偏好与选择规则

这一页在讲什么

经济学想描述“一个人怎么做选择”。第一步，是找一种精确的语言来描述“他觉得哪个更好”。这一页就在造这种语言：

1. 把所有可选的东西放进一个集合 $X$；
2. 用一个符号 $⪰$ 表示“至少一样好”，再由它派生出“更好” $\succ$ 和“一样好” $\sim$；
3. 提出两条要求——完备性和传递性。同时满足这两条的偏好，经济学称为 理性偏好（rational preference）。

后面整门课（效用函数、消费者需求、不确定性下的选择）都建立在这两条要求之上，所以这一页是地基。

先补基础

逐句读懂

• 意思：用 $X$ 表示所有可能的选项。后面出现的 $x,y,z$ 都是 $X$ 里的选项。

• 读法：$x⪰y$ 读作“$x$ 弱偏好于 $y$”，口语就是“$x$ 至少和 $y$ 一样好”。
• 意思：这个人拿 $x$ 和 $y$ 比，觉得 $x$ 不比 $y$ 差——可能更好，也可能一样好。
• 为什么叫“弱”：它把“更好”和“一样好”两种情况都包括了，要求比较宽松，所以叫 弱偏好。

• 读法：$x\succ y$ 读作“$x$ 严格偏好于 $y$”，即“$x$ 比 $y$ 好”。
• 意思：两个条件同时成立：① $x$ 至少和 $y$ 一样好；② 反过来不成立，$y$ 并不至少和 $x$ 一样好。合起来就是“$x$ 真的更好”。这叫 严格偏好。

• 读法：$x\sim y$ 读作“$x$ 与 $y$ 无差异”。
• 意思：$x$ 至少和 $y$ 一样好，同时 $y$ 也至少和 $x$ 一样好——那只能是“一样好”。这叫 无差异。

• 意思：任意挑两个选项，这个人总能比较：要么觉得 $x$ 不比 $y$ 差，要么觉得 $y$ 不比 $x$ 差，要么两个都成立（一样好）。上表最后一行“说不出”的情况不允许出现。这就是 完备性。
• 一个容易忽略的细节：$x$ 和 $y$ 可以是同一个选项。取 $y=x$，完备性给出 $x⪰x$，即“任何东西至少和它自己一样好”（数学上叫自反性，reflexivity）。第 7 页的证明会用到这一点。

• 意思：偏好可以“接力”：$x$ 不比 $y$ 差、$y$ 又不比 $z$ 差，那么 $x$ 也不比 $z$ 差。这就是 传递性。
• 生活里的说法：“苹果至少和香蕉一样好，香蕉至少和橙子一样好”，那么“苹果至少和橙子一样好”。
• 它排除了什么：排除“兜圈子”。如果某人觉得苹果比香蕉好、香蕉比橙子好、橙子又比苹果好，那么无论他手里拿着哪一个，总有另一个他觉得更好——这样根本选不出“最好的”。

两条要求合起来：一张允许并列的“榜”

完备性和传递性合在一起，意思其实很好懂：这个人能把所有选项排成一张榜，一样好的可以并列在同一层。

• 完备性保证每个选项都能上榜：任意两个都比得出结果，没有“说不出”的。
• 传递性保证这张榜排得下去：上面的不比下面的差，不会出现“绕一圈又回到自己”的情况。

看图时注意两点：左图同一层的两个水果用 $\sim$ 连着，表示一样好；右图每条箭头都从更喜欢的指向更不喜欢的，三条箭头首尾相接绕成一圈，所以排不成一张从上到下的榜。

生活中这样的榜随处可见：你在外卖软件里给常点的几家店排个“最想吃”的顺序，排得出来、而且不会越排越乱，就说明你在这件事上的偏好是理性的。第 14 页会看到，这张榜还可以换成分数：越靠上，分数越高。

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

上一页提出了理性偏好的两条要求：完备性和传递性。传递性听起来像常识——“$x$ 不比 $y$ 差、$y$ 不比 $z$ 差，那 $x$ 当然不比 $z$ 差”。这一页举一个心理学家 Kahneman 和 Tversky 做过的著名实验，说明真实的人有时并不满足传递性：只要换一种问法（经济学和心理学称为 框架效应），人们的回答就会互相矛盾。

这一页的目的不是推翻理性模型，而是提醒我们：完备性、传递性是假设，不是定理，现实中可能被违反。第 23–29 页会系统地讨论这类“行为经济学的批评”。

先补基础

逐句读懂

• 意思：你准备买一台音响（stereo）和一个计算器（calculator），这家店的标价是音响 125 美元、计算器 15 美元，合计 140 美元。

• 意思：你得知 10 分钟路程外的另一家分店，计算器便宜 5 美元（从 15 美元降到 10 美元）。要不要跑一趟？很多人说去。
• 翻译成偏好：“去”比“不去”好，即 $x\succ z$。

• 意思：换一种说法：另一家分店的音响便宜 5 美元（从 125 美元降到 120 美元）。要不要去？很多人说不去。
• 翻译成偏好：“不去”比“去”好，即 $z\succ y$。

• 意思：课程阅读材料（Levin & Milgrom 的讲义）里这一问的完整情境是：两样东西在这家店都缺货，你必须去另一家分店买；作为补偿，你会得到 5 美元折扣。问你：在乎折扣打在哪个商品上吗？大多数人觉得无所谓。
• 翻译成偏好：“计算器便宜 5 美元”和“音响便宜 5 美元”一样好，即 $x\sim y$。

• 意思：三种情况下省的钱一模一样（都是 5 美元），跑的路也一样（都是 10 分钟），只是描述方式（框架，framing）不同，人们的选择就变了。下面证明：这三个回答放在一起，违反了传递性。

为什么说违反了传递性：一步一步推

先把三种方案的“结果”算清楚：

从结果看，$x$ 和 $y$ 完全一样：都付 135 美元、都跑 10 分钟。

证明里真正“坏掉”的是第 3 步要求的结论：前两个回答本身并不矛盾（排成 $x\succ z\succ y$ 就行），是加上第三个回答以后，才和传递性冲突。

动手试一试：下面的图已经按三个回答设好了。看看说明面板怎么指出矛盾；再改一改其中一个回答，看看怎样才能变成理性的偏好。

人们为什么这样回答

一个常见的解释是：人们按比例而不是按金额来感受“便宜了多少”。

• 计算器：省 5 美元，相当于 $\frac{5}{15}\approx 33\%$，感觉“便宜了三分之一”，值得跑一趟。
• 音响：省 5 美元，相当于 $\frac{5}{125}=4\%$，感觉“几乎没便宜”，不值得跑一趟。

图里两段橙色一样长，这才是钱包真正关心的东西；可人眼更容易看到的是“橙色占整根条的多少”。人们的回答跟着比例走，而不是跟着橙色那一段走。

可是对钱包来说，两次都是实实在在的 5 美元。理性选择模型只看结果（买到什么、花多少钱、花多少时间），不管它是怎么被描述的；而真实的人会被描述方式影响。这就是框架效应。

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

前几页讲的都是偏好：一个人心里怎么比较两个选项。但偏好是看不见的，我们能观察到的是选择：给他一份“菜单”，他最后拿了什么。这一页把两者连起来，定义 选择规则：

给定偏好 $⪰$ 和一份菜单 $B$，这个人会选菜单里“最好的那些”选项。

这些“最好的选项”组成的集合记作 $C(B;⪰)$，叫作 最优选择集。整门课里“理性的人会怎么做”，说的都是这个规则。

先补基础

逐句读懂

把这个式子拆成几块来读：

• 整句意思：$C(B;⪰)$ 是菜单 $B$ 里所有“不比菜单中任何一个选项差”的选项组成的集合。

• 意思：$C(B;⪰)$ 就是 $B$ 中“最喜欢的那些选项”的集合（set of most-preferred items）。注意是“那些”：可能不止一个。

• 意思：菜单是有限的（只有有限个选项）时，$C(B;⪰)$ 一定非空——总能选出东西；菜单是无限的时，$C(B;⪰)$ 可能是空集——可能根本选不出“最好的”。
• 第一句需要两个前提：菜单本身非空，而且偏好是理性的（完备且传递）。下一页的命题 1 会把它写成正式结论，第 7 页给出证明。

怎样一步步算出 $C(B;⪰)$

定义本身就给出了一个“笨办法”，对有限菜单总是行得通：

1. 从菜单里拿出一个选项 $x$；
2. 把菜单里的每一个 $y$（包括 $x$ 自己）都拿来和 $x$ 比，问“$x⪰y$ 吗”；
3. 如果全都回答“是”，$x$ 就进入 $C(B;⪰)$；只要有一个“否”，$x$ 就被淘汰；
4. 对菜单里的每个选项都这样做一遍。

下面的组件里可以自己搭菜单：点水果把它放进或拿出菜单，看最优选择集怎么变化；切换到“无限菜单”模式，看看为什么会选不出东西。

为什么无限菜单可能选不出

这个例子里偏好是完备且传递的，问题出在菜单上：选项可以无限地“越来越好”，却永远到不了顶。有限菜单不会出现这种情况，因为可以一个一个地比完。

图（a）的关键在右端：1 画成空心圆，表示它不在菜单里。绿色箭头一次比一次短，每次都离 1 更近，却永远够不着，所以找不到“最大的那个数”。图（b）是下面例子里小红的循环偏好：沿着红色箭头绕一圈，每个水果都被下一个打败，所以菜单虽然只有三样东西，也选不出最好的。

例子

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

第 5 页定义了选择规则 $C(B;⪰)$，也看到它可能是空集（选不出东西）。这一页给出第一个正式结论 命题 1：只要偏好是理性的（完备且传递），选择规则就有两条好性质：

1. 一定选得出：菜单非空且有限时，$C(B;⪰)$ 不是空集；
2. 前后一致：同一个人面对不同菜单时，选择不会“自相矛盾”。

第一条保证模型“有用”：不会出现理性的人站在菜单前什么也选不出的尴尬。第二条给出了一个可以检验的预言：如果真实的选择违反它，就说明这个人的选择不能用理性偏好解释。第 8–13 页的“显示偏好”就是从这里展开的。

先补基础

逐句读懂

• 意思：命题 1：如果偏好 $⪰$ 是完备的、传递的（即第 3 页的理性偏好），那么下面两条成立。

• 读法：对每一个有限、非空的 $B$，$C(B;⪰)$ 都不是空集。
• 意思：只要菜单上有东西、而且只有有限个，理性的人一定能从中选出至少一个最好的选项。

• 读法：如果 $x$ 和 $y$ 都在 $A\cap B$ 里，$x$ 属于 $C(A;⪰)$，$y$ 属于 $C(B;⪰)$，那么 $x$ 属于 $C(B;⪰)$，$y$ 属于 $C(A;⪰)$。
• 意思：有两份菜单 $A$ 和 $B$，选项 $x$、$y$ 在两份菜单上都有。如果面对 $A$ 时 $x$ 是最好的之一，面对 $B$ 时 $y$ 是最好的之一，那么 $x$ 在 $B$ 里也是最好的之一，$y$ 在 $A$ 里也是最好的之一。

结论 1：为什么两条假设缺一不可

结论 1 的证明在第 7 页。这里先看反例：去掉任何一条假设，结论 1 都可能失败。

结论 2：两份菜单之间的选择要一致

结论 2 的道理可以用“比赛”来理解：

1. $x$ 在菜单 $A$ 里被选中，而 $y$ 也在 $A$ 里，所以 $x$ 和 $y$ 比过、不比 $y$ 差：$x⪰y$。
2. $y$ 在菜单 $B$ 里被选中，而 $x$ 也在 $B$ 里，所以 $y⪰x$。
3. 两条合起来，$x\sim y$：$x$ 和 $y$ 一样好。
4. 既然 $y$ 在 $B$ 里不比任何选项差，和 $y$ 一样好的 $x$ 在 $B$ 里也不比任何选项差，所以 $x$ 在 $B$ 里也该被选中。反过来，$y$ 在 $A$ 里也该被选中。

第 4 步里“和 $y$ 一样好，所以也不比别人差”用的就是传递性。第 7 页会把它写成严格的证明。

看图时先找重叠的部分：结论 2 只管同时出现在两份菜单上的选项（这里是苹果和香蕉），只出现在一边的橙子、梨与它无关。生活里的例子：同一家奶茶店的两家分店菜单不完全一样，如果你在 A 店点了珍珠奶茶、B 店点了杨枝甘露，而两店都有这两样，那么理性的你应该觉得它们一样好，在哪家点哪个都可以。

例子

这就是命题 1 的用处：偏好看不见，但只要看到的选择违反结论 2，就能断定“这些选择不是由理性偏好产生的”。第 9 页会把结论 2 改写成直接针对选择数据的条件，叫作 HARP。

常见困惑

这一页的要点

自测

这一页在讲什么

第 6 页给出了命题 1 的两个结论，这一页给出证明。课件上只写了提纲（sketch），下面按课程阅读材料把每一步补全，并标出每一步用了哪条假设。

证明的意义在于看清完备性和传递性各自管什么：完备性保证“任意两个都能比”，传递性保证“比赢了擂主就比赢了所有人”。少了哪一条，证明就会在某一步卡住，第 6 页的反例正好对应这些地方。

先补基础

逐句读懂

• 意思：结论 (1) 对菜单的元素个数 $|B|$ 用归纳法。起点：只有一个选项时，$C(B)$ 非空。传递：假设 $n$ 个选项时成立，再用完备性和传递性证明 $n+1$ 个选项时也成立。
• 这里的 $C(B)$ 是 $C(B;⪰)$ 的简写。

• 意思：结论 (2)：如果 $x\in C(A)$、$y\in C(B)$，那么 $x⪰y$，并且对 $B$ 中所有 $z$ 有 $y⪰z$。由传递性，对 $B$ 中所有 $z$ 有 $x⪰z$，所以 $x\in C(B)$。$y\in C(A)$ 可以“对称地”证明。
• 课件省略了“$x⪰y$ 从哪来”。下面会补上：它来自 $x\in C(A)$ 和 $y\in A$。

证明结论 (1)：每一步都补全

第 5 步只保证“至少一个成立”，两个都成立（$x\sim y$）也没关系：这时用情况一或情况二的论证都行。

证明结论 (2)：把“不差”传过去

回顾结论 (2) 的前提：$x,y\in A\cap B$，$x\in C(A)$，$y\in C(B)$。要证 $x\in C(B)$ 和 $y\in C(A)$。

课件说后半部分“对称”（symmetric），意思是把 $(x,A)$ 和 $(y,B)$ 的角色互换，同样的论证再走一遍：

结论 (2) 的证明只用了传递性，没有用到完备性。

例子

从左往右读下排：擂主换了两次（香蕉、芒果），守住了两次。每一轮只比一场，可最后的擂主不比任何一个水果差，包括它从没直接交手的梨和橙子。这一步靠的正是传递性，也就是归纳证明里第 6、7 步要做的事。

常见困惑

这一页的要点

自测