凸集、凸组合与拟凹函数 · 数学基础 · 高级微观经济学

这一页讲“混合”的数学：两个篮子按比例混合（凸组合），混合后跑不出去的集合（凸集），“至少这么好”的集合（上等高集），以及三种和混合有关的函数性质：凹、拟凹和它们的严格版本。第 1 讲里，第 19 页定义凸偏好“两个都不差的组合，混一混也不差”，命题 5 说凸偏好对应拟凹效用；第 20 页给出拟凹函数的定义和上等高集 $U_{α}$ ；第 13 页的预算集是凸集的典型例子。

这一页用到 $R_{+}^{2}$ 、商品篮子和描述法集合，见实数与商品空间、集合描述法；用到的“对所有”见量词。

凸组合

凸组合就是“按比例混合”。奶茶店把两种配方按 3 比 7 兑在一起，期末成绩按“平时 40%、期末 60%”加权平均，都是凸组合。两个商品篮子也能混合：一周里 30% 的日子按篮子 $x$ 买、70% 的日子按篮子 $x^{'}$ 买，平均每天买到的就是它们的凸组合。

记号与读法

写法	读作	意思
$t x + (1 - t) x^{'}$	“ $t$ 倍的 $x$ 加 $1 - t$ 倍的 $x^{'}$ ”	$x$ 占比 $t$ 、 $x^{'}$ 占比 $1 - t$ 的混合
$t \in [0, 1]$	“ $t$ 属于闭区间 0 到 1”	比例不能是负的，也不能超过 1
$t \in (0, 1)$	“ $t$ 属于开区间 0 到 1”	真正的混合，不含“全要 $x$ ”和“全要 $x^{'}$ ”

逐个分量算： $t x + (1 - t) x^{'}$ 的第 $k$ 个分量是 $t x_{k} + (1 - t) x_{k}^{'}$ 。两个权重 $t$ 和 $1 - t$ 加起来恰好是 1。

坐标平面上，从 (2,6) 到 (6,2) 的一条蓝色线段，两端是蓝色大点，中间三个橙色点 (3,5)、(4,4)、(5,3)，分别标着 t=3/4、t=1/2、t=1/4 — 图 1x = (2, 6) 与 x′ = (6, 2) 的凸组合：t = 1 是 x 本身，t = 0 是 x′ 本身，t = 3/4、1/2、1/4 依次得到 (3, 5)、(4, 4)、(5, 3)。所有凸组合连起来，就是两点之间的线段。

下面的组件可以亲手试：拖动两个篮子 $x$ 、 $x^{'}$ ，或拖动 $t$ 滑块，看混合点怎样沿线段移动，面板会逐项列出计算过程。默认 $t = 0.3$ ，正是上面算的 $(4.8, 3.2)$ 。

凸集

凸集是“混合后跑不出去”的集合：集合里任取两点，连一条线段，线段整个都还在集合里。圆盘、三角形、正方形都是凸的；月牙、L 形、圆环都不是——总能找到两点，连线从“缺口”穿出去。

一句话判断法：有没有“凹进去”的地方、有没有“洞”。有，就不是凸集。

记号与读法：“ $\forall x, x^{'} \in S$ ， $\forall t \in [0, 1]$ ， $t x + (1 - t) x^{'} \in S$ ”读作“对 $S$ 里任意两点、任意比例，混合后还在 $S$ 里”。

两排图形。上排三个浅蓝色图形：直角三角形、圆、正六边形，各有一条蓝色线段在内部。下排三个浅橙色图形：月牙、L 形、圆环，各有一条红色线段，两端在图形里，中间一个红叉在图形外 — 图 2上排是凸集：三角形（预算集的形状）、圆盘、正六边形，里面任意两点的连线都留在里面。下排不是凸集：月牙、L 形、圆环，都找得到两点，它们的连线中间跑到集合外面去了（红叉处）。

看下排时注意：要说明一个集合不是凸集，只要找到一对点就够了（一个反例）；要说明它是凸集，则要对所有点对都成立，通常要靠证明。

例子预算集是凸集

第 13 页的预算集 $B_{p, w} = {x \in R_{+}^{2} ∣ p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} \leq w}$ 。取 $p = (2, 1)$ 、 $w = 10$ ， $x = (5, 0)$ 和 $x^{'} = (0, 10)$ 都刚好花完 10 元，中点 $(2.5, 5)$ 花 $2 \times 2.5 + 5 = 10$ 元，也买得起。一般地：

整数商品的选择集不是凸集：只能买整杯奶茶时， $X = {0, 1, 2, \dots}^{2}$ 。 $(0, 0)$ 和 $(1, 0)$ 都在里面，中点 $(0.5, 0)$ 是“半杯”，不在里面。经济学模型通常假设商品可以无限细分，就是为了让选择集是凸集。

现在把组件切换到不同的形状试试：默认是三角形（预算集），线段一直在里面；切到月牙形或 L 形，默认的 $x$ 、 $x^{'}$ 连线会从缺口穿出去，跑出去的那一段变成红色，面板会给出“不是凸集”的结论。也可以自己拖动 $x$ 、 $x^{'}$ ，找一找在圆盘里有没有办法让线段跑出去。

上等高集

给每个篮子打了分以后，“分数至少为 $α$ 的所有篮子”就是一个上等高集。像考试划及格线：分数线定为 60，所有不低于 60 分的人组成“及格的集合”。分数线越高，这个集合越小。

偏好也有对应的版本： $y$ 的上等高集是“所有不比 $y$ 差的篮子”。

记号与读法

写法	读作	意思
$U_{α} = {x \in C ∣ f (x) \geq α}$	“ $f$ 在水平 $α$ 的上等高集”	函数值至少为 $α$ 的点（第 20 页）
$U S (y) = {x \in X ∣ x ⪰ y}$	“ $y$ 的上等高集”	不比 $y$ 差的篮子（第 19 页阅读材料）
${x ∣ f (x) = α}$	“水平 $α$ 的等高线”	函数值恰好为 $α$ 的点，即无差异曲线

“等高”来自地图的等高线： $f$ 是海拔， $U_{α}$ 就是海拔不低于 $α$ 米的所有地方。

最后一句很重要： $x ⪰ y$ 当且仅当 $u (x) \geq u (y)$ ，所以“不比 $y$ 差的篮子”就是“分数至少为 $u (y)$ 的篮子”。偏好的上等高集和效用的上等高集是同一个东西。

左图：坐标平面上一条双曲线 x1x2=4，它右上方涂浅蓝色，几个绿点在曲线上或曲线上方，两个红点在曲线下方，一条绿色虚线连接 (1,4) 和 (4,1)；右图：三条双曲线 x1x2=1、4、9，右上方的区域分别涂成绿色、蓝色、紫色，一层套一层 — 图 3u(x) = x₁x₂ 的上等高集。（a）U₄ 是曲线 x₁x₂ = 4 及其右上方：(2, 2)、(1, 4)、(4, 1) 恰好 4 分，在边界上；(4, 3) 有 12 分，在里面；(1, 1)、(3, 1) 分数不到 4，在外面。虚线连接 (1, 4) 和 (4, 1)，整段都留在 U₄ 里。（b）门槛从 1 提到 4、再到 9，集合一层套一层地变小。

图（a）里那条虚线说明 $U_{4}$ 是凸集： $(1, 4)$ 和 $(4, 1)$ 都是 4 分，中点 $(2.5, 2.5)$ 有 $6.25$ 分，比两端都高。两个“及格”的篮子混合以后，还是及格的——这正是第 19 页“凸偏好”的意思。

凹函数

凹函数的图像像一座山丘或一个倒扣的碗：在图像上任取两点连一根弦，图像总在弦的上方。经济学里它代表“边际递减”：第一杯奶茶很开心，第五杯就没那么开心了。

凸函数正好相反，像一个正放的碗：图像在弦的下方。

记号与读法：“ $f (t x + (1 - t) y) \geq t f (x) + (1 - t) f (y)$ ”读作“先混合再求值，不小于先求值再混合”。左边是“曲线上”的点，右边是“弦上”的点。

左图：一条向上弯的增长曲线 √x，橙色弦连接 (1,1) 和 (9,3)，中点处蓝点在橙色方块上方；右图：一条抛物线 x²，橙色弦连接 (1,1) 和 (3,9)，中点处红点在橙色方块下方 — 图 4（a）√x 是凹函数：x = 1 到 x = 9 的弦，在中点 5 处弦的高度是 (1 + 3)/2 = 2，曲线是 √5 ≈ 2.24，曲线在弦上方。（b）x² 是凸函数：x = 1 到 x = 3 的弦，中点 2 处弦是 (1 + 9)/2 = 5，曲线是 4，曲线在弦下方。

例子检验凹凸，以及效用

x_{1} x_{2}

为什么不凹

$x$ 在 $x = 1$ 、 $x = 9$ 、 $t = \frac{1}{2}$ ： $f (5) = 5 \approx 2.24 \geq \frac{1 + 3}{2} = 2$ ，符合凹函数。
$x^{2}$ 在 $x = 1$ 、 $x = 3$ 、 $t = \frac{1}{2}$ ： $f (2) = 4 \leq \frac{1 + 9}{2} = 5$ ，符合凸函数。
直线 $f (x) = 2 x + 1$ 两边总是相等：它既凹又凸。
效用 $u (x) = x_{1} x_{2}$ （第 20 页）不是凹函数。取 $x = (1, 1)$ 、 $y = (3, 3)$ 、 $t = \frac{1}{2}$ ：中点 $(2, 2)$ 的分数 $u = 4$ ，而弦上的值是 $\frac{1 + 9}{2} = 5$ ， $4 < 5$ ，不等式反了。

可是 $x_{1} x_{2}$ 代表的偏好是很“正常”的凸偏好（见上一节图）。这说明凹性不是偏好的性质： $x$ 凹， $(x)^{4} = x^{2}$ 凸，可在 $R_{+}$ 上两者给出完全相同的排序（ $t \mapsto t^{4}$ 在 $R_{+}$ 上严格递增，见复合函数）。效用的数值可以随意做严格递增变换，凹凸会跟着变，所以偏好理论要找一个变换后不变的性质——拟凹。

拟凹函数

拟凹比凹弱得多，只要求：混合后的值不低于两端中较差的那个。不要求在弦上方，只要求“不掉到两端的最低点以下”。

换一个说法：任意划一条分数线，“及格”的点组成的集合都没有缺口——都是凸集。图像是“单峰”的（只有一个山头，或一直往上走）就是拟凹的；有两个山头、中间有山谷，就不是。

记号与读法： $min {a, b}$ 读作“ $a$ 和 $b$ 中较小的那个”，例如 $min {3, 5} = 3$ 。

两种说法为什么等价？证明只用到上等高集的定义。

三幅函数图，都有一条 α=0.5 的橙色水平虚线。第一幅是递增曲线，x 轴上从 2.5 到 10 一条绿色粗线；第二幅是钟形曲线，x 轴上 3.33 到 6.67 一条绿色粗线；第三幅是两个山峰，x 轴上两段红色粗线，中间 x=5 处一个红点 — 图 5在高度 α = 0.5 处划一条线，x 轴上的粗线是“及格”的区域 U₀.₅。（a）递增函数：U₀.₅ = [2.5, 10]，一整段；（b）单峰钟形：约 [3.33, 6.67]，一整段；（c）双峰：U₀.₅ 断成两段，中间 f(5) ≈ 0.004 远低于两个山顶。前两个是拟凹的，第三个不是。

例子拟凹但不凹，以及饮料温度

钟形 $f (x) = e^{- (x - 5)^{2} /4}$ 是拟凹的（每条分数线下“及格”的都是一段区间），但不是凹函数。取 $x = 0$ 、 $y = 2$ 、 $λ = \frac{1}{2}$ ：

f (0) \approx 0.00193, f (2) \approx 0.1054, f (1) \approx 0.0183, \frac{0.00193 + 0.1054}{2} \approx 0.0537.

$f (1) \approx 0.0183 < 0.0537$ ，曲线在弦下方，凹性不成立；但 $0.0183 \geq min {0.00193, 0.1054}$ ，拟凹的不等式成立。

双峰：饮料温度。有人喜欢冰饮，也喜欢热饮，最讨厌温吞吞的。满意度在 2.5（冰）和 7.5（热）各有一个山头： $f (x) = e^{- (x - 2.5)^{2}} + e^{- (x - 7.5)^{2}}$ ， $f (2.5) \approx f (7.5) \approx 1$ ，而“一半冰一半热”的 $f (5) = 2 e^{- 6.25} \approx 0.0039 < min {f (2.5), f (7.5)}$ 。混合反而更差，不是拟凹的——对应的偏好也不是凸偏好。

凹 $\Rightarrow$ 拟凹： $t f (x) + (1 - t) f (y)$ 是 $f (x)$ 和 $f (y)$ 的加权平均，不会小于两者中较小的，所以凹函数满足拟凹的不等式。反过来不成立，钟形就是例子。

为什么偏好理论用拟凹

拟凹在严格递增变换下保持不变：若 $f$ 拟凹、 $v$ 严格递增，则

v (f (λ x + (1 - λ) y)) \geq v (min {f (x), f (y)}) = min {v (f (x)), v (f (y))},

第一个 $\geq$ 用了 $v$ 递增，等号是因为递增函数不改变“谁小”。所以拟凹是偏好本身的性质，不依赖打分方式。第 19 页命题 5 说的正是：偏好凸 $⟺$ 效用拟凹。原因也很直接： $U S (y) = U_{u (y)}$ ，“每个 $U S (y)$ 是凸集”和“每个 $U_{α}$ 是凸集”是同一件事（第 20 页）。

严格的版本

“严格”版本都在说一件事：真正的混合（ $t$ 严格在 0 和 1 之间，两点不同）要严格更好，不允许“平”的地方。

严格凸集：两点不同时，连线中间的点要严格在集合内部，不能贴着边走。圆盘是，正方形不是（同一条边上两点的连线就在边上）。
严格凸偏好：两个不同的、都不比 $y$ 差的篮子，混合后严格好于 $y$ 。
严格拟凹：混合后的值严格大于两端中较小的那个。

记号与读法：这里 $t \in (0, 1)$ 用开区间，因为 $t = 0$ 或 $1$ 时混合点就是端点本身，不可能“严格更好”； $x \neq = x^{'}$ 排除了“自己和自己混合”。

三幅图：一个绿色圆盘，圆周上两点连线的中点在内部；一个蓝色正方形，上边红色加粗，边上两点及其中点都在这条边上；一条先升后平再降的曲线，平顶部分红色加粗，4、5、6 三处的点都在高度 1 — 图 6（a）圆盘严格凸：边上两点的中点也严格在里面；（b）正方形只是凸：同一条边上两点的中点还在边上；（c）平顶函数是拟凹的，但 f(4) = f(5) = f(6) = 1，混合没有严格变好，所以不是严格拟凹。

课件第 20 页对“严格拟凹”的写法和这里的标准定义不完全一致，原因和反例见第 20 页的核对框；本站一律用上面的标准定义。