定义与命题速查

本讲出现的全部定义、命题，以及几个课件没有编号、但后面反复要用的概念，按页码排在一页上。每一条依次是：课件原文、中文意思、一个例子（或反例）、讲解所在的页。课件没有编号的概念标“未编号”。课件的编号从定义 4 直接跳到定义 6，没有定义 5，这里照课件编号。

“每页一句话”在本页最后：本讲 29 页，每页一句话，适合考前从头扫一遍。

一、偏好与选择规则（第 3–7 页）

三个基本符号：弱偏好、严格偏好、无差异（未编号）

• 意思：$x⪰y$ 读作“$x$ 不比 $y$ 差”（可能更好，也可能一样好），叫 弱偏好。另外两个都由它定义：$x\succ y$ 是“$x$ 真的更好”，叫 严格偏好；$x\sim y$ 是“一样好”，叫 无差异。
• 例子：小王觉得牛肉面和盖浇饭一样好，都比白粥好。写成符号：面 $\sim$ 饭，面 $\succ$ 粥，饭 $\succ$ 粥；由此也有面 $⪰$ 饭、饭 $⪰$ 面、面 $⪰$ 粥。
• 详见：第 3 页

定义 1：完备性（Completeness）

• 意思：任意两个选项都能比较：$x⪰y$ 和 $y⪰x$ 至少有一个成立，两个都成立就是一样好。不允许“没法比”。这叫 完备性。
• 反例：问小王牛肉面和盖浇饭哪个不差，他可以说“一样好”，但如果他说“这两样没法比”，他的偏好就不完备。
• 详见：第 3 页

定义 2：传递性（Transitivity）

• 意思：“不比……差”可以接力：$x$ 不比 $y$ 差、$y$ 不比 $z$ 差，那么 $x$ 不比 $z$ 差。这叫 传递性。完备性加传递性，合称 理性偏好。
• 例子：面 $⪰$ 饭、饭 $⪰$ 粥，就必须有面 $⪰$ 粥。第 4 页的框架效应（同样省 5 美元，态度却不同）是课件给的违反传递性的例子。
• 详见：第 3 页、第 4 页

最优选择集 $C(B;⪰)$（未编号）

• 意思：给一份菜单 $B$，$C(B;⪰)$ 是菜单里“不比任何一个选项差”的那些选项，也就是最喜欢的那些，可能不止一个。这叫 最优选择集。菜单有限时它一定非空；菜单无限时可能是空集。
• 例子：$B=\{\text{面},\text{饭},\text{粥}\}$，面 $\sim$ 饭 $\succ$ 粥，那么 $C(B;⪰)=\{\text{面},\text{饭}\}$。空集的例子：允许你拿走不到 1 元的任意金额（区间 $(0,1)$），钱越多越好，可是没有“最多”的那个金额，$C$ 是空集。
• 详见：第 5 页

命题 1：理性偏好保证的两件事

• 意思：偏好理性时，（1）有限、非空的菜单上总能选出最好的；（2）$x$、$y$ 在两份菜单上都有，$x$ 是 $A$ 里最好的之一、$y$ 是 $B$ 里最好的之一，那么 $x$ 在 $B$ 里、$y$ 在 $A$ 里也都是最好的之一。
• 例子：$A=\{\text{面},\text{饭},\text{粥}\}$ 里面是最好的之一，$B=\{\text{面},\text{饭}\}$ 里饭是最好的之一。由（2），面和饭在两份菜单里都是最好的之一，说明面 $\sim$ 饭。
• 详见：第 6 页（证明在 第 7 页）

二、显示偏好（第 8–13 页）

定义 3：选择规则（choice rule）

• 意思：$\mathcal{B}$ 是若干份菜单（$X$ 的子集）组成的集合。选择规则给每份菜单 $B$ 指定被选中的选项 $C(B)$，唯一的要求是只能从菜单上选：$C(B)\subseteq B$。它和 $C(B;⪰)$ 不同：这里的 $C$ 是观察到的选择，不预设任何偏好。
• 例子：记录到 $C(\{\text{面},\text{饭}\})=\{\text{面}\}$、$C(\{\text{面},\text{饭},\text{粥}\})=\{\text{面}\}$，这就是一个选择规则在两份菜单上的取值。
• 详见：第 9 页

定义 4：HARP（Houthakker 显示偏好公理）

• 意思：和命题 1 的第（2）条一字不差，只是把 $C(\cdot ;⪰)$ 换成了观察到的 $C(\cdot )$：$x$、$y$ 在两份菜单上都有，$x$ 在一份里被选、$y$ 在另一份里被选，那么两样在两份菜单里都应该被选。这就是 HARP。
• 反例：$C(\{\text{面},\text{饭}\})=\{\text{面}\}$，但 $C(\{\text{面},\text{饭},\text{粥}\})=\{\text{饭}\}$。取 $x=$ 面、$y=$ 饭，HARP 要求面也在第二份菜单的选择里，实际没有，所以违反 HARP：多了一碗粥，他就从面改选了饭。
• 详见：第 9 页

命题 2：能被理性偏好解释，当且仅当满足 HARP

• 意思：只要每份菜单他都会选点东西（$C$ 非空），那么“能找到一套理性偏好，正好解释他在每份菜单上的选择”和“他的选择满足 HARP”是一回事。所以要检验一个人是否理性，只需检查 HARP。
• 证明思路：必要性直接用命题 1。充分性用他的选择定义显示偏好关系 ${⪰}_c$（下一条），再证明 ${⪰}_c$ 完备、传递，并且按 ${⪰}_c$ 选正好还原 $C$。证明用到了每个两元素菜单 $\{x,y\}$ 和三元素菜单 $\{x,y,z\}$ 上的选择，所以默认这些菜单上的选择都观察得到。
• 详见：第 10 页（证明在 第 11 页、第 12 页）

显示偏好关系 ${⪰}_c$（未编号）

• 意思：只要在某份有 $y$ 的菜单上看到他选了 $x$，就说“$x$ 被显示为不比 $y$ 差”。这是从选择反推出来的偏好，叫 显示偏好关系。
• 例子：看到 $C(\{\text{面},\text{饭},\text{粥}\})=\{\text{面}\}$，就得到面 ${⪰}_c$ 饭、面 ${⪰}_c$ 粥（以及面 ${⪰}_c$ 面）。
• 详见：第 11 页

WARP（弱显示偏好公理，MWG 的表述）

• 表述：如果某份菜单 $B\in \mathcal{B}$ 中 $x,y\in B$ 且 $x\in C(B)$，那么对任何 $B^{\prime }\in \mathcal{B}$，只要 $x,y\in B^{\prime }$ 且 $y\in C(B^{\prime })$，就必须有 $x\in C(B^{\prime })$。
• 意思：WARP 和 HARP 的式子一样，区别只在能检查的菜单范围：HARP 要看所有菜单上的选择，WARP 只在观察到的菜单上检查。现实数据往往只有预算集上的选择，所以只能用 WARP；它要求少，推出的结论也少：数据不全时，满足 WARP 也不一定能被理性偏好解释。
• 详见：第 13 页

三、效用函数（第 14–17 页）

效用表示（未编号）

• 意思：给每个选项打一个分 $u(x)$，分数的高低顺序和偏好完全一致，就说 $u$ 表示 $⪰$，这叫 效用表示。这时“选最好的”就是“选分数最高的”。
• 例子：面 $\sim$ 饭 $\succ$ 粥，可以取 $u(\text{面})=u(\text{饭})=2$、$u(\text{粥})=1$；取 $10,10,3$ 也一样。分数只有顺序有意义，数值本身没有意义。
• 详见：第 14 页

命题 3：选项有限时，理性偏好一定能用效用表示

• 意思：选项只有有限个时，任何完备、传递的偏好都能找到效用函数来表示。证明思路是对选项个数归纳：最好的选项给最高分，再对剩下的选项重复。
• 注意：选项有无限多个时就不一定了，见下面的字典序偏好。
• 详见：第 14 页

字典序偏好：理性，却不能用效用表示（未编号）

• 意思：先比第一种商品，多者为好；第一种一样多时，才比第二种。准确地说，$x\succ y$ 当且仅当 $x_1>y_1$，或者 $x_1=y_1$ 且 $x_2>y_2$。这种 字典序偏好完备、传递，却找不到任何实值效用函数来表示它。
• 例子：$(2,0)\succ (1,100)$：第一种商品多一点，第二种商品少得再多也不管。
• 详见：第 15 页

定义 6：连续性（Continuity）

• 意思：“不比……差”在取极限时不会突然反转：每一对都有 $x_n$ 不比 $y_n$ 差，那么极限 $x$ 也不比极限 $y$ 差。这叫偏好的 连续性。
• 反例：字典序偏好不连续。取 $x_n=(1+\frac{1}{n},0)$、$y_n=(1,1)$：每个 $n$ 都有 $x_n\succ y_n$（第一种商品多），可是极限 $(1,0)$ 比 $(1,1)$ 差。
• 详见：第 15 页

命题 4：连续的理性偏好有连续的效用函数

• 意思：选项是 $n$ 种商品的组合时，偏好只要完备、传递、连续，就一定能用一个连续的效用函数表示。
• 证明思路（第 16 页，额外假设偏好严格单调）：对每个组合 $x$，找一个数 $\alpha (x)$，使“每种商品各 $\alpha (x)$ 份”和 $x$ 一样好，令 $u(x)=\alpha (x)$。在图上，$\alpha (x)$ 就是经过 $x$ 的无差异曲线与 45° 线交点的坐标。
• 详见：第 15 页、第 16 页

效用不唯一：严格递增变换（未编号）

• 意思：$u$ 表示 $⪰$ 时，对分数做任何严格递增的变换 $v$（比如乘 2 再加 1，或者开立方），得到的 $v(u(x))$ 仍表示同一个偏好。所以效用只有顺序有意义（序数效用），不能拿两个人的效用数值比高低。
• 例子：在 $x_1,x_2>0$ 上，$u=x_1{x}_2$ 和 $\ln u=\ln x_1+\ln x_2$ 表示同一个偏好，因为 $\ln$ 严格递增。
• 详见：第 16 页

刚可察觉差异（未编号）

• 意思：分数至少高出 1，人才觉察得到“更好”；差距小于 1 时觉得一样好。这叫 刚可察觉差异。这样的“一样好”不满足传递性。
• 例子：$u(x)=0$、$u(y)=0.6$、$u(z)=1.2$。$x$ 与 $y$ 差 0.6，觉得一样好；$y$ 与 $z$ 差 0.6，也觉得一样好；可是 $z$ 比 $x$ 高 1.2，明显更好。
• 详见：第 17 页

四、对偏好的常用限制（第 18–22 页）

定义 7：单调性（Monotonicity）

• 意思：$x\ge y$ 指每种商品 $x$ 都不比 $y$ 少。东西多一点，至少不会更差。这叫 单调性。
• 例子：第一种商品是苹果、第二种是梨，那么 $(3,2)⪰(2,2)$：多一个苹果，不会更差。
• 详见：第 19 页

定义 8：局部非饱和（Local Non-satiation）

• 意思：不管现在拥有什么组合 $y$，在离它不到 $\epsilon$ 的地方（$\epsilon$ 再小都行）总有一个更好的组合 $x$。永远不会“完全满足”。这叫 局部非饱和。
• 反例：如果存在一个“最理想”的组合，比如刚好吃饱的那份饭菜，在它附近找不到更好的，就违反局部非饱和。
• 详见：第 19 页

定义 9：凸性（Convexity）

• 意思：两个都不比 $y$ 差的组合，按任何比例混合以后仍然不比 $y$ 差。直观上就是“喜欢搭配，不喜欢极端”。这叫 凸偏好。
• 例子：$(4,0)⪰(1,1)$、$(0,4)⪰(1,1)$，凸性要求一半一半的 $(2,2)⪰(1,1)$。反例：甜豆花、咸豆花都爱喝，却不想要一半甜一半咸的一碗。
• 详见：第 19 页

命题 5：三条限制换成效用函数的性质

• 意思：单调对应“商品增加时效用不下降”；局部非饱和对应“效用没有局部最大值”；凸性对应“效用拟凹”。做题时通常直接检查效用函数。
• 例子：$u=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}$ 在 ${\mathbb{R}}_{+}^2$ 上不减、没有局部最大值、拟凹，所以它表示的偏好单调、局部非饱和、凸。
• 详见：第 19 页

拟凹与严格拟凹（未编号）

• 意思：拟凹有两种等价的说法：每个“函数值至少为 $\alpha$”的区域 $U_{\alpha }$（上等高集）都是凸的；或者，两点混合以后的函数值，不低于两端中较小的那个。
• 严格拟凹：对任意 $x\ne y$ 和 $\lambda \in (0,1)$，都有 $f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min \{f(x),f(y)\}$。图上表现为无差异曲线没有直的一段。课件写的是“$x\ne y$ 且 $f(x)\ne f(y)$ 时不等式严格成立”，和这个标准定义不同；本站按标准定义讲，原因见第 20 页。
• 例子：$x_1+x_2$ 拟凹但不严格拟凹（无差异曲线是直线）；$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}$ 严格拟凹。
• 详见：第 20 页

定义 10：$x$ 的选择不依赖 $y$

• 意思：选择分成两块，$x$ 来自 $X$，$y$ 来自 $Y$。$x^{\ast }(S,y)$ 是 $y$ 固定时，菜单 $S\subseteq X$ 里最好的那些 $x$。“不依赖 $y$”就是：$y$ 换成什么，从 $S$ 里选出的 $x$ 都一样。阅读材料要求这对所有菜单 $S$ 都成立，课件省略了这一点。
• 例子：不管主菜点牛排还是鱼，他从同一张酒水单里都选同一种饮料，饮料的选择就不依赖主菜。
• 详见：第 21 页

命题 6：可分性

• 意思：$x$ 的选择不受 $y$ 影响，当且仅当总效用能写成“先给 $x$ 打一个分 $v(x)$，$x$ 只通过这个分数进入总效用”，并且 $U$ 对这个分数严格递增。这叫 可分性。
• 例子：$u(x,y)=m(y)v(x)+w(y)$，其中 $m(y)>0$。不管 $y$ 是什么，$x$ 都按 $v(x)$ 的高低来选。
• 详见：第 21 页

拟线性偏好与命题 7

• 三个条件：选项是 $(a,y)$，$a\ge 0$ 是钱。① 钱越多越好：$(a,y)⪰(a^{\prime },y)$ 当且仅当 $a\ge a^{\prime }$。② 钱能补偿：存在最差的 $\bar{y}$，并且对每个 $y$ 都有一笔钱 $t\ge 0$，使 $(0,y)\sim (t,\bar{y})$。课件这里写的是 $\prec$，本站按阅读材料讲，见第 22 页的核对框。③ 没有财富效应：如果 $(a,y)⪰(a^{\prime },y^{\prime })$，那么两边各加同样的 $t$ 元，仍有 $(a+t,y)⪰(a^{\prime }+t,y^{\prime })$。
• 意思：满足这三条，比较两个选项只需把“钱 + $y$ 折合的钱 $v(y)$”加起来比大小。这叫 拟线性偏好。本来有多少钱，不影响他在钱和 $y$ 之间怎么取舍。
• 例子：$v(\text{看电影})=50$、$v(\text{不看})=0$。不管口袋里有 100 元还是 1000 元，他为看一场电影最多都愿意付 50 元。
• 详见：第 22 页