序列、极限与连续 · 数学基础 · 高级微观经济学

这一页讲“无穷多、无限接近”的数学：序列和极限（一列数越来越靠近某个数）、距离和邻域（“附近”到底多近）、闭集（极限跑不出去的集合）、连续函数（输入差一点，输出也只差一点），以及可数与不可数（无穷也分大小）。

第 1 讲里用到它们的地方：

第 5 页：从 $[0, 1)$ 里选不出最好的，根子在它不是闭集；
第 15 页：用序列定义偏好的连续性，并用“实数不可数”证明字典序偏好不能用效用表示；
第 16 页：证明连续的偏好有连续的效用函数；
第 19 页：局部非饱和用到“附近的小圆” $B_{ε} (y)$ 。

这一页用到的集合记号、区间写法和“对所有 / 存在”，见集合与逻辑。

序列

序列就是一列排好队的数：第 1 个、第 2 个、第 3 个……一直排下去，没有尽头。比如你每年年底看一眼存款余额，记下来的就是一个序列；每次称体重记下的数字也是。

记号与读法

写法	读作	意思
$x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$	“ $x$ 一、 $x$ 二、 $x$ 三……”	序列的各项
$x_{n}$	“ $x$ 下标 $n$ ”“第 $n$ 项”	排在第 $n$ 个位置的数
$(x_{n})$ 或 $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$	“序列 $x_{n}$ ”	整个序列

下标 $n$ 只是“排第几”，永远是正整数 1、2、3……。一般项公式告诉你“第 $n$ 个是多少”： $x_{n} = \frac{1}{n}$ 就是 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ 。

三幅散点图。第一幅点从 1 迅速下降并贴近横轴；第二幅点交替出现在 1 和 −1 两条水平线上；第三幅点从 1000 开始缓慢加速上升，10 年处约 1344，30 年处约 2427 — 图 1三个序列，横轴是项数 n，每个点是一项。（a）1/n 越来越靠近 0；（b）(−1)ⁿ 在 −1 和 1 之间来回跳，哪儿也不去；（c）年利率 3 的存款，1000 元存 10 年变成约 1344 元，30 年约 2427 元，越来越大。

三张图代表了序列的三种命运：（a）安定下来，越来越靠近某个数；（b）来回摇摆，不靠近任何一个数；（c）越跑越远，没有上限。下一节的“极限”就是给（a）这种情形一个精确的说法。

极限

“ $x_{n}$ 趋向于 $L$ ”的大白话是：只要等得够久， $x_{n}$ 就会和 $L$ 要多近有多近，而且之后一直这么近。

“要多近有多近”是一场对话。你随便说一个误差，比如“差距要小于 0.1”；我回答：“从第 11 项起，每一项都满足。”你再刁难：“小于 0.01 呢？”我说：“从第 101 项起。”不管你提多苛刻的要求，我都能找到一个起点。这就是极限的意思。

记号与读法

写法	读作	意思
$x_{n} \to L$	“ $x_{n}$ 趋向于 $L$ ”	序列的极限是 $L$
$lim_{n \to \infty} x_{n} = L$	“ $n$ 趋于无穷时 $x_{n}$ 的极限是 $L$ ”	同上
$ε$	“epsilon”	你提出的误差要求，一个正数
$N$	—	我找的起点：从第 $N$ 项起都满足要求

两幅散点图，画的都是 1/n。0 附近有一条浅绿色带子，带子外的点是橙色，带子里的点是蓝色，一条紫色竖虚线标出 N。左图带子宽 0.2，N=6；右图纵轴放大，带子宽 0.05，N=21 — 图 2极限的“带子”图：在极限 0 的上下各画宽 ε 的带子。（a）ε = 0.2 时，从第 6 项起所有点都在带子里；（b）带子收窄到 ε = 0.05，起点就要推到第 21 项。带子再窄，也总能找到起点：这就是 1/n → 0。

看图时盯着紫色竖线：它右边的点全部在带子里，一个都不能跑出去。带子越窄，竖线越往右，但它总存在。

例子给

1/ n \to 0

找起点

N

要 $\frac{1}{n} - 0 < ε$ ，就是 $\frac{1}{n} < ε$ ，即 $n > \frac{1}{ε}$ 。所以取 $N$ 为大于 $\frac{1}{ε}$ 的最小整数：

你的要求 $ε$	需要 $n >$	起点 $N$	检查第 $N$ 项
0.5	2	3	$\frac{1}{3} \approx 0.333 < 0.5$
0.1	10	11	$\frac{1}{11} \approx 0.0909 < 0.1$
0.05	20	21	$\frac{1}{21} \approx 0.0476 < 0.05$
0.01	100	101	$\frac{1}{101} \approx 0.0099 < 0.01$

第 $N$ 项之后的项更小，自然也满足。不管 $ε$ 多小， $N$ 都找得到，所以 $\frac{1}{n} \to 0$ 。

下面的组件可以亲手试：拖动 $ε$ 让带子变窄，看起点 $N$ 怎样往后移；换成 $(- 1)^{n}$ ，看带子窄到一定程度后，为什么怎么也找不到 $N$ 。

距离与邻域

“附近”需要一个尺子。数轴上两点的距离就是相减取绝对值；平面上两点的距离就是拿直尺量的直线距离（勾股定理）。

有了距离，“ $y$ 附近”就可以说清楚：以 $y$ 为中心、半径为 $ε$ 画一个圈，圈里的点就是“离 $y$ 不到 $ε$ 的点”。外卖平台“只配送 3 公里以内”，配送范围就是以店为中心、半径 3 公里的圆（直线距离的话）。

记号与读法

写法	读作	意思
$d (x, y)$ 或 $∥ x - y ∥$	“ $x$ 和 $y$ 的距离”	两点之间的直线距离
$B_{ε} (y)$	“以 $y$ 为中心、半径 $ε$ 的球”，也叫 $ε$ 邻域	离 $y$ 不到 $ε$ 的所有点

在平面上，“球”其实是一个圆盘；在数轴上，是一段开区间。叫“球”是因为三维时它真的是个球。

左图是一条数轴，2.5 到 3.5 之间加粗，两端是空心圈，中心 3 是实心点；右图是平面上以 (2,2) 为圆心、半径 1 的浅绿色圆盘，圆内一点 (2.5,2.5) 用绿线连到中心，圆外一点 (3,2.8) 用红色虚线连到中心 — 图 3（a）数轴上，3 的 0.5 邻域是开区间 (2.5, 3.5)，两个端点不算；（b）平面上，(2, 2) 的 1 邻域是一个不含边的圆盘：(2.5, 2.5) 离中心约 0.71，在里面；(3, 2.8) 离中心约 1.28，在外面。

闭集

闭集就是“关得住极限”的集合：集合里的点排成的序列，如果收敛，它的极限也还在集合里，跑不出去。

$[0, 1]$ 是闭集：在里面怎么走，最远走到 1，而 1 在里面。 $[0, 1)$ 不是：序列 $0.5, 0.9, 0.99, 0.999, \dots$ 每一项都在里面，可它的极限 1 不在——就像一扇门，你可以无限接近门口，但门口本身被拆掉了。第 5 页的“在 $[0, 1)$ 上选最大的数，选不出来”，问题正出在这里。

记号与读法：“ $x_{n} \in S$ 对所有 $n$ ”读作“序列的每一项都在 $S$ 里”。数轴上画区间时，实心点表示端点在集合里，空心点表示不在。

两条数轴，都从 0 加粗到 1，上方有越来越密的橙色竖线逼近 1。上面一条 1 处是实心绿点，旁边写“极限 1 在集合里：闭集”；下面一条 1 处是空心红圈，旁边写“极限 1 不在集合里：不是闭集” — 图 4同一个序列 1 − 1/n（橙色竖线，越往右越密）同时住在两个区间里，极限都是 1。上面的 [0, 1] 含有 1（实心点），是闭集；下面的 [0, 1) 不含 1（空心点），极限跑出去了，不是闭集。

连续函数

连续的大白话是：输入差一点点，输出也只差一点点，不会突然跳。 画图时笔不离开纸就能画完的函数，大致都是连续的。

阶梯电价是连续的：多用 1 度电只多交几毛钱，图像会“拐弯”但不会“跳”。快递运费不是连续的：1 公斤收 10 元，1.01 公斤就收 15 元，重量只多了 10 克，运费跳了 5 元。

记号与读法： $f (x_{n}) \to f (x)$ 读作“ $f (x_{n})$ 趋向于 $f (x)$ ”。下面的定义说：输入的序列逼近 $x$ 时，输出的序列也逼近 $f (x)$ 。

左图是一条分三段、斜率越来越大的折线，200 度时 100 元，400 度时 210 元；右图是三段水平线组成的台阶，10、15、20 元，每段左端空心、右端实心，1 公斤右侧有一串橙色点向左逼近 1 — 图 5（a）阶梯电价：每度 0.5 元（200 度内）、0.55 元（200–400 度）、0.8 元（400 度以上）。图像在 200、400 度拐弯，但没有跳，是连续的。（b）快递运费：重量 wₙ = 1 + 1/n 越来越接近 1 公斤，运费却一直是 15 元，而 1 公斤是 10 元，在 1 公斤处跳了，不连续。

图（b）的空心圈和实心点要看仔细：1 公斤恰好落在 10 元那一段（实心），1 公斤稍多一点就是 15 元（空心圈表示 15 元那段不含 1）。所以从右边逼近 1 时，运费停在 15，跳不回 10。

连续函数不会“跳过”中间的值

如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续， $f (a) < c < f (b)$ ，那么一定有某个 $t \in (a, b)$ 使 $f (t) = c$ （介值定理）。大白话：笔不离纸从低处画到高处，中间每个高度都要经过。第 16 页证明“45° 线上一定有一点 $α e \sim x$ ”，靠的正是这个道理。运费函数就没有这个性质：它从 10 元直接跳到 15 元，12 元一次都没取到。

可数与不可数

两个无穷集合，哪个“更多”？数学家的办法是排队编号：如果一个无穷集合的元素能排成一队，第 1 个、第 2 个、第 3 个……每个元素都有一个号，不漏掉任何一个，就说它可数。

正整数本身就是一支排好的队（第 $n$ 个就是 $n$ ），所以可数。令人吃惊的是，分数（有理数）也可数，虽然任意两个分数之间还有无穷多个分数；而 $[0, 1)$ 里的实数不可数：不管怎么排队，总有人没拿到号。所以实数比有理数“多得多”。

记号与读法： $N = {1, 2, 3, \dots}$ 是正整数（自然数）集， $Q$ 是有理数集，“ $Q$ ”取自 quotient（商）。

左图是一个 5 行 5 列的分数表，第 p 行第 q 列是 p/q，重复的分数被划掉，一条橙色折线沿对角线来回穿过表格，旁边标着编号 1 到 11；右图列出五个小数，对角线上的数字 1、5、8、3、0 被橙色方框圈出，下方紫色的新数是 0.54555 — 图 6（a）把正分数 p/q 排成表，沿橙色折线走、跳过划掉的重复项（如 2/2 = 1），每个正分数迟早都会被编上号；（b）康托尔对角线：随便列出一串小数，把第 n 个数的第 n 位改掉（是 5 改成 4，否则改成 5），得到的新数 0.54555… 和列表里每一个数都至少有一位不同，所以列表漏掉了它。

例子为什么对角线法能说明不可数

设有人声称把 $[0, 1)$ 的实数排好了队：第 1 个 $0. \underline{1} 4159 \dots$ ，第 2 个 $0.7 \underline{5} 182 \dots$ ，第 3 个 $0.33 \underline{8} 33 \dots$ ，第 4 个 $0.500 \underline{3} 0 \dots$ ，第 5 个 $0.2718 \underline{0} \dots$ ，……

造一个新数：它的第 $n$ 位，看第 $n$ 个数的第 $n$ 位（下划线），是 5 就写 4，不是 5 就写 5。对角线数字 1、5、8、3、0 变成 5、4、5、5、5，新数是 $0.54555 \dots$

它和第 1 个数第 1 位不同（5 对 1），所以不是第 1 个；
和第 2 个数第 2 位不同（4 对 5），所以不是第 2 个；
一般地，它和第 $n$ 个数第 $n$ 位不同，所以不是第 $n$ 个。

可它确实在 $[0, 1)$ 里。所以这份名单漏掉了它——任何名单都会漏掉这样造出来的数， $[0, 1)$ 不可数。（只用 4 和 5 是为了避开 $0.0999 \dots = 0.1$ 这类“一个数两种写法”的麻烦。）

第 15 页用到它：如果字典序偏好能用效用 $u$ 表示，就能给每个非负实数 $α$ 配一个不同的有理数（从互不重叠的区间 $(u (α, 0), u (α, 1))$ 里各挑一个）。这等于把不可数的实数塞进可数的有理数里，每人一个座位、互不重复——座位不够，矛盾。