函数与二元关系 · 数学基础 · 高级微观经济学

这一页补两样东西：函数（给每个输入配一个输出，比如给每个选项打一个分）和关系（说清楚“谁和谁之间有某种联系”，比如“ $x$ 不比 $y$ 差”）。第 1 讲里，第 3 页的偏好 $⪰$ 就是一个关系，第 9 页的选择规则 $C : B \to B$ 和第 14 页的效用函数 $u : X \to R$ 都是函数，第 14 页还用到 $ar g max$ ，第 16 页和第 21 页用到“严格递增”和“函数套函数”，第 19 页的 $x \geq y$ 是一种“偏序”。

集合、 $R^{n}$ 、“对所有 / 存在”这些记号在集合与逻辑里讲过，这一页直接使用。

函数

函数就像一台自动售货机：你按一个按钮（输入），它吐出一样东西（输出）。好的售货机有两条规矩：

每个按钮都有东西出来——不能按了没反应；
同一个按钮每次出来的都一样——不能这次是可乐、下次是雪碧。

至于两个不同的按钮出同一种饮料，完全没问题。

记号与读法

写法	读作	意思
$f : A \to B$	“ $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数”	输入从 $A$ 里取，输出落在 $B$ 里
$f (a)$	“ $f$ 在 $a$ 处的值”“ $f$ of $a$ ”	输入 $a$ 得到的那个输出
$a \mapsto f (a)$	“ $a$ 映到 $f (a)$ ”	描述规则，如 $t \mapsto 2 t + 1$
$U (s, y)$	“ $U$ 在 $(s, y)$ 处的值”	有两个输入的函数，输入其实是一个有序对

注意 $f$ 和 $f (a)$ 不一样： $f$ 是整台售货机（整条规则）， $f (a)$ 是按了按钮 $a$ 后吐出来的那一样东西（一个值）。

三幅箭头图。左边一列是苹果、香蕉、橙子、梨，右边一列是分数 4、3、2、1。第一幅每个水果一条箭头；第二幅香蕉有两条红色箭头；第三幅梨没有箭头，旁边一个红色问号 — 图 1用箭头画函数：左边每个水果都要发出恰好一个箭头。（a）是函数，苹果和香蕉都指向 3 没关系，4 没人指到也没关系；（b）香蕉发出两个箭头，不是函数；（c）梨没有箭头，也不是函数。

看图时只盯着左边：每个水果是不是恰好发出一个箭头？右边被指几次、有没有没人指的数，都不影响它是不是函数。

例子第 1 讲里的函数

效用函数（第 14 页） $u : X \to R$ ，小张的打分是

$x$ 芒果苹果香蕉橙子梨
$u (x)$ 4 3 3 2 1

每个水果恰好一个分数，是函数。苹果和香蕉都是 3 分，没问题。
选择规则（第 9 页） $C : B \to B$ ：输入一份菜单，输出被选中的那些选项组成的集合。例如 $C ({苹果, 香蕉, 橙子}) = {苹果, 香蕉}$ 。输出是一个集合，但它是一个集合，所以仍然是函数。
出租车计价：输入里程 $d$ （公里），输出车费。3 公里以内 13 元，之后每公里 2.3 元：5 公里是 $13 + 2.3 \times 2 = 17.6$ 元。
两个输入的函数（第 21 页）： $U (s, y) = 1.5 s + 5$ 中， $U$ 的输入是一对数 $(s, y)$ ，即定义域是 $R \times R$ 的一部分（见笛卡尔积）。 $U (3, 0) = 9.5$ ， $U (4, 0) = 11$ 。

定义域、值域与像

一台售货机有三样东西要分清：

定义域：有哪些按钮可以按；
陪域：说明书上写的“可能出来的东西”的范围（可以写得宽一点）；
值域：真正按遍所有按钮后，实际出来过的东西。

只按一部分按钮，实际出来的那些东西叫这部分按钮的像。

记号与读法

写法	读作	意思
$f (A)$	“ $f$ 的值域”“ $A$ 在 $f$ 下的像”	所有实际取到的值 ${f (a) ∣ a \in A}$
$f (S)$ ， $S \subseteq A$	“ $S$ 在 $f$ 下的像”	只看 $S$ 里的输入，取到的值 ${f (a) ∣ a \in S}$

注意 $f (S)$ 里放的是一个集合 $S$ ，得到的也是一个集合； $f (a)$ 里放的是一个元素，得到的是一个值。

递增与严格递增

递增就是“输入变大，输出不变小”；严格递增更强：“输入变大，输出一定变大”。出租车计价是递增的（多坐几公里不会更便宜），但不是严格递增的：1 公里和 3 公里都是 13 元。

记号与读法：“ $a < b \Rightarrow f (a) < f (b)$ ”读作“只要 $a$ 比 $b$ 小， $f (a)$ 就比 $f (b)$ 小”。

名称	要求	例子
严格递增	$a < b \Rightarrow f (a) < f (b)$	$2 t + 1$ ， $t^{3}$
递增（单调不减）	$a < b \Rightarrow f (a) \leq f (b)$	出租车计价， $min {t, 3}$
严格递减	$a < b \Rightarrow f (a) > f (b)$	$5 - t$

三幅函数图。第一幅是一条往右上的直线，标出 t=1 时 3、t=3 时 7；第二幅前一段水平在 13 元，3 公里后往上，5 公里处 17.6 元；第三幅是一条往右下的直线，t=1 时 4、t=3 时 2 — 图 2（a）严格递增：往右走一定往上；（b）出租车车费：前 3 公里是平的（橙色），所以只是递增，不是严格递增；（c）递减：往右走往下。

图（b）里那段平线是关键：它不会往下，所以是递增；但它有“没往上”的地方，所以不严格。图上任何一段平的地方都会让“严格”失效。

例子第 16 页为什么要“严格”递增

第 16 页说：如果 $u$ 表示偏好， $v$ 严格递增，那么 $v (u (x))$ 也表示同一个偏好。用小张的打分（芒果 4，苹果 3，香蕉 3，橙子 2，梨 1）试几个 $v$ ：

$v (t)$	芒果	苹果	香蕉	橙子	梨	排序还对吗
$2 t + 1$ （严格递增）	9	7	7	5	3	对
$t^{3}$ （严格递增）	64	27	27	8	1	对
$min {t, 3}$ （递增，不严格）	3	3	3	2	1	错：芒果和苹果变成一样好
$10 - t$ （递减）	6	7	7	8	9	错：顺序整个反过来

严格递增保证“原来分高的，变换后还是分高”，“原来一样的，变换后还一样”。只是递增的话，平的那段会把原来分出高下的选项压成一样。

第 21 页的“ $U$ 对第一个位置递增”是同一个意思，只是 $U$ 有两个输入：固定第二个输入 $y$ ，只让第一个输入变大， $U$ 的值严格变大。

复合函数

复合函数就是两台机器串起来用：第一台的输出，直接当第二台的输入。第 16 页的 $v (u (x))$ 就是先用 $u$ 给水果打分，再用 $v$ 把分数换算一下。

记号与读法： $v \circ u$ 读作“ $v$ 复合 $u$ ”， $(v \circ u) (x) = v (u (x))$ 读作“ $v$ 作用在 $u (x)$ 上”。从里往外算：先算里面的 $u (x)$ ，再把结果放进 $v$ 。写的时候 $v$ 在左边，但它是后做的那一步。

从左到右：芒果和梨两个水果，经过绿色方框 u 变成 4 和 1，再经过橙色方框 v 变成 9 和 3；上方一条紫色虚线弧从水果直接指向最终分数 — 图 3复合函数是两台机器串联：u 先给水果打分（芒果 4 分、梨 1 分），v(t) = 2t + 1 再把分数换算（4 变 9、1 变 3）。紫色虚线是复合函数 v∘u：一步从水果直接到新分数。

严格递增函数为什么能保持排序

第 16 页的关键一步是：

u (x) \geq u (y) ⟺ v (u (x)) \geq v (u (y)) .

这对任何严格递增的 $v$ 都成立。把 $a = u (x)$ 、 $b = u (y)$ 看成两个实数，只要证明下面这件事。

第 5 步正是“严格”起作用的地方。如果 $v$ 只是递增（比如 $min {t, 3}$ ）， $a = 3 < b = 4$ 时 $v (a) = v (b) = 3$ ，“ $v (a) \geq v (b)$ ”成立而“ $a \geq b$ ”不成立，（ $\Leftarrow$ ）就失败了：小张会被认为觉得芒果和苹果一样好。

最大值与 argmax

“最高分是多少”和“谁拿了最高分”是两个不同的问题。前者的答案是一个数，叫最大值；后者的答案是一群选项，叫 argmax。消费者关心的是后者：他要知道该选哪个，而不是最高分是几分。

记号与读法

写法	读作	是什么
$max_{x \in B} f (x)$	“ $f$ 在 $B$ 上的最大值”	一个数
$ar g max_{x \in B} f (x)$	“arg max”“ $f$ 在 $B$ 上的最大值点”	一个集合（ $B$ 的子集）

arg 是 argument 的缩写，在这里指函数的“输入”。

三幅图。第一幅是柱状图，苹果、香蕉高 3，橙子高 2，3 处有虚线；第二幅是一条开口向下的抛物线，顶点在 (5,9)；第三幅是有两个等高峰的曲线，峰在 2.5 和 7.5，高度都是 9 — 图 4最大值是“山有多高”，argmax 是“山顶在哪”。（a）菜单上苹果、香蕉并列 3 分；（b）只有一个山顶，在甜度 5 处；（c）两个一样高的山顶，argmax 有两个元素。

例子第 14 页：

C (B; ⪰)

就是 argmax

第 14 页说，如果 $u$ 表示 $⪰$ ，那么 $C (B; ⪰) = ar g max_{y \in B} u (y)$ 。用小张的打分验证，菜单 $B = {苹果, 香蕉, 橙子}$ ：

分数是 3、3、2，最大值 $max_{y \in B} u (y) = 3$ ；
拿到 3 分的是苹果和香蕉， $ar g max_{y \in B} u (y) = {苹果, 香蕉}$ ；
按偏好直接算， $C (B; ⪰) = {苹果, 香蕉}$ ，两边一致。

把分数换成 $v (t) = 2 t + 1$ （严格递增）：新分数 7、7、5，最大值变成 7，但 argmax 仍是 ${苹果, 香蕉}$ 。严格递增变换改变最大值，不改变 argmax——这就是为什么效用的具体数值没有意义，只有排序有意义（第 16 页）。

奶茶甜度的例子（图 b）：满意度 $f (s) = 9 - 0.36 (s - 5)^{2}$ ， $s \in [0, 10]$ 。 $(s - 5)^{2} \geq 0$ ，只在 $s = 5$ 时等于 0，所以 $f (s) \leq 9$ ，且只有 $s = 5$ 达到 9。最大值是 9， $ar g max = {5}$ ：五分糖最好。

二元关系

关系说的是“两个东西之间有没有某种联系”：“ $x$ 不比 $y$ 差”“ $a$ 是 $b$ 的朋友”“ $m$ 能整除 $n$ ”。数学上处理关系的办法很朴素：把所有“有这种联系”的有序对 $(x, y)$ 列出来，装进一个集合，这个集合就是这个关系。

记号与读法： $R$ 是一个关系时， $x R y$ 读作“ $x$ 和 $y$ 有关系 $R$ ”，意思就是 $(x, y) \in R$ 。偏好 $⪰$ 就是一个关系： $x ⪰ y$ 等于说 $(x, y) \in ⪰$ 。

有序对的“有序”很重要： $(x, y) \in R$ 不代表 $(y, x) \in R$ 。比如“ $a$ 比 $b$ 好”，反过来通常不成立。 $X \times X$ 是什么，见笛卡尔积。

左边是 3 行 3 列的表格，行标 x=a,b,c，列标 y=a,b,c，除了 (b,a) 和 (c,a) 两格写“否”，其余七格涂绿色写“是”；右边是三个圆圈小王、小李、小张，小王–小李、小李–小张有实线，小王–小张之间是红色虚线标着不认识 — 图 5（a）把偏好 a ≻ b ∼ c 画成 3 × 3 的表：第 x 行第 y 列写“是”表示 x ⪰ y，涂色的 7 格合起来就是关系 ⪰；（b）“是朋友”这个关系：连线没有方向（对称），但王–李、李–张是朋友不代表王–张是朋友（不传递）。

读表（a）时每一格问一句“行的那个 $⪰$ 列的那个吗？”。第一行全是“是”，因为 $a$ 最好；第一列只有 $(a, a)$ 是“是”，因为 $b$ 、 $c$ 都不如 $a$ 。

关系的性质

判断一个关系“好不好用”，主要看四条性质。用“朋友”这个关系来感受一下：

自反：每个人和自己有这个关系吗？（你是你自己的朋友吗？一般不这么说，所以不自反。）
对称： $x$ 和 $y$ 有关系， $y$ 和 $x$ 是否也有？（朋友是互相的，对称。）
传递： $x$ 和 $y$ 有、 $y$ 和 $z$ 有， $x$ 和 $z$ 是否也有？（朋友的朋友不一定是朋友，不传递。）
完备：任意两个人之间，至少一个方向有关系吗？（随便两个人不一定认识，不完备。）

记号与读法：下表里的 $\forall x$ 读“对所有 $x$ ”， $x R y$ 读“ $x$ 和 $y$ 有关系 $R$ ”。

例子几个关系的体检表

关系	自反	对称	传递	完备
理性偏好 $⪰$	是	否	是	是
无差异 $\sim$	是	是	是	一般否
严格偏好 $≻$	否	否	是	否
“是朋友”	否	是	否	否
身高“不低于”	是	否	是	是
刚可察觉差异的 $\sim$ （第 17 页）	是	是	否	否

几格解释一下：

$≻$ 不自反： $x ≻ x$ 要求“ $x ⪰ x$ 且 $x ⪰ x$ 不成立”，自相矛盾。
$\sim$ 一般不完备： $a ≻ b$ 时 $a \sim b$ 、 $b \sim a$ 都不成立。
刚可察觉差异：咖啡 $u (a) = 0$ 、 $u (b) = 0.6$ 、 $u (c) = 1.2$ ，规定 $x \sim y ⟺ ∣ u (x) - u (y) ∣ < 1$ 。 $a \sim b$ （差 0.6）、 $b \sim c$ （差 0.6），但 $a \sim c$ 不成立（差 1.2）。

弱序与偏序

有了这四条性质，就能给“排序”分类。最重要的有两类：

弱序：完备 + 传递。任意两个都能比，而且比较结果不自相矛盾；允许并列。第 3 页的“理性偏好”正是弱序。像考试排名，可以有两个人并列第二。
偏序：不要求完备，有些东西之间比不了。逐分量比较的 $x \geq y$ （第 19 页单调性里用的）就是偏序： $(2, 3)$ 和 $(3, 2)$ 谁也不 $\geq$ 谁。

如果一个弱序不允许并列（两个不同的东西不会一样好），就叫全序，比如实数上的 $\geq$ 。

记号与读法：“反对称”是说 $x R y$ 且 $y R x$ 时必须 $x = y$ ，即两个不同的东西不能“互相不比对方差”。

坐标平面以 (3,2) 为中心分成四块，右上蓝色写“样样不少：y ≥ x”，左下红色写“样样不多：y ≤ x”，左上和右下灰色写“比不了”，几块里各有一个示例点 — 图 6逐分量比较 x ≥ y 只是偏序。以 x = (3, 2) 为界：右上（蓝）的篮子样样不少于 x，左下（红）的样样不多于 x；左上和右下两块（灰）一样多一样少，和 x 比不了。

图中灰色两块正是偏好要回答的问题： $(1.2, 3.6)$ 面包多、咖啡少， $(5, 1)$ 咖啡多、面包少，和 $(3, 2)$ 比起来哪个更好？ $\geq$ 回答不了，偏好 $⪰$ 必须回答——这就是完备性的要求。第 19 页的单调性说：至少右上那一块，偏好应该和 $\geq$ 意见一致。