succ y$。大白话：永远“吃不饱”，稍微改一点总能更好。用效用说：$u$ 没有局部最大值。

证明 $P(1)$ 成立，再证明对每个 $n$ 由 $P(n)$ 推出 $P(n+1)$，就得到 $P(n)$ 对所有正整数成立。像推多米诺骨牌。

若 $x\ge y$（每样东西都不少），则 $x⪰y$。大白话：东西多一点，至少不会更差。

若 $P\Rightarrow Q$，则 $Q$ 是 $P$ 的必要条件：没有 $Q$ 就一定没有 $P$（逆否命题）。

命题 $P$ 不成立，记作 $\neg P$。否定时“所有”变“存在”、“存在”变“所有”，后面的话也取反。

Thaler 和 Sunstein（2008）的说法：不禁止任何选项、不明显改变价格，只改变选择的呈现方式（比如默认），引导人们做出对自己更好的选择。

用来给其他东西标价的那一样商品，通常就是钱。拟线性效用 $a+v(y)$ 里的 $a$ 就是计价物，$v(y)$ 是 $y$ 值多少单位计价物。

选择加入：默认不参加，想参加要自己报名；选择退出：默认参加，不想参加要自己申请退出。两种设计下能选的东西完全一样，只是默认不同。

$(x,y)$：第一个位置放 $x$、第二个位置放 $y$，顺序不能换，$(2,3)\ne (3,2)$。

效用只有“排序”的意义：只看谁的分数高，不看高多少。所以同一个偏好可以用无数个效用函数表示，它们的数值本身没有含义。

自反、传递、反对称但不一定完备的关系，有些对子比不了。例如篮子的逐分量比较 $x\ge y$、集合的包含 $\subseteq$。

从一个情境推出的偏好，搬到另一个情境还能不能用来预测。偏好越随情境变化，可移植性越低，理论的预测力越弱。

模型能不能给出明确、可能被数据推翻的预测。什么结果都能解释的模型，预测力为零。

要证 $P$，先假设 $P$ 不成立，推出一个矛盾，于是 $P$ 成立。例如证明 $[0,1)$ 没有最大的数。

每个上等高集 $U_{\alpha }$ 都是凸集；等价地，$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\ge \min \{f(x),f(y)\}$。大白话：混合后的函数值不低于两端中较小的那个。凸偏好对应拟凹效用。

效用能写成 $u(a,y)=a+v(y)$：钱 $a$ 单独加上去，$v(y)$ 是 $y$ 折合成的钱数。它意味着没有财富效应。

函数实际取到的所有值 $f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$，是陪域的子集。

先找出所有可行的选项，再从中挑出最偏好的那一个。“理性”只要求偏好前后一致（完备、传递），不要求自私，也不要求聪明。

能写成分数 $\frac{p}{q}$ 的数，记作 $\mathbb{Q}$。可数，并且任意一段长度大于 0 的区间里都有有理数。

同时满足完备性和传递性的偏好。它是整个理性选择理论的出发点。

找到一个完备、传递的偏好 $⪰$，使得“按它选”恰好得到观察到的选择，即 $C(\cdot )=C(\cdot ;⪰)$。这里不是“找借口”的意思。

数轴上全部的数，记作 $\mathbb{R}$。${\mathbb{R}}^n$ 是 $n$ 个实数排成的数组，${\mathbb{R}}_{+}^n$ 要求每个分量都 $\ge 0$，即商品篮子所在的空间。

人在心里拿来比较的基准。同一个结果，和不同的参照点比，感觉好坏不同；诱惑和菜单上的其他选项都会移动参照点。

对所有 $x$，$xRx$。完备性推出自反性；严格偏好 $\succ$ 不自反。

从观察到的选择反推偏好的思路：$y$ 也能选、他却选了 $x$，就“显示”出他认为 $x$ 至少和 $y$ 一样好。

$x{⪰}_{c}y$：存在某个菜单 $A$，$y\in A$ 且 $x\in C(A)$，即“$y$ 摆在面前时，$x$ 曾被选中过”。下标 $c$ 表示它由选择 $C$ 得出。

先定一个“够好”的标准，遇到第一个达标的选项就停下，不再继续找最优。把继续寻找的代价算进去，这往往是合理的做法。

面对诱惑时忍住、按长远利益行事的能力。Gul 和 Pesendorfer 的模型里，忍住诱惑本身要付出代价。

亚当·斯密的核心思想：每个人追求自己的利益，市场会把这些各自为己的行为协调成对整体有利的结果。

选择分成 $x$ 和 $y$ 两部分时，对任何菜单 $S$，最优的 $x^{\ast }(S,y)$ 都不随 $y$ 改变。命题 6：这等价于效用能写成 $u(x,y)=U(v(x),y)$，$U$ 对第一个位置递增。

按顺序排好的一列数或点 $x_1,x_2,x_3,\dots$，例如 $x_n=\frac{1}{n}$。

一些确定的、互不相同的对象放在一起组成的整体，例如 $X=\{\text{苹果},\text{香蕉},\text{橙子}\}$。只管有没有，不管顺序和重复。

集合 $C(B;⪰)$ 本身：菜单 $B$ 里最好的选项。有并列时可能不止一个；菜单有限且非空、偏好理性时一定非空；菜单无限时可能是空集。

$\{x\in A\mid P(x)\}$：从 $A$ 里挑出所有满足条件 $P(x)$ 的元素。竖线读作“使得”，也有书写成冒号。

若 $x\gg y$（每样东西都更多），则 $x\succ y$。大白话：每样都多一点，一定更好。

$x\succ y$：$x⪰y$ 成立而 $y⪰x$ 不成立，即 $x$ 真的比 $y$ 好。

若 $x⪰y$、$x^{\prime }⪰y$ 且 $x\ne x^{\prime }$，则对 $t\in (0,1)$ 有 $tx+(1-t)x^{\prime }\succ y$。大白话：两个不同的、都不比 $y$ 差的组合，混合以后严格更好。

$a<b\Rightarrow f(a)<f(b)$：输入变大，输出一定变大。对效用做严格递增变换不改变排序。

对任意 $x\ne y$ 和 $\lambda \in (0,1)$，$f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min \{f(x),f(y)\}$。严格凸偏好对应严格拟凹效用。

若 $A$ 的每个元素都在 $B$ 里，就说 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A\subseteq B$。例如菜单 $B\subseteq X$。

若 $P\Rightarrow Q$，则 $P$ 是 $Q$ 的充分条件：有 $P$ 就足以保证 $Q$。例如“完备且传递”是“选得出东西”的充分条件。

$xRy\Rightarrow yRx$。无差异 $\sim$、“是朋友”是对称的；$⪰$ 一般不是。

很多人在同一类情况下朝同一个方向偏离理性模型的预测，并且能重复观察到。和方向不定、平均下来会抵消的随机失误不同。

一时很想要、冷静时却觉得不该要的东西，比如深夜的炸鸡。诱惑即使没被选中，也会改变人衡量其他选项的参照点。

理论对可观察数据提出的限制：只要数据违反它，就能否定这个理论。HARP 就是“理性选择”对选择数据的可检验预测。

$\exists x\in A$：$A$ 里至少能找到一个 $x$。

模型好不好算、好不好分析。假设越简单，越容易求出结果、推出结论。

若 $x⪰y$ 且 $y⪰z$，则 $x⪰z$。偏好不会“兜圈子”。

$A\cup B$：至少属于 $A$、$B$ 之一的元素组成的集合。例如 $B\cup \{x\}$ 是往菜单 $B$ 里加一个选项 $x$。

偏好里，$y$ 的上等高集是 $\{x\in X:x⪰y\}$，即所有不比 $y$ 差的选项；函数里，$U_{\alpha }=\{x\in C\mid f(x)\ge \alpha \}$，即函数值至少为 $\alpha$ 的点。

19 世纪兴起的哲学思潮：政策应当追求“最大多数人的最大幸福”。为此需要一个能衡量每项政策给每个人带来多少好处的“效用”指标。

一个函数 $u:X\to \mathbb{R}$，给每个选项 $x$ 打一个实数分数 $u(x)$。分数只用来排序：分高表示更喜欢。

给每个选项打一个分数 $u(x)$，在可行选项里选分数最高的。只要分数的高低如实反映偏好排序，它和“选最偏好的”结果完全一样。

说 $u$ 表示偏好 $⪰$，是指对任意 $x,y$：$x⪰y⟺u(x)\ge u(y)$。这时“选最喜欢的”就等于“选分数最高的”：$C(B;⪰)=\arg {\max }_{y\in B}u(y)$。

一种假想的选择情境：在不知道自己将成为社会中哪个人（例如饥饿的人还是吃饱的人）的前提下，选择分配规则。有人试图借此做人际比较；批评者认为假想的选择不如真实选择可靠。

只在观察到的菜单上检查：若 $x$ 曾在有 $y$ 的菜单上被选中，那么在任何同时含 $x$、$y$ 且 $y$ 被选中的菜单上，$x$ 也必须被选中。数据不全时，它不足以保证选择能被理性偏好解释。

完备且传递的关系，允许并列。理性偏好就是弱序。

$x⪰y$：这个人觉得 $x$ 至少和 $y$ 一样好（可能更好，也可能一样好）。

一个人变得更有钱（或更穷）时，他的选择跟着改变。没有财富效应：给两个选项加上同样多的钱，排序不变；你肯为某样东西付的钱，和你本来有多少钱无关。

判断一项政策或变化让人们变得更好还是更差、好多少。理性选择理论用人们自己的偏好（从他们的选择中推出）作为判断标准。

一个人为得到某样东西最多愿意付的钱。价格不超过它就买，超过就不买。